tiếp tuyến bằng nhau hay đối nhau tại A(ÿ) và A(ọ). Trong trường hợp đó, ta gọi đường thẳng đi qua Á và mang hai nửa tiếp tuyến là tiếp tuyến
tai Ay) Va:
NHẬN XÉT :
Sự tôn tại một bán tiếp tuyến hoặc một tiếp tuyến tại một điểm của 7'là bất biến
đối với phép đổi tham số.
ô| Định lý Choƒ:7 —> @ là một cựng tham số húa thuộc lớp c7 là quỹ đạo của nó. Tại một điểm chính quy AŒ) của 7; 7`nhận một tiếp tuyến, và tiếp tuyến này được định phương bởi ƒ'Ứ).
+ Định nghĩa4 Choƒ:/ —> 6 là một cung tham số hóa thuộc lớp C', Tlà quỹ đạo của nó, A() là một điểm chính quy của 7; Tứ) là tiếp tuyến tại Ấ) với Ƒ;
Ta gọi :
* mặt phẳng đi qua 4Œ) và vuông góc với T() là pháp diện với 7 ' ‘tai A(t).
se mọi mặt phẳng chứa 7) là tiếp diện với 7 tại A(/).
Như vậy, tại A(/) 7 nhận một và chỉ một mặt pháp, và vô số mặt tiếp (còn gọi là tiếp điện) (lam thành chùm tuyến tính các mặt phẳng được xác định bởi T(e), xem bai tap 1. 2.9.)
Ta) Z
LX
253
254 Chương6§ Đường cong trong không gian và mặt cong
+ Định nghĩa 5 Choƒ:7 —> é là một cung tham số hóa thuộc lớp C', 7”
là quỹ đạo của nó, A(/) là một điểm chính quy của 7: Ta gọi vectơ, ký
hiệu là 7 Œ) (hoặc : 7) xác định bởi :
TO) =
roll
là vectơ tiếp tuyến đơn vị (định hướng) của 7 tại A7).
“Ta kết thúc § này bằng cách khảo sát một loại đường cong trong không gian đặc biệt, đó là các đường đỉnh ốc.
¢ Dinh nghia 6 Ta gọi mọi đường cong 7 trong không gian, thuộc lớp C', chính quy, sao cho tôn tại một vectơ chuẩn hóa cố định K sao cho
góc Œ 70) có độ đo không đổi (modulo 2), là đường đỉnh ốc.
VÍDỤ:
1) Đường đính ốc tròn bước cố định
Cho re R}.b 1W, 7 là đường cong có BDTS : z xe=rcosr
y=rsin:, teR.
z=ht Cc
Với mọi / thuộc IR ta có: {y=rcos¿ |từ đó: ol
kT ek
IỂI.MŒM fp? 4h?
Nhu vay, g6c (K.F@) khong di, FA mot
đường định ốc, gọi là đường đỉnh ốc tròn bước cố định.
2) Tương tự, đường cong 7 "có BDTS : x=e “cost
y=e fsin?, z=e1t
+ eT®, là một đường đinh ốc, vạch trên hình nón (xem đưới đây, 6.2.3, 2)) có PTD : x? + yŸ - Z = 0.
6.1 Các đường cong của không gan 255
6.1.3 Hoành độ cong
ƒ:1 —> &, chỉ một cung tham số hóa thuộc lớp C', 7"= ƒ(?) là quỹ đạo của nó. Với
¡¿ e1, ta có thể ký hiệu MŒ) thay vì ƒŒ). Với ¡ e 1, ta ký hiệu (x(9), y(9, zŒ)) là các tọa độ của MŒ) trong f ; như vậy với mọi ý thuộc Ƒ :
OM@)= x@ẽ + yéj + z0).
® Định nghĩa 1 Hoành độ cong trên 7 là mọi ánh xạ s : 7 —> R thuộc
lớp C' trên / sao cho : :
Viel s@®= IFO.
Cỏc nhận xột ở 5.1.1 vẫn cũn giỏ trị ở đõy, bằng cỏch thay ứ; bởi Ê;. Với cỏc ký hiệu ở Định nghĩa 1, ta có :
Weel, sax +y (+270),
mà đôi lúc ta còn viết theo một cách lạm đụng :
(ds)? = (dx}? + (dy)? + (dzy.
¢ Định nghĩa 2 - Cho s là một hoanh d6 cong tren J a, b € 1, A=fla), B=fb).
Ta goi:
® số thực s(b) - s(a), tức là :
ơ "——
AB) = fil’ (lat
là độ dài (đại số) của cung ÁP của 7; và ký hiệu ở đây là 1(AB). a
ô tị tuyệt đối của độ dài (đại số) của cung ẤP trờn / Tà độ dài của AB trờn 7?
NHẬN XÉT:
Đối với độ dài cung ta cũng có tính chất "cộng tính” như ở Mệnh để 1, 5.1.1.
VÍ DỤ :
Tinh do dai L của đường cong 7 trong không gian có BDTS : x= cost, y = sin/, z = -Ín coS¿, ¿ 6 [oe].
Ta có: x'=-sint, y= cost, z’ = tant,
từđó: sax eyez = 1 + anes cos? ¢
x D 1
4 K3
và:L=js@k = | dis [pute] # =In(¥2 +1) = 0.881.
9
nề
0 (=sint)
256 Chueng 6 Đường cong trong không gian và mặt cong
ô Định nghĩa 3 Ta gọi mọi biểu diễn tham số chấp nhận được g:— &, thuộc lớp C` của ƒ sao cho
VưeJ, lGol=l
là biểu diễn tham số chuẩn của ƒ-
ô| Mệnh để Nếu /chớnh quy thỡ :
s với mọi hoành độ cong s trên 7; ƒ "Ta một biểu diễn tham số chuẩn của /-
ô với mọi biểu diễn tham số chuẩn ứ của ƒ, tổn tại một hoành độ cong s
tiên 7 'sao cho :
g=/f‹s£ ! hoặc g=fe(sy!.
bu I
Ta núi một cỏch giản đơn rằng s và ơs là những biểu diễn tham số chuẩn của 2ˆ NHẬN XÉT:
Fa giả thiết ƒ chính quy và cho s là một hoành độ cong trên 7 Khi đó, tại mọi điểm A#(+) của 77 vectơ tiếp tuyến chuẩn hoá (có định hướng) ?(s) là:
Ft T0) SN
Khái niệm về mặt phẳng mật tiếp tại một điểm sung chính quy
Việc khảo sát sau đây đành cho sinh viên nam thứ hai.
ô Định nghĩa 4 Cho /:7->Ê; là một cung tham số húa thuộc lớp er>MU)=ƒf0)
C°, 7 là quỹ đạo của nó, 8) là một điểm song chính quy của 7ˆ
Ta gọi mặt phẳng đi qua ÄŒ) và được định phương bởi (0), /”0)) là mat phẳng mật tiếp với 7 tại 8⁄(:).
NHẬN XÉT :
1) Mặt phẳng mật tiếp với 7 tại M/@) tiếp xúc với 7 tại MÓ).
2) Ta có thể chứng mình (xem thêm 5.2.2) rằng mại phẳng mật tiếp với 7 tại
M() tiếp xúc với P với bậc 23.
VÍ DỤ;
Lập một PTD của mặt phẳng mật tiếp 7#) tại mỗi điểm Ä/(/) của dường cong 7ˆ có BDTS: x=ch¿y=sh/,Z=t,t <1,
Rõ ràng rằng Z Tà thuộc lớp CŸ và, với mợi ¡ thuộc lề :
OMS atT+cn i +k, aM
dt di?
Vậy MŒ) song chinh quy :
'Ta được một PTD của [1 :
= chí Ý + shứ ÿ
X-ch¿ sh/ chỉ P{X,Y,2) eTf) © |Y —sh: ch: shi|=0
Z-t I 0
&6Xshr- Ychi-Z-(=0.
6.1 Đường cong trong không gian
6.1.4 Khảo sát định lượng
§ 6.1.4 này đành cho sinh viên năm thứ hai.
ƒ:1—> #; chỉ một cung tham số hóa thuộc lớp C?, 7= ƒ{) là quỹ đạo của nó, s là một hoành độ cong trên 7~
Ta đã biết (xem 6.1.3, Mệnh để) rằng 7 nhận s (hoặc : ƒ-s_Ì) làm biểu diễn tham số chuẩn. Bây giờ ta giả thiết ràng 7 được tham số hóa bởi s (s € J) và ta
xét một điểm song chính quy Ä#(s) của 7” Vậy mọi điểm của 7`gần với M(s) cũng là song chính quy.
Ta ky hiệu vectơ tiếp tuyến chuẩn hóa (định hướng) tại A⁄(s) với 7; xác định bởi :
P= ta F(s) (hoặc T). di
+ Định nghĩa 1 Độ cong của 7 tại M(s), ky higu 1a ?(s) (hoặc : ?), là số thực xác định bởi :
dĩ) at
Vi M(s) song chinh quy nên ta có = #0, và vì vậy:y> 0.
y=
+ Định nghĩa 2
1) Bán kính cong cia I tai M(s), ký hiệu là #@) (hoặc : R), là số thực
định nghĩa bởi: #=-..
2) Vectơ pháp tuyến chính với 7 tại A⁄(s), ký hiệu là NG) (hoặc N), É là vectơ định nghĩa bởi :
N=R eS, Vậy tạ có : TH R]- 1,R>0.
Ta có thể chủ ý rằng mạặt phẳng mật tiếp với Ftai M(s), được định phương bởi
đãi d2 H . a(R
# £4) , thi cũng được định phương bởi (.#) -
Viz VseJ, [ro =1, nên bằng cách lấy đạo hàm, ta có : —I2
VseJ, 7-0, tức là : T.N =0.
® Định nghĩa 3
1) Vectơ trựng phỏp tuyến với 7 tại A⁄(s), ký hiệu ỉ(s) (hoặc : 8), là vectơ được định nghĩa b‹
B=TAN,
2) (uZx2) là một hệ quy chiếu trực chuẩn thuận, gợi là hệ quy
chiếu Frenet với 7 tại M.
257
258 Chuong 6 Đường cong trang không gian và mặt cong
Ta giả thiết thêm nữa rằng ƒ thuộc lớp C°, và rằng Äf(s) là điểm tam chính quy của 7; tức là rằng DPOF Op độc lập.
+ Định nghĩa 4
1) Độ xoắn của J” tai M(s), ký hiệu là t(s) (hoặc : t), là số thực được định nghĩa bởi: r= a
D
2) Nếu r z0, bán kính xoắn của J” tai M(s), va ky hiéu là 7(s) (hoặc : T), là số thực được định nghĩa bởi :
Ta chú ý tránh không lần lộn giữa vectơ T() với số thực TQ).
Vì:TN= 6, nên sau khi lấy đạo hàm ta được : aT Wi +P =0.
ds ds
Cuối cùng, bàng cách lấy đạo hàm một tích vectơ : a a
48 eT Ne
ds
soot
Ta có thể ghỉ nhớ các công thức Frenet dưới đạng lạm dụng ký hiệu sau đây :
a 1
| |° 4 °|f?
IN =
Mrel-too LIN).
ds R T\ |
ab) fo -4 of 8
ds T7
Khảo sát định lượng một đường cong trong không gian, đó là tính các phần tử
T,R,N,B,T tại mọi điểm M của 7
viDU: 6.1 Đường cong trong không gian 289 1) Đường đình ốc tròn có bước không đổi
x =rcost
= rsin? „t e ]R, trong đú (r, ủ) € RY, x R’ of dinh (xem thờm 6.1.2 ,Vớ đụ 1).
zahe