Xột một mặt cong Đ cú PTD z = ứ (x, y), trong dộ g: U > R thuộc lớp €' trờn tập mở Ư của ẽR?. Ta đó thấy ở 2) ràng định lý hàm ẩn cho phộp, dưới một số giả thiết nào đó, đưa vấn đề về trường hợp ấy.
Cho (a, b) € U,c = g(a, b), A(a, b, c), 7T1à tiếp điện với S tại A; 77 được định phương bởi ù + pk và j+qk, trong đú ta ký hiệu p=ỉ;(4,b), j= ỉy(4,b)
(ký hiệu Monge).
'Ta sẽ khảo sát vị trí của Š đối với 77trong lân cận cia A.
Nhằm mục đích ấy, với (x, y) € U, ta ký hiệu b = x- a, k = y- b, và
khảo sát điểm /M(x, y, z„) của S
và điểm P(, y, z;) của 71.
Vậy ta cú : z„¿ = ỉ(x,y) = ỉ(a+h,b+ k),
h 1 0
và mặt khác: | k 0. eis 20,
cit in Ld ra :
từ đó: z„ =c+ ph+ 4k.
Vị trí tương đối giữa S và 77 được xác định bởi dấu của z„„ - z Pe
Ta giả thiết rằng ứ thuộc lớp C° trờn , và ta ký hiệu (ký hiệu Monge) :
r =0 a (4ệ), š =0, (4,é), t=p 2 (a,b).
Ta đó biết (Tập 4, 8.3.3, 1) rằng ứ nhận một khai triển hữu hạn tới bậc 2 trong lân cận (a, b), dưới dạng :
0(a+h,b+k)= ứ(a,b)+ ph+qk+ (h2 +2shk+02)+ — co 2
(h,k)->(0,0) (h2 +k?).
Ta suy ra: z„ —zp = h2 +2shk v 2 + k2) +o(h2 + k2).
Cũng như việc khảo sát các cực trị của các hàm hai biến thực, Tập 4, 8.3.3, 2) b), ta kết luận :
se Nếu J$ “<0
r>0 „ thì trong lân cận A, Š nằm trên tiếp diện 77 với Š tại A.
„ thì trong lân cận A, § nằm dưới tiếp diện 77 với Š tại A.
eNếu s?”—r<0 r<0
e Nếu s2 —zr>0, thì trong lân cận A, Š xuyên qua tiếp diện Z của nó tại A.
269
270 Chương 6 Đường cong trong không gian và mặt cong
4) Giao của hai mặt cong
Giả sử 7 là một đường trong không gian, được xác định như là giao của hai mặt cong &, Š. Ta giả thiết rằng # và S có các PTD :
R: F(x,y,z)=0, §: G(x,y,2)=0,
trong dé F, G: V > IR 1a nhitng ánh xạ thuộc lớp ` trên một tập mở V của RR’.
Cho A(a, b, e) 6 7ˆ Ta giả thiết ràng họ +
(erad F(A),rad G(A)) độc lập. Khi đó,
tại A, # và § có những tiếp diện được
ký hiệu lần lượt là /7g,/7s, và ta có /7g#/7s. ÍJ
“Ta sẽ chứng tỏ rang Mtai A có một tiếp tuyến 7, va rang : R
= Teer Hs:
(i F(A) F(A)
GA) GA) GA)
ran Theo giả thiết
" : F(A) F(A)
Nếu cần ta hoán vị vai trò của x, y, z, ta có thể giả thiết: |” | A
Gy(A)_ G;(A Theo định lý hầm ẩn (xem 6.1.1), tồn tại một khoảng mở v củ:
những khoảng mở +9, s9; của R c6 tam lân lượt tại b, e, sao-cho :
Ó tâm tai a va
® vxwixw; CV
© tồn tại một cạp ánh xạ duy nhất @: v —> wị,//: v > wy sao cho:
„ JƑ(x,ứ(x),(x))=0
Đạp ee =0
© 9, yw déu thudc lớp CÌ trên 9.
Nói cách khác, trong lân cận của A, 7"có BDTS:
x=x, y=W%*), 2= V().
Vậy một vecto tiếp tuyến V với Ƒˆ tại A sẽ có tọa do (1, g(a), ⁄ (4), và khác
vecto khong.
Cuối cùng :
Varad F(A) = F(A) + 9'(@)F,(A) +0" (a) F(A) = (4 Foon D xô
vậy VelI„, và cũng tương tự Vell ,, Ta tóm tắt việc khảo sát.
®| Định lý Cho Ẩ, Slà hai mặt cong, 7= R Š, A e 7:
Ta giả thiết rằng A là một điểm chính quy của Ẩ và S, và rằng các tiếp diện 77, 77 tại A với R, S khác nhau. Khi đó A là một điểm chính quy của 7và tiếp tuyến tại A với 7` là 77g ơ77s.
6.2
vi DU:
Xác định một vectơ tiếp xúc tại A(-2, -1, 3) với đường cong 7:
x34 y3 +23 =18 3 aytye+2x=-7.
Đầu tiên ta chú ý ràng : A e 77
Với các ký hiệu trên đây :
* FQ, y,2)=312+y)+ 2-18, — grad F(x,y,2)=(3x2, 3y2, 3z2), grad F(A) = (12,33).
© G(x, y, 2)= Xy + y2 +ZX +7, grad G(x,y,2) =(y+2,Z+ x,x + y), grad G(A) = (2, 1, =3).
ô gradF(A) A gradG(A) = (~12, 42,6)#0
Mặtcong 271
Theo định lý trên, 7 nhận một tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến này được định phuong bai gradF(A) A gradG(A), tức là bởi: ~2ù +77 +.
6.2.3. Các mặt thông thường
1) Mặt trụ
+ Định nghĩa Cho 4 là một phương đường thẳng và 7 là một đường
cong. Mặt trụ với đường chuẩn 7và phương đường sinh 44 là hop S của các đường thẳng của #› có phương 4 và cắt 77
Với mỗi điểm M cia mat tru S, đường sinh cia M (trén S) 1a đường thẳng đi qua M và có phương A.
Thiết diện thang của mặt trụ Š là giao của S với một mặt phẳng trực giao với 4.
272_ Chương6 Đường cong trong không gian và mặt cong
Trừ một số trường hợp đặc biệt mà bạn đọc dễ dang phát hiện, mỗi điểm của mặt
trụ nhận một và chỉ một đường sinh, và mặt trụ nhận vô số đường chuẩn.
Cho Ă là một vectơ định phương 41 và ứ : I -> £, làmột BDTS của7:
fr>m(1)
Khi đó một BDTS của mặt trụ Š có đường,
chuẩn 7ˆvà phương đường sinh 41 là : % IxR > &
(tÂ)->m(t)+Âi
VÍ DỤ :
Một BDTS của mặt trụ có đường chuẩn 7 = t, y = ,Z= fŸ,t e ]R) và các
x=t+2Ä
đường sinh song song với ủ(2,1,-3)là: 4y=/?+Â, (4) e ùR?.
z=i2-32
Cho § là một mặt trụ, với đường chuẩn 7; phương đường sinh 44. Ta xét một hệ
quy chiếu = (ỉ;7,7,K) sao cho K định phương 4. Trong ZZ mặt trụ S nhận một PTD dang : ƒ(X, Y) = 0. Trong hệ quy chiếu ban đâu #, S nhận một PTD
dang f(P, Q) = 0, trong đó P, Q đêu là những " vế thứ nhất của PTD của mặt
phẳng ". Từ đó suy ra quy tắc thực hành sau đây :
Ta nhận biết rằng một mặt Š là mặt trụ khi nó nhận một PTD có dạng SP, Q) = 0, trong đó P, Q là những mặt phẳng cắt nhau. Hơn nữa, trong các điều kiện ấy, các đường sinh của S đều song song với đường thẳng có
PTD bê =0“ P=0
VÍ DỤ :
Mat Š có PTD : e*”#9”#Z” —(x + y)e-2Z =0 là một mạt trụ, vì, khi ký hiệu P=x+z và Q = y, S nhận PTD : e??*0” ~p=0,
Các dường sinh của § đều song song với ¿ - #.
®| Mệnh dé
Tiếp diện tại một điểm chính quy của mặt trụ chứa đường sinh của điểm ấy.
CHỨNG MINH :
Mật trụ S nhận một BDTS
> IxR > eI
ý (4)Eằm(Đ+Ân >
trong đú zw : /—> ẽ là một BDTS của 7; thuộc lớp C!, và ủ định phương cỏc
đường sinh.
ì Foun =ii, nên tiếp diện với S tại M(, 4) chứa đường thẳng đi qua M và
được định phương bởi ¡, tức là đường sinh của M.
274 Chương 6 Đường cong trong không gian và mặt cong
VÍ DỤ:
Mật nón đỉnh ý2 (1, -1, 1) và đường chuẩn 7 Œ = ¿, y = Ê,z = ˆ, + Ụ nhận một BDTS:
x=l+Äứ-1)
y=-l+(?+D, relR?
z=1+402+D)
Giả sử S là một mặt nón, đỉnh 42, đường chuẩn 7:
Ta giả thiết rằng 7'phẳng và rằng £2 không nằm trong mạt phẳng P của ?7 Tổn tại một hệ quy chiếu (trực chuẩn thuận) Ê “= (ỉ;7,7,K) sao cho mat phẳng ? trong £ ' có PTD :
Z=h (helR') Đường cong ?"nhận một HPTD {
ƒŒ.Y)=0
zh
V6i moi diém M(X, Y, Z) thude &, sao cho Z # 0, tac’
Mi € S> Cm 6 Ƒ,34elR',, OM = 442n)
© AM, ¥, ae Rx Rx RX = aX, Ÿ = ÄY,, Z = ah flX, V0 =0)
e (8#) =0.
Từ đó suy ra quy tắc thực hành :
9,
trong đú P, ỉ, R là những mat phẳng (giao nhau tại một điểm duy nhất). Hơn nữa,
trong các điều kiện đó, đỉnh #2 của S được xác đỉnh bởi : P = 0, @= 0, # =0.
Ta nhận biết rằng một mặt là mặt nón khi nó nhận một PTD có dạng 4#)
VÍ DỤ :
Xét mặt S có PTD: z?-xy-2z+1=0.
Rõ ràng phương trình này có thể viết đưới dạng: -xy + (z - I)?=0.
Để chia cho (z - 1)” (chẳng hạn), ta xem như mặt S” có được bằng cách lấy đi ở S
. =0 =0
hai đường thẳng có HPID Ƒ X z= p 1 Nhu vay, #' nhận PTD : z=
z=1 7-1 x —ˆ +1 =0, là phương trình có đạng (z8)*^ với: RR
P=xQ=y,R=z-[,ƒ/(u,v} BH w+],
Vậy $' là một mat nén, đỉnh £X0, 0, 1).
Ta được một đường chuẩn của Š bằng cách cát % bởi một mặt phẳng không chứa ⁄2,
+y=l
chẳng hạn mặt phẳng xÓy ; do đó một PTD của đường chuẩn Meta SA: { -0°
6.2 Mặtcong 275
| Ménh đề
Tiếp diện tại một điểm chính quy của mat nón thì chứa đường sinh của điểm ấy.
Chứng minh :
Mặt nón S nhận một BIDTS
ý: IxR a £ 3
(Ä) >+O+AOm(r)
trong dé m: | > & là một BDTS của 7; thuộc lớp C', và é2là đỉnh của S.
` Fu,ay= Bnd và vì (2n) định phương đường sinh của ÉM (ta giả thiết 2£ D), nên tiếp diện của Š tại M chứa đường sinh của M.
NHẬN XÉT :
1) Giả sử S là một mặt nón, với đỉnh #2, đường chuẩn 7: Ta giả thiết rằng 7"
phẳng và chính quy, và £2không nằm trong mặt phẳng P của 7:
Nếu ký hiệu zm : / > & 1A mot BDTS của 7; thì một BDTS của Š sẽ là :
ý:IxR. 3 ie
(tA) RA Q+ARm(t)
Khi đó, ổ thuộc lớp C' và, với mọi , 4) thude I x BY:
Ni
Benya mat A4) = Âm (0) ait ) , Bia) =n. m(t)
Theo giả thiết : Â z0, sự 0) # 0, m'() # P, Onli) ¢ P.
Vậy suy ra (ấôằóôằ) độc lập, và như vậy mọi điểm của 5, trừ /2, đều là
chính quy. Hơn nữa,tiếp diện tại M (+ £2 với S là mặt phang di qua M va chita đường sinh cia M và tiếp tuyến của 7 tại m.
2) Đỉnh 2 của mặt nón Š là một điểm không chính quy của S. Trong thực hành, đỉnh của một mặt nón thường là điểm duy nhất không chính quy của S.
Điều này cho phép, trong các ví dụ, tìm được đỉnh có thể có của mặt nón từ một phương trình Descartes.
VÍ DỤ:
Chứng tỏ rằng Š: xŸ + xy - xz + yŸ + Z + x+ 3y -z + 3 =0 là một mặt nón và tìm đỉnh #2 của nó.
276 Chương 6 Đường cong trong không gian và mặt cong
Ký hiệu vế thứ nhất của phương trình đã cho 1a F(x, y, z), ta tim một điểm #2 (x, y, 2)
không chính quy của S, vi (xem 6.2.2, 2) Dinh ly) tai dé grad # triệt tiêu :
F(x, y,2)=0 2x+y—-z+I=0 xsl
Fy(x,y,2)=0 © {x+2y+z=0 ©
F(x, y,2)=0 -x+2z-1=0
Ta kiểm chứng lại rằng điểm £2(1, -2, 1) thuộc S.
Ta chon hệ quy chiếu mới Z = (2; ù, j, ẩ).
x=X+1
Công thức đối hệ quy chiếu là: 4 y=Y =2,
z=Z+1 và thế trở lại, ta suy ra một PTD của Š trong 72”:
(X+ DŸ+(@X+ DŒ -2)- X+ + 1)+(-2#+(Z+ ĐŸ+(@X+1)+3 -2)- Z+1)+3=0,
tức là : X? + XY¥-XZ+Y?+Z?=0.
Với phương trình sau cùng nay, ta thấy rằng, nếu một điểm z(X, Y, Z), khác với ‹2, thuộc S, thì đường thẳng (Qm) sé bao ham trong S.
Cuối cùng, § là một mặt nón, đỉnh #2(1, -2, 1).
3) Mặt tròn xoay
® Định nghĩa Ta gọi mặt Š nhận được bằng cách quay một đường cong 7"quanh một đường thẳng 4 là mặt tròn xoay.
Ta nói rằng 4 là trục của S.
Ta gọi giao của § với một nửa mặt phẳng giới hạn bởi 4 là kinh tuyến (hoặc : nửa kinh tuyến) của S.
Ta gọi các đường tròn trục A va cắt 7"là vĩ tuyến của S.
NHẬN XÉT :
1) Bạn đọc chứng tỏ rằng, "trừ ngoại lệ", một mật tròn xoay có một trục duy nhất.
2) Với các ký hiệu trong Định nghĩa, S là hợp của các vĩ tuyến của nó.
VÍ DỤ:
Mặt xuyến là mặt cong Š có được bằng cách cho quay một đường tròn quanh một đường thẳng thuộc mat phẳng của đường tròn ấy.
6.2 Mặtcong 277
"Trong £ xét đường tron 7 Cổ phương trình : {. =9 2 sa
{y-a) tz =re,
với (a, r) € (R*,)° cố định, và cho 7”quay quanh z’z.
Ta được một BDTS của mặt xuyến Š : X=ac0sỉ +rcosỉcosơ
y=zsinỉ+rsinỉcosz , - (0, ứ) e [—z,z|? (hoạc IR?).
z=rsinz
Từ BDTS này ta có thể thu được PTD của bằng cỏch khử (ỉ, ứ) :
+=(a+rcosơ)cos0 3(ỉ,ứ) e lở, y =(@+rcosz)sinỉ
z=rsing
2+y2= 2
+Ý +yˆ =(a+rcosg)
o| JaeR, (
z=rsinơ
x x? + y? — a? —(r? — 7?) = 2arcosa
© | Jack, :
z=rsina
(0 + y? $27)— (a? +729)? 44022? = 4a2r2
OP yt 422? ~ 200? 492)? + y?2) 42a? — r2)? +(a2 —r2)2 =ọ,
Vay mat xuyén là mat mat bac bon. "
Cho A la một đường thẳng, 7 là một đường cong, Š là mật tròn xoay có được bằng cỏch quay 7 quanh 4, P là một mạt phẳng trực giao với 4, ứ là một điểm của .4, Z là một mặt cầu tõm ứ.
Một đường trồn trục 4, vì là giao của một mạt phẳng song song với P và một mat
P=Ä
cát 7 khi và chỉ khi (Ä, ¿) thỏa mãn một hệ thức dạng ƒ(4. #) = 0. Từ đó suy ra Z=”
ring $ nhận một phương trinh dang f(P, 5) = 0, trong đó P và Z là (các vế dâu
của các phương trình) một mặt phẳng và một mặt cầu.
Do đó ta có quy tắc thực hành sau :
cầu tõm ứ, nờn nhận một HPTD | > trong đú (Â, z) e ấ?. Đường trũn này
"Ta nhận biết rằng một mặt Š là mặt trờn xoay khi nó nhận một PTD có dạng ẤP, 5) =0, trong đó P là một mặt phẳng và Z là một mặt cầu. Hơn nữa, trong các điều kiện đó, trục của S là đường thẳng đi qua tâm của Z và trực giao với P.
VÍ DỤ:
Mat Sc6PTD xy + yz + zx + x + y + z + 1 = 0 là một mật tròn xoay vi, khi ký
hiệu P =x + y + z và Z=x? + y? + z°, thì § có phương trình : P?- 5+ 2P+2=0.
Trục của Đ là đường thẳng đi qua ỉ và được định phương bởi ù + j + ẩ.
278 Chuong 6 Đường cong trong không gian và mặt cong
6.2.4 Mặt bậc hai
1) Đại cương
$ Định nghĩa - Ta gọi mọi mặt cú phương trỡnh Descartes Fểx, ằ.2)=0,
trong đó /°là một đa thức bậc 2, là mặt bac hai, NIIAN XET :
1) M6t mat bac hai nhận một PTD đạng :
AX + 2Bay + 2Cnz + Dy? + 2Ey2 + F2? + 20v + 21Iy+21z+=0.
trong dé A, oJ IR.
Sự có mật các hệ tit 2 st duge ly gidi dudi dây, khi sử dụng một dạng toàn phương hoặc một ma trận đối xứng.
2) Tả giả thiết (A, 8, C,Ð, E, P) # (0, .... 0) ¡ trường hợp đẳng thức tương ng với một mạt phẳng, hoạc ỉ, hoặc ứ;.
3) Mọi miật cầu (xem 2.
) là một mặt bậc hai.
#) Hợp của hai mặt phẳng là một mật bậc hai.
3) Ta có thể chứng mình ràng giao của một mat bac hai voi mot mat phẳng là
ỉ hoặc một cụnic.
2) Tìm tâm đối xứng (nếu có)
Giả sử là một mạt bậc hai, có PTD ;
C1) Ax?+2Ay+2Caz+ y2 +2Eyz+ E22 +20x + 2Hy+2lz+/=0.
Ta hãy m một tâm đổi xứng của Š, nếu có.
Gia stt 2 € £y, (xo, yo, 2a) là các tọa độ của tâm dối xứng đó trong 1.
Ta xét một hệ quy chiêu Z# “ =(#2; ¡, j, È). Các công thức đổi hệ quy chiếu là :
x=x,+X y=“yy+Y Z=zy+Z
với một điểm 4 bất kỳ của £,, có các tọa độ (x, y, 2) wong R, (X, Y, Z) trong R’.
‘Thé vao trong (1) và khai triển, ta được một PTD của Š trong ẨÈ”:
(AX” +2BXY +2CXZ + DY? +2EYZ + FZ7)42(Ay, + By, + Cz, GX + 2(Bx, + Dy, + Ez, + HWY +2Cx, + Ey, + Fz, +DZ +I =0,
Điểm #2 sẽ là tâm dối xứng của ® nếu :
Ax, + By, +Cz, + =0 Q) Bx, + Dy, +Fz, +H =0 Cx, + By, +F2, +1750.
6.2 Mặtcong 279
A BC
Xét ma trận =|B Ð_ E| thuộc M;Œ#), vốn đối xứng.
CE F&F,
1) Nếu Q kha nghịch, thì hệ phương trình (2) có một nghiệm duy nhất (xe, yạ, Z2), và như vậy § nhận một tâm đối xứng, đó là điểm 2 (x, yo, 20). Trong
trường hợp đó, ta nói rằng S là một mặt bậc hai có tâm. Ta sẽ khảo sát sâu hơn vấn để này trong 3.
2) Nếu @ không khả nghịch, thì hệ phương trình (2), boạc không có nghiệm
hoạc có vô số nghiệm.
Chẳng hạn : e mạt bậc hai có PTD +3 - 2y ==Ô (mật trụ parabolic) không có tâm đối xứng.
© mặt bậc hai cha PTD +xÝ + yŸ = ] (mật trụ trồn xoay) có vô số tâm đối xứng.Trong thực hành, ta sẽ chú ý ràng :
@)© giad F(X,.ya,z¿) =0.
3) Mặt bậc hai có tâm
Ta tiếp tục việc nghiên cứu đã bắt đầu trong 2), rong trường hợp @ khả nghịch.
Trong &# ”= (2;17#) „$ có PID:
AX? + 2BXY +2CXZ + DY? +2 EYZ+ FZ* +J, =0,
trong d6 J, ô R.
Ma trận Q=| B D E| Tà một ma trận thực, vậy chéo hóa được nhờ một phép đổi ABC
€ E F
c.s.1.c (xem Tập 6, 4.4.1, Định lý), vậy tồn tại P e O;0R), Ð e D,(R) sao cho: