Trong mục này, để xét tính phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên Cm, chúng tôi trích dẫn bổ đề sau (xem L. N. Quỳnh [29]).
Bổ đề 2.3.1 ([29]). Cho hi : Cm → Pn(C) (1 ≤ i ≤ p ≤ n + 1) là các ánh xạ phõn hỡnh với biểu diễn rỳt gọn hi := (hi0 : ã ã ã : hin). Cho ai : Cm → Pn(C)∗ (1 ≤ i ≤ p ≤ n+1) là các siêu phẳng di động với biểu diễn rút gọn ai := (ai0
: ã ã ã : ain). Đặt h˜i := ((hi, a1) : ã ã ã : (hi, an+1)). Giả sử a1, . . . , an+1 là ở vị trí tổng quát sao cho (hi, aj) ≡ ̸ 0 với 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n + 1. Lấy S là một tập con giải tớch thuần tỳy (n − 1)-chiều của Cm sao cho S ̸⊂ (a1 ∧ ã ã ã ∧ an+1)−1{0}. Khi đú, h1 ∧ ã ã ã ∧hp ≡ 0 trờn S khi và chỉ khi h˜1 ∧ ã ã ã ∧ h˜p ≡ 0 trên S.
Bằng cách sử dụng Định lí 2.2.2, chúng tôi chứng minh được định lí sau để chỉ ra điều kiện về tính phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C).
Định lí 2.3.2. Cho f1, . . . , fλ : Cm → Pn(C) (λ ≥ 2) là các ánh xạ phân hình khác hằng. Cho aj : Cm → Pn(C)∗ (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng di động chậm ở vị trớ tổng quỏt. Giả sử rằng (fi, aj) ≡ ̸ 0 và (f1, aj)−1{0} = ã ã ã = (fλ, aj)−1{0} với mỗi 1 ≤ i ≤ λ, 1 ≤ j ≤ q. Kí hiệu Aj = (f1, aj)−1({0}). Cho l1, . . . , lqlà q số nguyên dương thỏa mãn 2 ≤ lj ≤ λ. Giả sử rằng với mỗi z ∈Aj (1 ≤ j ≤ q) và với mọi 1 ≤ i1 < ã ã ã < ilj < q, ta cú fi1 (z) ∧ ã ã ã ∧ filj (z) = 0. Đặt ρ(z) = ♯{j|z ∈Aj} và d = limr→+∞ sup{ρ(z) : |z| > r}. Khi đó, nếu
q > j=1 lj
λ + 1 thỡ f1 ∧ ã ã ã ∧fλ ≡ 0 trờn Cm.
Chứng minh. Giả sử rằng f1 ∧ ã ã ã ∧fλ ≡ ̸ 0 với λ ≤ n + 1. Ta đặt A = ∪i= q
Ai
và kí hiệu S là tập kì dị của A. Với một tập có thứ tự gồm λ chỉ số phân biệt I = {j1, ã ã ã , jλ} {⊂ 1, . . . , q}, ta đặt Ic = {1, ã ã ã , q} \ I và
q
Svới mọi z ∈ C \ (S
∪
i=
i=
i=
B =
(f1, aj1 ) ã ã ã (fλ, aj1
)
(f1, aj2 ) ã ã ã (fλ, aj2
) . . .
.
I
. . .
(f1, ajλ ) ã ã ã (fλ, ajλ )
Lấy một số dương r0 > 1 sao cho ρ(r) = d với mọi r > r0. Ta chứng minh khẳng định sau:
Nếu BI là không suy biến, tức là det BI ≡ ̸ 0 thì d
Σ
(1min ν(fv ,ai)(z) − min{1, ν(f1,ai)}(z)) + Σ
(λ − lj + 1) min{1, ν(f1,aj
)(z)}
i∈I ≤v≤λ
≤ dνf˜
1∧ ∧fããã ˜λ
(z)
j=1
m λ
i=1
f˜i := ((fi, aj1 ) : ã ã ã : (fi, ajλ )).
I(fi) ∪ (ai1
∧ ã ã ã ∧ ajλ
))−1(0) với ||z|| > r0, trong đó
Thật vậy, ta cố định một điểm z0 ∈ Cm \ (S ∪ Sλ
I(fi) ∪ (ai ∧ ã ã ã ∧aj ))
−1(0)
1 λ
với ||z0|| > r0. Điều kiện để chứng minh bất đẳng thức trên là z0 ∈ A. Ta giả sử rằng:
• có t chỉ số trong I, chẳng hạn là j0, . . . , jtsao cho z0 ∈
St Ai j
và z0̸∈Aji
với mọi t < i ≤ λ (t có thể bằng 0),
• có s chỉ số trong Ic, chẳng hạn là k0, . . . , kssao cho z0 ∈ Ss Ak
i
và z0̸∈Ak
với mọi k ∈Ic \ {k1, . . . , ks} (s có thể bằng 0), trong đó s + t ≤ d.
Lấy Γ là một tập con giải tích bất khả quy của A chứa z0. Giả sử trong Cm
≤v≤λ
ta lấy U là một lân cận mở của z0 sao cho U ∩ (A \ Γ) = ∅. Trên một lân cận U ′ ⊂ U của z0 ta chọn hàm chỉnh hình hisao cho với mỗi 1 ≤ i ≤ t
νhi =
1min {ν(fv ,a
ji )} nếu z ∈ Γ và
νhi = 0 nếu z ̸∈ Γ.
. . .
Khi đó (fv, aji ) = avihi (1 ≤ i ≤ t), trong đó avilà các hàm chỉnh hình. Do đó, ta có
a11 ã ã ã aλ1
. . .
Σ
λ
t
Σ
λ
Σ
. det B = h ã ã ã h ãdet a1t ã ã ã aλt
I 1
t
(f1
, ajt+1 .
) ã ã ã (fλ
. , ajt+1
.
Từ đó, suy ra
(f1, ajλ ) ã ã ã (fλ, ajλ )
t
dνf˜
1∧ ∧fããã ˜λ (z0) = dνdet BI (z0) ≥ dνhi (z0) + dνgt+1∧ ∧gããã λ (z0), (2.2)
i=1
trong đó gi = ((f1, aji ), . . . , (fλ, aji )) với mọi 1 ≤ i ≤ λ.
Đặt l = min{lj1 , . . . , ljt , k1, . . . , ks}. Theo giả thiết, trên tập giải tích Γ, ta có rank {gt+1, . . . , gλ} = rank {g1, . . . , gλ} = rank {f˜1, . . . , f˜ } ≤ l.
Sử dụng Định lí 2.1.6, ta có
νgt+1∧ ∧gããã λ (z0) ≥ max{λ − t − l + 1, 0}.
Kết hợp bất đẳng thức này với (2.2), ta được dνf˜
1∧ ∧fããã ˜λ (z0) ≥ Σ d
1min
ν(fv ,a
ji )(z0) + d max{λ − t − l + 1, 0}
i=
1 t
≤v≤λ
≥ Σ
d(1min
ν(fv ,a
ji )(z0) − min{1, ν(f1,a
ji )(z0)}) + d(λ − l +
i= 1)
1λ
≤v≤λ
≥ Σ
d(1min
ν(fv ,a
ji )(z0) − min{1, ν(f1,a
ji )(z0)})
i=1 q
≤v≤λ
+ (λ − l + 1) min{1, νf1,aj (z0)}
j=1
≥ Σ
d(1min
ν(fv ,a
ji )(z0) − min{1, ν(f1,a
ji )(z0)})
i=1 q
≤v≤λ
+ (λ − lj + 1) min{1, νf1,aj (z0)}.
j=1
)
q
i j 1 j
Do đó, khẳng định được chứng minh.
Ta tiếp tục chứng minh Định lí 2.3.2. Với mỗi 1 ≤ j ≤ q, đặt Nj(r) = Σ
N [k](r, ν(f ,a )) − ((λ − 1)k − 1)N [1](r, ν(f ,a )).
Với mỗi hoán vị J = (j1, . . . , jq) của {1, . . . , q}, đặt
TJ = {r ∈ [1, +∞) : Nj1 (r) ≥ ã ã ã ≥ Njq (r)}.
i=
[
∫
Σ
λ
Σ
i=
Dễ thấy rằng
TJ = [1, +∞).
J
Do đó, tồn tại một hoán vị, chẳng hạn là J0 = (1, . . . , q), sao cho
TJ
Khi đó, ta có
dr = +∞.
N1(r) ≥ ã ã ã ≥ Nq(r), với mọi r ∈TJ0 .
Từ giả thiết f1∧ã ã ã∧fλ ≢ 0, tồn tại một tập cỏc chỉ số cú sắp thứ tự I = {i1, . . . , iλ}
với 1 = i1 < ã ã ã < iλ ≤ n sao cho det BI ≡ ̸ 0. Ta thấy, với mỗi r ∈TJ0 thỡ N1(r) = Ni1 (r) ≥ ã ã ã ≥ Niλ (r) ≥ Nn+1(r).
Ta có
min
1≤i≤λ
λ
mi ≥ min{k, mi} − (λ − 1)k
i=1
với mọi số nguyên không âm m1, . . . , mλ. Từ (2.2), ta có d Σ
(Σ
min{ν(fv ,ai)(z), k} − ((λ − 1)k − 1) min{1, ν(f1,ai)}(z))
i∈I v=
1 q
+ (λ − lj + 1) min{1, ν(f1,aj )(z)} ≤ dνf˜
1∧ ∧fããã ˜
λ (z)
j=1
với mọi z ∈Cm \ (S ∪
Sλ I(fi) ∪ (ai1
∧ ã ã ã ∧ ajλ
))−1(0) với ||z|| > r0.
0
Tích phân hai vế của bất đẳng thức trên, với mọi r > r0, ta được
λ
Σ
Σ Σ 1 j 1≤
ii≤λ
q
q {
q λ
{ }
i
Σ Σ
≥
{ Σ
d. Σ
N [k](r, ν(f ,a ))−((λ − 1)k + 1)N [1]
(r, ν(f ,a ))Σ
≤ d Σ
Tfv (r) + o( max {Tfv (r)}).
q j
i∈I v i 1 i
v=1 q
+ Σ
(λ − lj + 1)N [1](r, ν(f ,a ))
≤ dN ˜
˜ (r)
j=1 λ
1 j f1∧ããã∧fλ
Đặt
v=1
λ
1≤v≤λ
T (r) = T (r, fv).
v=1
Như vậy, với mọi r ∈J0, r > r0, ta có .. dT (r) ≥
d
λ
t=
1 q
Nit (r) +
q
j=1 q
(λ − lj + 1)N [1](r, ν(f ,a )) + o( max {Tf (r)})
≥ dλ Σ
N (r) + Σ (λ
− l
j= j=
+ 1)N [1]
(r, ν ) + o(
max {T (r)})
= Σ
. λ − l− j + 1 ((dλ λ − 1) k +
1) Σ N [1](r, ν(f ,a ))
j=1 q 1 j
q λ
+ dλ Σ Σ N [k]
(r, ν
(fi,aj
)
) + o(
max Tfi
1≤i≤λ
(r)})
j=1 i=1
≥ Σ
j=1
q
Σ
i=
1
λ
dλ +q
λ − l i + 1 λk
d (( λ − 1) k + 1) qk
N
[k]
(r, ν(fi,aj ))
+ o( max Tf (r) )
1≤i≤λ
q
( λ − l j + 1) + dλ ( k − 1)
[k](r, ν N
qλk
(fi,aj
)
) + o(
max Tfi
1≤i≤λ
(r)}).
j=1 i=1
.
−
Σ
j
(f1,aj
) 1≤i≤
λ
f
i
q λ
i j
1≤
ii≤λ
Do đó, với mỗi r ∈TJ0 , r > r0, ta được .. dqλkT (r)
≥ Σ
j=
1
Σ
i=
1
(q(λ − lj + 1) + dλ(k − 1))N [k](r, ν(f ,a )) + o( max {Tf (r)}).
(2.3)
Σ
Với mỗi 1 ≤ j ≤ q, đặt λj = q(λ − lj + 1) + dλ(k − 1). Ta thấy rằng Σ
−
q
j=
Σ
q
Σ
j=
q (fi,aj
) i
q ≤ λ + 1
lj + (n − k) q
2n − k + 2 ≤ λ + 1
(n + 2)dλk −
2n − k + 2 (dλ(k
− 1) −
lj)
q
q j=1 λj
= q j=
1
q(λ − lj + 1) + dqλ(k − 1) λj q(λ − lj + 1) + dλ(k − 1)
q2 + dqλ(k 1)
≥ q(λ − 1) + dλ(k − 1) ≥ 2n − k + 2.
Σ
Σq
λj Σ Từ đó, áp dụng Định lí 2.2.2, với một số thực η ∈
có
max1≤j≤q
λj, 2n − k +j=1 2
, ta
q j=
.. 1
q(λ − lj + 1) + dqλ(k − 1) − (n − k)η T (r)
n + 2 fi
≤ Σ
(q(λ − lj + 1) + dλ(k − 1))N [k]
j=
(r) + o( max Tf
(r)).
Từ bất đẳng thức này và (2.3), ta suy ra .. Σ q2(λ + 1) + dqλ(k − 1) − q Σq
lj − (n − k)η ..
i=1
n + 2 Tfi (r) ≤ dqλkT (r)
+ o( max Tai (r)).
1≤i≤q
Cho r tiến tới +∞, r ∈TJ0 , ta được
q
q2(λ + 1) + dqλ(k − 1) − q lj − (n − k)η ≤ (n + 2)dqλk.
j=1
Từ đó, suy ra
1
. Σ η Σ
Ở đây, ta chọn
η = j=1 λj
q(q(λ + 1) + dλ(k − 1)
− Σq lj)
2n − k + 2 . Từ (2.4), dễ thấy rằng
2n − k + 2
j=
Σ
λ
1≤i≤λ
(n + 2)dλk − dλ(k −
1) + (2.4)
,
=
( n + 2)
q 1 .
n + 2 Σ Σ
j=
.
≤ q
nên
q 1 λ + 1
dλk(2n − k + 2) − dλ(k − 1) +
Σ
j=
1
lj
Σ .
Điều này là mõu thuẫn với giả thiết của định lớ. Do đú, f1 ∧ ã ã ã ∧fλ ≡ 0, tức là {f1, . . . , fλ} là phụ thuộc đại số.
Trong các định lí trước đây về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh phức của M. Ru (Định lí F) [30] hay của P. Đ.
Thoan, P. V. Đức và S. Đ. Quang [43] thì số l trong giả thiết của các định lí đó là cố định với mọi siêu phẳng di động. Định lí 2.3.2 ở trên chúng tôi đã xét trường hợp tổng quát hơn là số l này phụ thuộc vào các siêu phẳng di động.
Tức là với mỗi siêu phẳng aj sẽ tương ứng với một số nguyên dương lj sao cho fi1 ∧ ã ã ã ∧filj = 0 trờn Aj. Do vậy, kết quả của Định lớ 2.3.2 là cải tiến hơn so với các kết quả trước đó.
Chương 3
ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN ĐA TẠP PARABOLIC GIAO VỚI
CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản của Lý thuyết phân bố giá trị cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic ở mục thứ nhất. Trong mục thứ hai, chúng tôi chứng minh một kết quả cải tiến của Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic với mục tiêu di động dựa trên việc kết hợp các phương pháp trước đó của S. Đ. Quang và Q. Yan. Mục thứ ba, dựa trên kết quả của Định lí cơ bản thứ hai đó, chúng tôi chứng minh định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức.
Chương này được viết dựa vào bài báo số [3] được liệt kê trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án.
3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic
Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm về phân thớ đường thẳng chỉnh hình, phân thớ Hermit, lớp Chern trên đa tạp phức và một số định nghĩa
cơ bản của Lý thuyết phân bố giá trị cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic. Các nội dung này được tham khảo trong các tài liệu [1], [37] và [17].
3.1.1 Phân thớ đường thẳng chỉnh hình
Cho M là đa tạp phức m-chiều, L là đa tạp phức (m + 1)-chiều, π : L → M là toàn ánh chỉnh hình. Khi đó, bộ ba (L, π, M ) được gọi là một phân thớ đường thẳng chỉnh hình trên M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với mỗi x ∈M, Lx = π−1(x) là không gian vector phức một chiều,
(ii) Với mỗi x ∈M , tồn tại lân cận Vx và hàm song chỉnh hình ϕx : L|Vx = π−1(Vx) → Vx × C sao cho p1 ◦ ϕ = π, p2 ◦ ϕx|π−1(y) : π−1(y) → C là đẳng cấu tuyến tính với mọi y ∈ Vx trong đó p1 và p2 lần lượt là phép chiếu của Vx × C lên thành phần thứ nhất và thứ hai.
Cho (L, π, M ) là một phân thớ đường thẳng chỉnh hình. Khi đó, tồn tại một phủ mở Vλcủa M và các hàm song chỉnh hình ϕλ : L|Vλ = π− (V1λ) → Vλ × C thỏa
món ϕλ|Lx : Lx → {x} ì C ∼= C là ỏnh xạ tuyến tớnh và ϕλà là cỏc hàm chỉnh hỡnh khụng cú khụng điểm, xỏc định trờn tập Vλ ∩ Và ̸= ∅thỏa món
ϕλ ◦ ϕ−à 1|(Vλ∩Và)ìC : (Vλ ∩ Và) ì C → (Vλ ∩ Và) ì C là song chỉnh hỡnh. Khi đú, họ ϕλàthỏa món điều kiện đối chu trỡnh:
(i) ϕλλ = 1, (ii) ϕλàϕàλ = 1, (iii) ϕλàϕàγϕγλ = 1.
Họ {Vλ, ϕλ} như trờn được gọi là phủ tầm thường húa địa phương của L và {ϕλà} được gọi là hệ hàm chuyển.
Ngược lại, nếu cho một phủ mở Vλcủa M và họ cỏc hàm chỉnh hỡnh {ϕλà} khụng cú khụng điểm, xỏc định trờn Vλ ∩ Và ̸= ∅thỏa món điều kiện đối chu trỡnh, khi đú ta cú thể xõy dựng một phõn thớ đường thẳng L trờn M nhận {ϕλà} là hệ hàm chuyển (xem [1], trang 62).
Cho π : L → M là phân thớ đường thẳng chỉnh hình trên M , U là tập con mở của M . Mỗi ánh xạ chỉnh hình (tương ứng là phân hình) ϕ : U → L sao cho π ◦ ϕ = idU được gọi là một nhát cắt chỉnh hình (tương ứng là nhát cắt phân hình) trên U của L. Ta kí hiệu không gian véc tơ của tập các nhát cắt chỉnh
hình này là Γ(U, L) (tương ứng là Γmer(U, L)). Khi U = M , ϕ được gọi là nhát cắt toàn cục trên M .
3.1.2 Phân thớ đường thẳng Hermit và lớp Chern
Cho phân thớ đường thẳng chỉnh hình π : L → M . Họ H = {Hx}x∈M được gọi là một metric Hermit trên L nếu thỏa mãn các điều sau:
(i) Hxlà dạng Hermit trên Lx,
(ii) Với mỗi tập mở U ⊂ M, s ∈ Γ(U, L) thì hàm Hx(s(x), s(x)) ∈ C∞(U ). Phân thớ đường thẳng chỉnh hình L với một metric Hermit H trên đó được gọi là phân thớ đường thẳng Hermit, được kí hiệu là (L, H).
Gọi z = (z1, . . . , zn) là tọa độ phức trên Cm, đặt zj = xj + iyj, (j = 1, . . . , m). Ta
đặt
dzj = dxj + idyj, dzj = dxj − idyj
Σ
∂zj 2 ∂x
j ∂y
j ∂zj 2 ∂x
j ∂y
j
∂
= 1 .
∂ − i ∂ Σ
, ∂
= 1 .
∂
+ i ∂ Σ .
Cho m và k là các số nguyên dương, k ≤ m, ta kí hiệu {m; k} = (i1, . . . , ik); 1 ≤ i1 < ã ã ã < ik ≤ m.
Với I = (i1, . . . , ik) ∈ {m; k} ta đặt
dzI = dzi1 ∧ ã ã ã ∧dzik , dzI = dzi1 ∧ ã ã ã ∧dzik
Khi đó, với U là một tập mở trong Cm, ta kí hiệu dạng vi phân khả vi kiểu (p, q) trên U
ω =
I∈{m;p},J∈{m;q}ωIJdzI∧dzJ .
Cho L là phân thớ đường thẳng hermit trên M với metric Hermit H = {Hλ}. Khi đó, dạng vi phân kiểu (1, 1)
i ωL,H = −
2π∂∂logHλ
được gọi là dạng Chern của (L, H). Lớp tương đương của ωL,H trong H2(M, R) được gọi là lớp Chern của (L, H), kí hiệu bởi c1(L). Định nghĩa c1(L) không phụ thuộc vào metric Hermit đã chọn.
2
3.1.3 Đa tạp parabolic
Cho M là một đa tạp phức, liên thông m-chiều. Cho τ là một hàm không âm, không bị chặn trên M , thuộc lớp C∞. Với r ≥ 0 và A ⊆ M , ta định nghĩa
A[r] = {x ∈A| τ (x) ≤ r2}, A(r) = {x ∈A| τ (x) <
r2}, A⟨r⟩ = {x ∈A| τ (x) = r }, A∗ = {x ∈A| τ (x) >
0},
v = ddcτ, ω = ddclogτ, σ = dclogτ ∧ ωm−1.
Nếu M [r] là compact với mỗi r > 0 thì hàm τ được gọi là một vét cạn của M . Hàm τ được gọi là một vét cạn parabolic và (M, τ ) được gọi là một đa tạp parabolic nếu
m m
ω ≥ 0, ω ≡ 0, v ≡ ̸ 0 trên M∗. Khi đó, v ≥ 0 trên M .
Nếu π : M → Cm là một ánh xạ riêng, chỉnh hình, toàn ánh thì τ = ||π||2 là một vét cạn parabolic của M được gọi là vét cạn phủ parabolic. Do đó mọi đa tạp đại số affine là đa tạp parabolic.
Cho τ là một vét cạn parabolic của M thì τvm = mτmdτ ∧σ và dσ = 0 Ta định nghĩa
Rˆτ = {r ∈ R+| dτ (x) ̸= 0 ∀x ∈ M ⟨r⟩ }.
Khi đó, R+ − Rˆτ có độ đo không. Nếu r ∈ Rˆτ thì M ⟨r⟩ là biên của M (r) và M ⟨r⟩ là một đa tạp con khả vi (2m − 1)-chiều, thuộc C∞, định hướng được bên ngoài M (r).
Nếu r và s phụ thuộc vào Rˆτ với 0 < s < r, thì do dσ = 0 ta suy ra
Σ
∫
M ⟨r⟩ σ −
∫
M
⟨s⟩
σ =
∫
M (r)−M [s]
dσ = 0
Do đó, với mọi r ∈ Rˆτ , ∫
M ⟨r⟩ σ là một hằng số dương, không phụ thuộc vào r. 3.1.4 Divisor
Cho M là một đa tạp phức. Tương tự như trường hợp không gian phức Cm, mỗi divisor D trên M là một tổng hình thức có dạng
D = aλXλ,
λ∈Λ
Σ
Σ
trong đó aλ ∈Z với mọi λ ∈ Λ và {Xλ}λ∈Λ là họ hữu hạn địa phương các siêu mặt giải tích bất khả quy phân biệt trong M . Biểu thức λ∈Λ aλXλ gọi là biểu diễn bất khả quy của D. Nếu aλ ≥ 0 với mọi λ ∈ Λ thì D được gọi là divisor không âm. Giá của divisor D được xác định bởi S := SuppD = ∪aλ̸=0Xλ là một tập con giải tích của M có số chiều thuần túy bằng m − 1.
Ta có thể đồng nhất mỗi divisor D trên M với một hàm số D : M → Z cho bởi D(z) = aλ
z∈Xλ
Cho f là một hàm phân hình khác đồng nhất 0 trên M . Với mỗi x ∈ M , gọi U
là một lân cận mở, liên thông của x, khi đó tồn tại các hàm chỉnh hình g và h trên
t U , khác đồng nhất 0 sao cho f g
= h
trên U với dim(g−1(0) ∪h−1(0)) ≤ m − 2. Ta định nghĩa divisor không điểm và divisor cực điểm của f lần lượt bởi ν0|U := ν0
f g
và νf∞|U = ν0. Divisor của f được cho bởi νf |U = ν0 − ν0.
h g h
Ta có công thức Poincare - Lelong như sau:
ddc[log|f |2] = νf . trong đó [φ] là kí hiệu dòng sinh bởi hàm φ.
Cho D là một divisor trên M . Lấy Uλlà một phủ mở của M và các hàm phân hỡnh ϕλxỏc định trờn Uλsao cho D|Uλ = νϕλ . Khi đú với Vλ ∩ Và ̸= ∅ thỡ hàm phân hình ϕλν
= ϕλ
ϕν
là hàm chỉnh hỡnh khụng cú khụng điểm. Dễ thấy họ {ϕλà} thỏa mãn điều kiện đối chu trình, do vậy nó xác định duy nhất một phân thớ đường thẳng chỉnh hình.
Cho D là một divisor trên M , hàm đếm của D được định nghĩa là
trong đó
ND(r, s)
= r dt
nD(t) ,
s
1 ∫
Dvm−1, nếu m > 1, nD(t) = t2m−2 S[t]
Σ
z∈S[t] D(z), nếu m = 1.
Cho f là một hàm phân hình. Với r, s ∈ Rˆτ , 0 < s < r, từ Công thức Jensen, ta có
Nνf (r, s) =
∫
M ⟨r⟩
log|f |σ −
∫
M ⟨s⟩
log|f |σ
∫
m
3.1.5 Biểu diễn rút gọn của các ánh xạ phân hình và ánh xạ liên kết
Cho f là một ánh xạ phân hình từ một đa tạp phức m-chiều M vào Pn(C). Kí hiệu I(f ) là tập không xác định của f . Đó là một tập con giải tích có đối chiều ít nhất bằng 2 của M . Với mỗi x ∈ M , tồn tại một lân cận mở U của x và một biểu diễn rút gọn địa phương f = (fU,0, . . . , fU,n) : U → Cn+1 của f trên U . Ta thấy f là một ỏnh xạ chỉnh hỡnh, I(f ) ∩ U = {fU,0 = ã ã ã = fU,n = 0} và
f |U\I(f) = P(f), trong đó P là phép chiếu của Cn+1 \ {0} lên Pn(C).
Nếu ˜f là một biểu diễn rút gọn địa phương khác của f trên một miền con V của M thì tồn tại một hàm chỉnh hình hU,Vsao cho
f = hU,V˜f trên U ∩ V.
Cho B là một dạng chỉnh hình có song bậc (m − 1, 0) trên M . Cho f là một hàm giá trị vector chỉnh hình trên một tập con mở U của M . Lấy một đồ thị Uz với z = (z1, . . . , zm) và Uz ∩ U ≠ ∅. B - đạo hàm f′ = f′B,z được định nghĩa trên Uz ∩ U bởi
df ∧B = f′dz1 ∧ ã ã ã ∧dzm. B - đạo hàm cấp k f(k) của f được định nghĩa bởi:
df(k−1) ∧B = f(k)dz1 ∧ ã ã ã ∧dz .
Đặt f(0) = f
và fk = f ∧f′∧ ã ã ã ∧f(k) : Uz ∩ U → ∧k+1Cn+1 được gọi là ánh xạ liên kết thứ k của f .
Xét f : M → Pn(C) là một ánh xạ phân hình. Ánh xạ f được gọi là tổng quát bậc k đối với B nếu fk ≢ 0 với một biểu diễn rút gọn f của f trong một đồ thị Uz (và như vậy fk ≢ 0 với mọi sự lựa chọn có thể được của các biểu diễn rút gọn địa phương). Trong trường hợp này, ánh xạ liên kết thứ k, fk : M → P(∧k+1Cn+1) được định nghĩa như một ánh xạ phân hình với mọi biểu diễn rút gọn địa phương f của f . Ánh xạ f được gọi là tổng quát đối với B nếu nó là tổng quát đối với B với mọi bậc k, 1 ≤ k ≤ n.
Ta lưu ý rằng, nếu f là không suy biến tuyến tính trên C thì tồn tại một số dạng chỉnh hình B có song bậc (m − 1, 0) sao cho f là tổng quát đối với B (xem [37, trang 114]).
3.1.6 Đa tạp parabolic chấp nhận được
Cho M là một đa tạp parabolic m-chiều được trang bị một vét cạn parabolic τ . Ta nói rằng M là chấp nhận được nếu nó thỏa mãn: với mọi số nguyên dương n và với một ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính bất kì Ψ : M → Pn(C), tồn tại một dạng vi phân chỉnh hình B có song bậc (m − 1, 0) trên M sao cho Ψ là tổng quát đối với B và
m ã im−1B ∧ B¯ ≤ Y (r)vm−1
trên M [r] với Y (r) là hàm giá trị thực dương trên M , độc lập với Ψ (hàm Y (r) được gọi là một hàm trội của B). Ở đây, với số nguyên dương bất kì p,
−
i= i=
i=
ip := (i 2π
)p (
p ( p 1)
−1) 2 p!.
Dễ thấy rằng một đa tạp parabolic được phủ bởi Cm là một đa tạp parabolic chấp nhận được.
Trong suốt chương này, một đa tạp parabolic M được mặc định là một đa tạp parabolic chấp nhận được, đã trang bị một vét cạn parabolic τ và một hàm trội Y (r).
3.1.7 Họ các mục tiêu di động
Trong chương này, chúng tôi giả sử rằng các hệ tọa độ thuần nhất của Pn(C) được chọn sao cho với mỗi ánh xạ phân hình g từ M vào Pn(C)∗ có một biểu diễn rút gọn địa phương g = (g0, . . . , gn) trên tập con U của M , thì g0 ≡ ̸ 0. Ta
đặt g˜ = gi
và g˜ = (g˜ , g˜ , . . . , g˜ ).
i g0 0 1 n
Ta thấy rằng gi
g0
là phân hình trên M với mọi i = 0, . . . , n. Như
vậy, g˜ là một
biểu diễn phân hình toàn cục của g với g˜0 ≡ 1.
Cho f : M → Pn(C) là một ánh xạ phân hình với một biểu diễn rút gọn địa phương f = (f0, . . . , fn) trên U . Đặt (f, g) = Σn
figi và (f, g˜) = Σn
fig˜i. Ta
nói rằng (f, g) là tự do nếu hàm (f, g) ≢ 0 (với một biểu diễn rút gọn địa phương nào đó).
Cho {gi}q là q ánh xạ phân hình từ M vào Pn(C)∗có biểu diễn toàn cục là g˜i = (g˜i0, . . . , g˜in) trên M , trong đó g˜i0 ≡ 1, với i = 1, . . . , q. Kí hiệu R({gi}) (kí
hiệu một cách ngắn gọn là R) là trường con nhỏ nhất của M chứa C và tất cả các hàm phân hình g˜ij với mọi i, j. Ở đây M là trường các hàm phân hình trên M .
i=
ND (r, s0)
= nD (t)
, t Định nghĩa 3.1.1. Họ {gi}q
được gọi là ở vị trí tổng quát nếu det(gjj l; 0 ≤ j ≤ n, 0 ≤ l ≤ n) ≡ ̸ 0, với mọi 1 ≤ i0 < ã ã ã < in ≤ q.
Định nghĩa 3.1.2. Một tập con L của M (hoặc Mn+1) được gọi là phụ thuộc tối tiểu trên trường R nếu nó là phụ thuộc tuyến tính trên R và mỗi tập con thực sự của L là độc lập tuyến tính trên R.
3.1.8 Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai trên đa tạp parabolic
Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với một vét cạn τ . Cho f : M → Pn(C) là một ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính. Khi đó f là tổng quát đối với một dạng chỉnh hình B có song bậc (m − 1, 0). Cho Ω là dạng Fubini-Study của Pn(C). Hàm đặc trưng của f (đối với Ω) được định nghĩa bởi
∫ r
dt ∫
Trong chương này, s0 luôn luôn là cố định khi chúng tôi đề cập đến đa tạp parabolic M .
Với một hàm phân hình φ trên M , ta xem nó như là một ánh xạ phân hình từ M vào P1(C) và kí hiệu Tφ(r, s0) là hàm đặc trưng của nó. Hàm φ gọi là
“hàm nhỏ” đối với f nếu
Tφ(r, s0) = o(Tf (r, s0))
khi r tiến tới +∞ nằm ngoài một tập Borel có độ đo hữu hạn của [s0, +∞). Cho D là một divisor trên M và L là một số nguyên dương hoặc có thể là +∞. Hàm đếm có ngắt bội (đến bậc L) của D được định nghĩa bởi
[L]
∫ r
[L] dt
s0 t12m− M
s0
Tf (r, s0)
= f ∗Ω ∧vm−1 (r > s0 >
0).
∥ ∥
Σ
f,g
trong đó
1
∫
D
min{L, D(z)}vm−1 if m > 1, n[L](t) =
t2m−2 M [t]
Σ
z∈M [t] D(z) if m = 1.
Nếu L = +∞, ta sẽ bỏ qua kí hiệu [L] ở trong hàm đếm.
Với một hàm phân hình φ ≡ ̸ 0 on M , kí hiệu νφlà divisor không điểm của φ và đặt N [L](r) := N [L](r). Khi đó, theo công thức Jensen, ta có
φ νφ
Nφ(r, s0) =
∫
M ⟨r⟩
log|φ|σ −
∫
M ⟨s0⟩
log|φ|σ.
Cho g : M → Pn(C)∗là một ánh xạ phân hình với một biểu diễn rút gọn địa phương g = (g0, . . . , gn) trên một tập con mở liên thông U của M.
Cho f = (f0, . . . , fn) là một biểu diễn rút gọn địa phương của f trên U. Trên tập con mở U , ta đặt
f ; g =| ( f , g ) |
∥f∥ ∥g∥ ã , trong đó
n
(f, g) = figi, ∥f∥ = max{|f0|, ã ã ã , |fn|} và ∥g∥ = (|g0|2 + ã ã ã + |gn|2)1/2.
i=0
Ta thấy rằng ∥f ; g∥là một hàm xác định trên toàn bộ M . Giả sử (f, g) ̸= 0, ta định nghĩa divisor
ν(f,g)|U = ν(f ,g), và kí hiệu hàm đếm tương ứng cho bởi
Nf,g(r, s) :=
Nν
Với r ∈ Rˆτ , ta định nghĩa
(f,g)(r, s), N [L](r, s) :=
N (f,g)[L] (r, s).
mf,g(r) =
∫
M ⟨r⟩
ν
1 log ∥f ; g∥
Định lí 3.1.3 (Định lí cơ bản thứ nhất [4]). Cho r, s ∈ Rˆτ với 0 < s < r, ta có Tf (r, s) + Tg(r, s) = Nf,g(r, s) + mf,g(r) − mf,g(s).
Do Tf , Tg và Nf,g là các hàm liên tục theo r và s, nên mf,g có thể thác triển tới một hàm liên tục trên R+ sao cho khẳng định trên đúng với mọi r, s thuộc R với 0 < s < r.
Chúng tôi nhắc lại ở đây định nghĩa hàm Ricci theo W. Stoll (xem [38] và [44]).
Cho Ω > 0 là một dạng vi phân dương bậc 2m và thuộc lớp C∞ trên M . Với 0 < s < r ta định nghĩa hàm Ricci
∫ r
dt ∫
Xét hàm V ≥ 0 thuộc lớp C∞ trên M cho bởi vm = V Ω. Với mọi 0 < s < r, hàm Ricci của τ được định nghĩa bởi
s t22m− M
Ric(r, s, Ω) RicΩ ∧
vm−1dt.
j=
q
Σ Ricτ
(r, s) =1 2
∫
M
⟨r⟩
logV σ −1 2
∫
M
⟨s⟩
logV σ + Ric(r, s, Ω)
Hàm Ricτ (r, s) không phụ thuộc vào việc chọn Ω. Đặc biệt, nếu π : M → Cm là một ánh xạ riêng, chỉnh hình, τ = ||π||2 là vét cạn parabolic và θ là một divisor rẽ nhánh của π thì
Ricτ (r, s) = Nθ(r, s).
Chúng tôi trích dẫn sau đây các định lí của W. Stoll [37] và M. Ru [17]. Đó là các kết quả rất quan trọng đã đạt được khi nghiên cứu lý thuyết phân bố giá trị trên các đa tạp parabolic.
Định lí 3.1.4 (Định lí cơ bản thứ hai cho các mục tiêu cố định [37]). Cho (M, τ ) là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều. Cho f : M → Pn(C) là một ánh
xạ phân hình không suy biến tuyến tính trên C và {Hj}q là một họ các siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát. Khi đó, với r > s0 > 0, ta có
..(q−n−1)Tf (r, s0)
≤ Σ
j=
1
[n]
Hj
(f )
(r)+c[log+Tf (r, s0)+Ricτ (r, s0)+log+Y (r) +log+r].
Định lí 3.1.5 (Định lí cơ bản thứ nhất cho vị trí tổng quát [39]). Cho fi : M → Pn(C), 1 ≤ i ≤ k là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát. Giả sử rằng 1 ≤ k ≤ n. Khi đó
Nàf
1∧ããã∧fλ (r) + m(r, f1 ∧ ã ã ã ∧ fλ) ≤
1≤i≤λ
Tfi (r, s0) + O(1).
N