Việc nghiên cứu có thể tiến hành trong một không gian afin Euclide (với số chiều hữu hạn nào đó) thay cho mặt phẳng Euelide mà không phải thay đổi gì lớn.
5.11 Hoành độ cong
$ Định nghĩa 1 Ta gọi mợi ánh xạ s :7 —>R thuộc lớp C' trên J sao cho:
Viel, s°0)=lƒƑ`ŒM, là hoành độ cong trên 7:
NHẬN XÉT:
1) Vỡ ỏnh xạ J-> liờn tục trờn 7, nờn một ỏnh xạ z : ù => R là một hoành độ +MI\ƒ'ứ)
cong trờn # khi và chỉ khi tổn tại /„ e ẽ sao cho :
Viel, s0)= Í II ƒ'@)ll du. it 4g
Như vậy, 7 nhận vô số hoành độ cong, được suy ra từ một trong chúng bằng cách cộng thêm một hằng.
224 Chương 8 Các tính chất mêtric của đường cong trêfi mặt phẳng Việc tính s được gọi là phép cầu trường 7ˆ
Khi ta chọn một phần tử ¿„ của 7 để định nghĩa một hoành độ cong
stip f l/ 09 đu trên 7, ta nói rang M(1,) (hoac L „ đúng hơn, í,) là gốc hoành
độ cong trên 7ˆ
2) Ta thừa nhận ràng việc khảo sát có thể mở rộng cho trường hợp ƒ thuộc lớp C'
từng khúc trên /.
3) Tác dộng của một phép đổi tham số chấp nhận được
Giả. sử 7 là một khoảng, ỉ: 7 —> 7 là một phộp đổi tham số của ƒ, tức là (xem 4.1.]
4), Định nghĩa 2) một ánh xạ sao cho :
ứ thuộc lớp C` trờn 7
ứ là song ỏnh
ỉ' thuộc lớp C\ trờn /.
Khi đú ta đó biết ràng : ứ > Ohoac g <0.
Cho s : 7 — 1Ä là một hoành độ cong trờn 7”; ta ký hiệu ứ =s s ỉ. là một ỏnh xạ thuộc lớp C' trờn 7. Ta cú, với mọi thuộc J: ỉ9 = # (009) @ (0) = lý "(QO IPD.
Nếu ứ >ể, thỡ ta suy ra: Vư e 7, ở 0ũ = llứ'(6)í”(06))lL= ÍÍ ( s ứ)” GểI, và như
thế ứ là một hoành độ cong trờn /-
Cũng vậy, nếu ứ' < 0, thỡ - ứ là một hoành độ cong trờn 7-
Vậy khái niệm hoành độ cong không phụ thuộc việc chọn biểu điển tham số (thuận), mà chỉ phụ thuộc vào đường cong (định hướng) 7. Chính vì thế mà ta đã định nghĩa khái niệm hoành độ cong "trên 7” thay cho "trên ƒ”.
4) Với các ký hiệu trong Định nghĩa 1, ta có :
veel, ssi frase? Oty? O,
mà đôi khi ta viết một cách lạm đụng là :
(ds = (dx? + (dy)?
® Định nghĩa 2 Cho s là một hoành độ cong trên 7", a, b e 1, A =f (a), B= f(b). Ta goi
ô độ dài (đại số) của cung ẤR trờn 7; và ta ký hiệu ở đõy là KÁP), là số thực s() - s(4), tức là :
AB) = [Ip cofee
ô trị tuyệt đối của độ dài (đại số) cla AB trộn Fla độ dài của cung AB
của 7.
Ngữ cảnh sẽ chỉ ra khí nào thì các độ đài của các cung được nói đến là “đại số” (dịnh hướng) , hoặc “số học” (dương hoạc bàng không).
5.1 Cactinh chất cấp một
+| Mệnh để 1 (Cộng tính của độ dài cung)
Cho 77, 7; là hai đường cong thuộc lớp C' sao cho mút của 7; là gốc của 7;. Khi đó độ dài của đường cong T có được do nổi 71 và /¿ là tổng của các độ đài của 71 và !;.
Chứng minh :
uk 4a . 5 +
Đường cong 7 nhận một biểu điển tham số ƒ thuộc os, ^ lớp C' từng khúc trên khoảng ƒ = j, vở 1; (sao cho k mỳt của /, là gốc ù, là cỏc khoảng sao
cho fl 4 và ƒ!Ă là cỏc hiểu diễn tham số của 7ù và T;. Ta có
We („M1 ft EU 1 1ƑE0)<ư2: 7
Đường gắp khúc nội tiếp một đường cong trên mật phang
Việc khảo sát sau đây, vốn không, thuộc chương trình, cho phép ta xét độ đài của đường cong như là giới hạn của độ đài những đường gấp khúc.
Cho a,b € fsaochou<b.A=fla), B= fb).
Ta ký hiệu 5 là tập hợp các phán hoạch của [a, b], tức 1a (xem Tag 1, 6.1.1, Định
nghĩa 1) tập hợp các họ hữu hạn (torr. thude fa, b] sao cho : n>l VÀ a=t,<u<..ta<Ù,=b.
Với mợi ứ = ()s„„. thuộc S, ta gọẽ
số thực p(s) xác định bởi : M, M,
p(s) = Sex tài —t) là bước dị của ỉ. 1 M,=B
Cho 6 = (Donn € 85 ta ký hiệu, với w
mợi ¡ thuộc (0, ... a}, M, = /ữ), và
nol Mi=A
L(ứ) = M,Mj„Ă Tà dộ đài của dưỡng
¡=0
gấp khic MM,...M,, “noi tiép trong ƒ".
Sử dụng một bất đẳng thức về chưổn của một tích phân (xem Tập 1, 6.3, Mệnh dé 2) cho trường hợp #; được đồng nhất với C, hoac Tap3, 2.3.4, 2), Định lý 2, cho trường hợp một không gian Iuclide), ta có với mọi ¡ thuộc {Ó,....”- 1}:
1M Mg) = [IP oar
ped Pre-N MB:
Và, mạt khác thì :
KM,M,.) = [TU Ự 0ệ š (Prefer ô(he [Polea pa.
225
Chương 5 Cac tinh chat métric của đường cong trên mặt phẳng Vi:
{" |rephe=Ga =9) 62| =l@¿y =%)/00| -| , tựu, vf
Fra reo
< +
TH tứ
4;
friar fet Ƒ”
pen fee; fae, và rằng : Ữ @/0)11—1/0,)11dt < [ằVe- fae,
nen tasuy ra: 10,8.) MMi ef frie fap le 1 Cho ¿> 0 cố định.
Vif? liên tục trên đoạn {a, b], nên theo định lý Heine (Tập 1,4.3.6, Định lý),/ˆ liên
tục đều trên [a, b] ; vậy tồn tai 77> 0 sao cho =
Vú, v) ca; bỆ, (- d<n =llƒ)09 -#?@)I< #).
Khi đú, với mọi phõn hoạch ử = Œ;)osi<n của [a, b] sao cho p(ỉ) < 17, fa cú :
ed n=L
(4B) = S168, MMe =L{(o)
i=0 í=0
~ tel
và đá0)s Š M0. v2f"|ro-reolss)
¡=0 t
SL (0) + 26d (Gn -4 )= L(e)+2e(b-a). acl i=0
'Ta được :
VơeS, p(3% 17 32.0. MAB) - L(o) $2(b- 4) 8,
và cuối cựng : 1(ứ)—ơa— (AB)
Như vậy ta đã chứng minh được rằng độ đài của một đường gấp khúc nội tiếp trong +
dân đến độ dài của 7 khi bước đi của phân hoạch tiến đến 0.
vi DU:
= 3
1) Độ dài của đường hình sao 74” ˆˆ 4295 >0 cố định. y=as§Ìin í . Vily do déi xing, 17) = 8/7), trong đó 7; là cùng
có được bằng cách cho : biến thiên trong [=| Ta
có, với các ký hiệu thông thường :
x"()= =3acos” rsinf |
yự)=3a sin? cost ,
5.4 Cáctính chấtcấp một 227
bite :
SOE TM +Y OP = 6.2 cos? sin? ¢ } = 3acost sint,
+ 3
từ đó: TỰ) = [Š 3acosrsinidr =f vado vay: KD) =6a.
2) Cầu trường đường, parabol
Ta tính hoành độ cong tú mọi điểm của parabol 71 yŸ = 2px, lấy điểm Ó làm gốc hoành độ cong trên 7ˆ
n vet
„ ƒ € ẽš, suy ra p yự)=1
Thực hiện phép đổi biến Hiến ma] đo đó Ở=shv ; nếu ký hiệu r Vp 2 p
t2 2
By = tn) 4+ |— 41 | để tránh trùng lập, ta có :
p Vp
BD ()
s@)= ! pehvae= 2 “Ẩt +chanhdh = ấ/ỉ0)+2.sh/0))
= Sains shỉ()chỉŒ)) = bate 2 nh 5 2
Một BDTS của 7 là
+| Mệnh để 2 (Tính hoành độ cong trong tọa độ cực)
Cho 7 là một đường cong cú phương trỡnh cực 2= ỉ (0, trong đú ỉ: 7 —> IE thuộc lớp C". Khi đó, nếu ký hiệu s là hoành độ cong trên 7; ta có :
VEL, s@)=((0)+ứ°(0)‡.
Chimg minh ;
Ta ký hiệu uO) = cos07 +sinj va s(ỉ) = Rot„ 04ỉ)) = —sinỉŸ + cosổ 7.
Một BIDTS của Ƒ là/:7 > & xde dinh boi :
veel, fO)= 40) ud}.
Ta có: VOGEL, f'(8)= pO) Wd) + 0(O)WO).
Vỡ (2), v(ỉ)) là một c.s.tc, của E, ,nộn ta rỳt ra :
voet, lý'0)P= ứ?*40)+ ứ4). "
128 Chương 8 __ Các tính chất mêtric của đường cong.ren mặt phẳng NHẬN XÉT :
Đôi khi ta viết một cách lạm dụng: (đs”) = (dp +o (OY.
VÍ DỤ :
1) Độ dài của đường hình tìm (xem 4.2.12, Ví dụ J).
Đường hỡnh tim 7 với phương trỡnh cực ứ= a(I + cosỉ) ( > 0), do lý do đối xứng, có độ dài là :
K1< 2[ (24+ 22 oy) 48 = 2af" (t+e0s0y sino) ao ,
= 2a[ˆ 6 +cor0))242 = 4a sox d0 =f sng) = bu
2) Cầu trường đường cong có phương trình cực : p= hệ,
- 6 1 29
Ta cú: ứ=th—. ứ = —| thế“ —Í,
pam Ps ( 3
từ đó :
2 0
sleaprp’ ere 24 1 2 ea 4
Khi chon điểm cia “ving v6i O= 0, tức là điểm ỉ làm gốc hoành độ cong trờn ? 71a được với mọi ỉ thuộc ẽR :
_1 2À = Í\—La—w2 Ty Ì = 8
sO) = In Sw = ff ® ‘ya = O- the.
Bai tap
â 5.1.1 a) Vẽ đường cong / "cú phương tinh Descartes y= ~+2—, 4 >0. 203 ô24
b) Tink hoành độ cong tai mdi diém thude F lấy điểm thuộc /”có hoãnh độ 2 làm gốc.
9 5.1.2 Tính độ dài của đường đentôit xem 4.1.7, Ví dụ 5) có biế én thann số là :
cost + cos2i]
sin£ — sin2t
,f€[-E;TỊ.
5.1 Cactinn chat cp mot 229
=a-n3¿f
0 54.3. a) VE dường cong Ƒ"có biểu điễn tham số: {Ý TỐT ĐE y=20-0e
b} Tính hoành độ cong tại mỗi điểm thuộc /; lấy gốc là điểm của / "ứng với £ = 1.
cÿ Tính độ đài £ của vòng khuyên của /ˆ(sẽ phải tính một tích phân trên ]- : 1].
â 5.1.4 a) Vẽ dường cong 7 cú phương trỡnh cực ỉ = 1 3 cos
b) Tớnh hoành độ cong tại mỗi điểm thuộc 7; lấy gốc là điểm cha Mime với ỉ = 6.
c) Tinh do dai 7, của vòng khuyên cia 7°
â 5A5 a) Ve dutmg cong 7 cú phương trỡnh cực là ứ= L- 0Ÿ.
b) Tớnh hoành độ cong tại mỗi điểm thuộc Z7 lấy pốc là điểm của 7 ứng với ỉ =0.
€) Vein € }T hãy tính độ dài 1„ của P với nz s OS (n+ Lyx, rồi xác định một biểu thức
tương đương don gidn cho £, khi nở tiến ra VÔ Cực.
â 5.16 a) Vẽ đường cong / cú phương trỡnh cực ứ= Ơ1- 40°.
b) Tính độ đất 2. của 7ˆ
9 8.17 a) Vẽ đường cong / cú phương trỡnh cực : ứ= è + zon
by Tinh do dai £ cha 7
5.1.2 Biéu điễn tham :
theo hoành độ cong
Â@ Định nghĩa 1 Ta gọi mọi biểu điễn tham số chấp nhận được ứ: ý > &
thuộc lớp CÌ của ƒ sao cho : Vie € J, lig'()il = 1, là biểu diễn tham s¿
chuẩn của f.
+| Mệnh để 1 Nếu /là chính quy, thì :
ôe Với mỗi hoành độ cong s trờn 7;/_ s z” là một biểu diễn tham số chuẩn cua f.
ô Với mỗi biểu diộn tham s6 chudn g cita ƒ, tồn tại một hoành độ cong ô
trên 7 `sao cho :
g=/ss” hoặc gafoGsy'.
La nói một cách đơn giản hơn rằng s và -s là những biểu diễn tham số chuẩn của 7`
230 Chugng5 Các tính chất mêtric của đường cong trên mặt phẳng
Chứng mình :
Ta giả thiết ƒ chính quy, tức là V c¿, /'0) #0.
Ký hiệu s : ? —> s(D C ]R là một hoành độ cong.
đ Ánh xạ s thuộc lớp C! trờn 7, J = s(/) là một khoảng của ù
Veet, sŒ)=llƒ'0>0.
Từ đó suy ra rằng s : 7 —> 7 là song ánh và rằng #1 : 7 —> 7 thuộc lớp C' trên /. Như vậy ƒ s #ˆ là một biển diễn tham số chấp nhận được của ƒ.
Hơn nữa, khi ký hiệu ứ = ƒ 9 s”, ta cú:
VaeJ, llguoll= =1,
——f oo] = “cua
#Œ@ `0) 3G (0)
vậy ô là một biểu diễn tham số chuẩn của /.
ô Ngược lại, cho y : J —> #; một biểu diễn tham số chuẩn của /- Vỡ g là một biểu
điễn tham số chấp nhận được của /, nên tồn tại g: J > ? sao cho : ứ thuộc lớp C' trờn J
ứ là song ỏnh
ứ” thuộc lớp CỲ trờn /
km SG
Anh xạ y= g's 1 —> 7 thuộc lớp C! wen ƒ và :
Viel, Iƒ'ŒGJI=ll(g s ÿ@ML= ll@)e(w@)MI= tự).
Vì >0 hoặc w' <0, ta suy ra:
(Wiel, W()=lW'GŒII hoạc (Vie1, 0) = -lƑ"(01b,
điều này chứng tổ rằng hoặc - là một hoành độ cong trên /? a
Ta nhấc lại (em 4.1.2, ?) Nhận xột 1)) rằng một dường cong 7 được ứ:
uy khi và chỉ khi 7 'nhận ít nhất một biểu điễn tham số chính quy ƒ- Khi đó ta có thể tham số hóa / "bằng hoành độ cong (bàng cách chọn một gốc hoành dO cong trén J) và ta cũng nhận được một biểu điễn tham số chuẩn s —> Ä⁄(s) của 77 Để thuận tiện cho. 5.1.2 này, ta sẽ giả thiết rằng 7 "được tham số hóa bằng một hoành độ cong s.
® Định nghĩa - Ký hiệu 2
*® Vectơ tiếp tuyến đơn vị (định hướng) của [tai M(s) là vectơ :
7_ 3M ds
+ N=Rot, (7)
2
© (M, T.N ) 1a mot hệ q.c.tc.t., duge gọi là hé quy chiéu Frenet tai M
eta _
Xem thém 4.1.2 1), Định nghĩa 4. T
Thực tế sử dụng đã tạo nên sự lấn lộn giữa 7 (), N r
Ts, TF, va gita ND, NÓ), N. Khi cần, ngữ M cảnh sẽ cho phép ta nhận ra các ký hiệu đúng đần.
5.1 Cáctính chấtcấp một 231 NHẬN XÉT:
Bằng một phộp đổi tham số chấp nhận được thuận (tương ứng : nghịch), s, T1,ẹ
được bảo toàn (tương ứng : đổi thành đối của chúng).
+ |Mệnh để 2 Cho/:/ -> € là một biểu diễn tham số chuẩn thuộc lớp CẺ (& > 2) của 7: Tổn tại một ỏnh xạ ứ : J —> ùR thuộc lớp C*" sao cho :
VseJ, 7 (= cosg(s) ẽ + sing(s)j -
Chứng mảnh -
Nếu đông nhất ể; và C „ thì ánh xạ 7 : s —> 7 @) thuộc lớp C°{k - 1 1) trên
khoảng J, va lay gid tri trong đường tròn - đơn vị TU. Theo định tý thay thế (Tập 2, 7.10), tổn tại @: ƒ > IR thuộc lớp C°' sao cho :
Ve€J, T@)=cosợứ(s)Ă + singG) 7. "
Liơn nữa, nếu ứ,, ứ, : J —> ÍE là hai ỏnh xạ như vậy, thỡ ứ, - ứ, là ỏnh xạ hàng và là bội của 2m.
iết và các ký hiệu của ộ n, và các ký hiệu lạm dụng thông
thường, ta có :
“` ứ=(Ễ
122)
de . dy
ecosg= w VA sing = &
s tang= 2 tại mọi điểm ở đó + không ‘
triệt tiêu.
2) Bàng một phộp đổi tham số chấp nhận được thuận (tương ứng : nghịch), ứ được bảo toàn (tương ứng : đổi thành đối của nó).
Trường hợp tọa độ cực
Cho 7 là một đường cong cú một phương trỡnh cực 2= (0), trong đú ỉ2: ẽ —> R
thuộc lớp CẺ.
Ta đã ký hiệu :
- aM =
T = TT, ứ sao cho o= (7.7) 2a.
ữ =cosỉù +sinỉ } .
Ta ký hiệu V = ứ@- ỉ.
Khi đú tạ cú : V=(ủ.T)|2z) và ứ= 0+ V |22. 2S Hơm nữa, tại mọi điểm ở đú ứ khụng triệt
tiờu, ta cú (xem 4.2.6,2)): tan V= Ê,, ứ
232 Chueng5 Các tính chất mêtric của đường cong trên mặt phẳng
5.2 Các tính chất cấp hai
Các §§ từ 5.2.2 đến 5.2.4 dành clio sinh viên nam thứ hai.
5.2.1 Bán kính cong
f:1— & biểu thị một cung tham số hóa chính quy thuộc lớp C°, 7= ƒ() là quỹ đạo của nó, s là một hoành độ cong trên 77 Ta đã biết (xem 5.!.2, Mệnh để 1) rằng 7ˆ nhận s (hoặc : ƒ s s”) làm biểu điển tham số chuẩn.
Ta ký biệu :
—, N=Rot, (T), 91a một phộp nõng thỏa món ứ = (Ă,† - ) [22].
® Định nghĩa Ta định nghĩa
© ban kính cong của /ˆ tại một điểm A#(s) là số thực R xác định bởi : # = ứ
ô độ cong của 7 ại A4(s) là số thực + xỏc định bởi : y = 3 -
Ta không phân biệt # và R@), 7 và /@s).
'Ta thừa nhận rằng # hoặc z có thể lấy các trị 0, +00, -sc.
Cụ thể hơn, việc dinh nghia R(s) như là một số thực đã giả định ràng tại điểm s ta có
¢(s) # 0. Xét một biểu diễn tham số chuẩn của /ˆtheo một hoành độ cong + ƒ:s €Jt>xG)ẽ + yœ) j. Khi Ấy ta cú :
cosg(s}= sứ Q9]
vseJ, P9000)
vậy khi đạo hàm :
9 (s)sing(s) = x"(s)
ved, { ỉ'(s)eosg@)= y" (9)
rồi, kết hợp lại :
Ws€J, @(s) = cosứ(s)y”() - sind\s)x“G) = x@)y”@) - y's").
m0
Nhu vay, nộu a 4 M độc lập, thỡ ứ(s) # 0, R(5) là một số thực hoàn toàn xỏc ds
dinh, va R@) = ——.
g's) NUAN XET :
Bằng một phép đổi tham số chấp nhận được thuận (tương ứng : nghịch) # và y dược bảo toàn (tương ứng : đổi thành đối của chúng). "
VÍ DỤ:
Tính bán kính cong tại mọi điểm của cung đường dentôit (xem 4.1.7, Ví dụ 5) :
fx = 2cost +cos2z 08 16052 re fo: 2a
Ìy = 2siu —sin2r 3
5.2. Cactinh chat cap hai 233
“Trước tiên ta tính +'; ta có liên tiếp (các dấu phẩy chỉ phép dạo ham theo 9 :
-2sin(1 + 2cost), y' =2(1 - cos2)(1 + 2cos0)
2 ca 2 aad 3
cự? =v? + ý? = 4(sin2r + (1 - cos)”)(1 + 2cosД = losin’ (1 + 2cos)?,
4sin : (1+2eo)
Cách tính bán kính cong
'Tạ giả thiết 7 được xác định bởi một biểu điển tham số chính quy thuộc lp C h =
Khi đó ta có : 1 eset yy
„ từ đồ ẹ ee See
ứ y =š 'sing + s'cos2 @ roix'y”-x"y aay,
P 3
'Ta hãy khảo sát hai trường hợp riêng thường gập.
1) Đường cong biểu diện một hàm số Giả thiết 7 được cho bởi y
tham số hóa bởi tham số x, và
ee OEE
£'
mà fa có thể viết mội cách lạm dụng: =
hầm theo +.
Ta có thể chấp nhận rằng # = +o tai một điểm mà ƒ” triệt tiêu.
VÍ DỤ :
“Tính bán kính cong tại mọi điểm thuộc đường cong /"có phương trình : y = -Inlcosxi,
= cos*x(1 + tan’x)? = 3 :
cost
ssuyra R=
(ty? ?3
234 Chuong5 Các tính chất mêtric của đường cong trên mặt phẳng 2) Đường cong tiếp xúc với x+ tại 2
Giả thiết 7 tiếp xỳc với x+ tại ỉ và ký hiệu #„ là bỏn kớnh cong của 7 tại ỉ.
Đường cong 7 có một biểu diễn tham số x= x(t)
y=)
(nhiều ?) trị r„ của tham số /.
Giả thiết rằng O là một điểm chính quy
của 7; tức là: (xa), yŒa)) # (0, 0). Vì Z tiếp xúc với x*+ tại 2, nên ta có: y'(,)=0 và A'(f,) # Ô.
„ và điểm ỉ của 7ˆ ứng với một
Vay trong ln can cia fy, x là một C2 - vị phôi, và ta có thể tham số hóa địa phương 7ˆ
=0, trong đó ƒ thuộc lớp CŸ trong lân cận của Ó và /(0) = ƒ '(Ở) = 0.
hiết /ƒ"(0) z 0 ¡ khi đó ta có :
2 3
_d4+f7 Oy 1
iG) LO"
Mat khác, theo định lý Taylor - Young, trong lân cận của Ở ta cổ : Ro
2 2
foo) = fQ) + af (0) + > f°) +004 = > f'"O) + 0%,
x? 1
suy ra: ——>—— =k.
2/0) x?9 /'(0
Như vậy: #¿= lim +—, v2
tot, 2y
VÍ DỤ :
Tính các bán kính cong tại các đỉnh của mội clip.
Xét clip 7` có phương trình Descartes 8 r
2 v2
XÃ VD 4
ra" 1 (rong dé a > b > 0), A A
a ob
. 0} +
với biểu điển tham số : E TƯ y=asin
te (05 2], va ký hiệu A, 8, A', Ð' là các BI
đỉnh của 7; theo thứ tự ứng với các trị 0,
2 on bá của tham số r. Để tính bán kính 2 2 yự BI cong ẹz của 7 tại #', ta thực hiện một phộp Fr
đổi hệ quy chiếu trực chuẩn thuận bằng ,
phộp tịnh tiến lấy ỉ' làm gốc mới. Cỏc cụng 4 5 A
thức đổi hệ quy chiếu là : *
x=X# 1
y=Y-b B x
8.2 Cáotính chấtoấphai 235 từ đó có được một BDTS của 7 trong hệ quy chiếu mới ('; Ÿ, j):
X =acost Y =b(l +sim) `