Sử dụng phương pháp liệt kê

Chương 2. Một số cách tiếp cận tới bài toán tổ hợp

2.1. Sử dụng phương pháp liệt kê

Khi thực hiện đếm số phần tử của một tập hữu hạn, ta chia tập hữu hạn đó thành những tập con rời nhau để đếm số phần tử thuận lợi hơn.

Bài toán 2.1.1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?

Lời giải

Giả sử lập được số abcdef thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có c  d e 8 nên chỉ có thể xảy ra hai khả năng c d e, , {1,2,5} hoặc c d e, , {1, 3, 4}.

Trường hợp 1: c d e, , {1,2,5} thì a b f, , {3, 4,6,7, 8,9}. Số các số lập được trong trường hợp này là

3

1 3. 6 720

S  P A  .

Trường hợp 2: c d e, , {1, 3, 4} thì a b f, , {2, 5, 6,7, 8,9}. Số các số trong trường hợp này là

3

2 3. 6 720

S  P A  . Vậy các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là

1 2 1440

S S S  .

Tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích một bài toán đã được giải ở ví dụ 1.1.4 trong chương 1. Bây giờ, ta sẽ tiếp cận bài toán này bằng một cách khác: Đếm bằng cách liệt kê.

30

Bài toán 2.1.2. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong trường hợp bất kì hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường?

Lời giải Chúng ta đếm bằng cách liệt kê như sau:

Trường hợp 1: Dãy ghế 1 có 1 học sinh trường A và 5 học sinh trường B. Xếp dãy 1: Có C A61. 61 cách chọn ra 1 học sinh trường A và xếp vào 1 trong 6 ghế, có

5

A6 cách chọn ra 5 học sinh trường B và xếp vào 5 ghế còn lại. Xếp dãy 2: Có 5!

cách xếp 5 học sinh trường A vào 5 ghế đối diện với 5 học sinh trường B ở dãy 1, có 1! cách xếp 1 học sinh trường B còn lại. Vậy ta có S1 C A A61. . .5 !61 65 cách xếp.

Trường hợp 2: Dãy ghế 1 có 2 học sinh trường A và 4 học sinh trường B. Xếp dãy 1: Có C A62. 62 cách chọn ra 2 học sinh trường A và xếp vào 2 trong 6 ghế, có A64 cách chọn ra cách chọn ra 4 học sinh trường B và xếp vào 4 ghế còn lại. Xếp dãy 2: Có 4! cách xếp 4 học sinh trường A vào 4 ghế đối diện với 4 học sinh trường B ở dãy 1, có 2! cách xếp 2 học sinh trường B vào hai ghế còn lại. Vậy ta có

2 2 4

2 6. .6 6.4 !.2 !

S C A A cách xếp.

Trường hợp 3: Dãy ghế 1 có 3 học sinh trường A và 3 học sinh trường B. Tương tự, ta có S3 C A A63. 63. 63.3 !.3 ! cách xếp.

Trường hợp 4: Dãy ghế 1 có 4 học sinh trường A và 2 học sinh trường B. Tương tự, ta có S4 C A A64. 64. 62.4 !.2 ! cách xếp.

Trường hợp 5: Dãy ghế 1 có 5 học sinh trường A và 1 học sinh trường B. Tương tự, ta có S5 C A A65. . .5 !.1 !65 61 cách xếp.

Trường hợp 6: Xếp 6 học sinh trường A ở dãy ghế 1 và 6 học sinh trường B ở dãy ghế 2 hoặc ngược lại. Khi đó ta có S6 2 !.6 !.6 ! cách xếp.

Vậy ta có tất cả S S1 S2S3 S4 S5S6 33177600 cách xếp.

31

Bài toán 2.1.3. Người đưa thư phân phát thư đến 19 nhà ở một dãy phố. Người đưa thư phát hiện ra rằng không có 2 nhà liền kề nhau cùng nhận được thư trong cùng một ngày và không có nhiều hơn 2 nhà liền kề nhau cùng không nhận được thư trong cùng một ngày. Hỏi có bao nhiêu cách phân phối thư?

Lời giải

Từ giả thiết thứ nhất, không có hai nhà liền nhau cùng nhận được thư nên có nhiều nhất 10 nhà nhận được thư và ít nhất 9 nhà không nhận được thư. Mặt khác không có nhiều hơn 2 nhà liền nhau cùng không nhận được thư nên có ít nhất 6 nhà nhận được thư.

Trường hợp 1: Trong một ngày có 6 nhà nhận được thư ta gắn số 1 vào 6 vị trí, giữa hai vị trí phải có một nhà không nhận được thư ta gắn số 0 (do đó có 5 nhà không nhận được thư). Vậy còn 8 nhà không nhận được thư, ta có thể sắp xếp bởi các cách:

Cách 1. Có 2 nhà không nhận được thư ở vị trí đầu, 2 nhà không nhận được thư ở vị trí cuối, còn lại 4 nhà được sắp xếp vào 5 vị trí xen kẽ giữa các nhà nhận thư có

4

5 5

C  cách xếp.

Cách 2. Có 2 nhà không nhận được thư ở vị trí đầu, 1 nhà không nhận được thư ở vị trí cuối, còn lại 5 nhà được xếp vào 5 vị trí xen kẽ có 1 cách xếp.

Cách 3. Có 2 nhà không nhận được thư ở vị trí cuối, 1 nhà không nhận được thư ở vị trí đầu, còn lại 5 nhà được xếp vào 5 vị trí xen kẽ có 1 cách xếp.

Các cách còn lại, sau khi đã xếp các nhà không nhận được thư vào các vị trí ở đầu và cuối mà số nhà còn lại lớn hơn hoặc bằng 6, đều không thể có cách sắp xếp thỏa yêu cầu bài toán. Vậy có tất cả 7 cách xếp.

Trường hợp 2: Trong một ngày có 7 nhà nhận được thư xen kẽ 6 nhà không nhận thư thì sẽ còn lại 6 nhà không nhận thư. Ta có các cách sắp xếp 6 nhà không nhận được thư như sau:

Cách 1. Có 2 nhà đầu và 2 cuối không nhận được thư, còn lại 2 nhà không nhận thư xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có C62  15 cách xếp.

32

Cách 2. Có 2 nhà đầu và 1 nhà cuối không nhận thư, còn lại 3 nhà không nhận thư xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có C63  20 cách xếp.

Cách 3. Có 1 nhà đầu và 2 nhà cuối không nhận thư, còn lại 3 nhà không nhận thư xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có C63  20 cách xếp.

Cách 4. Có 1 nhà đầu và 1 nhà cuối không nhận được thư, còn lại 4 nhà không nhận thư xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có C64  15 cách xếp.

Cách 5. Có 2 nhà đầu và 0 nhà cuối, còn lại 4 nhà xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có

4

6 15

C  cách xếp.

Cách 6. Có 0 nhà đầu và 2 nhà cuối không nhận được thư, còn lại 4 nhà không nhận thư xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có C64  15 cách xếp.

Cách 7. Có 1 nhà đầu và 0 nhà cuối không nhận được thư, còn lại 5 nhà không nhận thư xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có C65  6 cách xếp.

Cách 8. Có 0 nhà đầu và 1 nhà cuối không nhận được thư, còn lại 5 nhà không nhận thư xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có C65  6 cách xếp.

Cách 9. Có 0 nhà đầu và 0 nhà cuối không nhận được thư, 6 nhà không nhận được thư còn lại xếp vào 6 vị trí xen kẽ nên có C66  1 cách xếp.

Vậy có tất cả 40 60 13  113 cách sắp xếp.

Trường hợp 3: Trong 1 ngày có 8 nhà nhận được thư. Tương tự ta có 183 cách sắp xếp.

Trường hợp 4: Trong 1 ngày có 9 nhà nhận được thư. Tương tự ta có 47 cách sắp xếp.

Trường hợp 5: Trong 1 ngày có 10 nhà nhận được thư, còn lại 9 nhà không nhận thư xếp vào 9 vị trí xen kẽ giữa các nhà nhận được thư có 1 cách sắp xếp.

Vậy ta có tất cả 7+113+183+47+1=351 cách phân phối thư.

Bài toán 2.1.4. Cho tập A{0,1,2, 3, 4,5,6,7, 8}. Tìm số các số gồm 3 chữ số phân biệt của A, chia hết cho 3.

33 Lời giải

Gọi A1 {0, 3, 6} gồm các số chia hết cho 3; A2 {1, 4, 7} gồm các số chia cho 3 dư 1; A3 {2, 5, 8} gồm các số chia cho 3 dư 2. Số gồm 3 chữ số phân biệt củaA, chia hết cho 3 khi tổng của 3 chữ số chia hết cho 3.

Trường hợp 1 (3 chữ số cùng chia hết cho 3): Khi đó số cần tìm là số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập A1. Trường hợp này có

1 3 ! 2 ! 4.

S   

Trường hợp 2 (3 chữ số chia 3 dư 1): Khi đó số cần tìm là số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập A2. Trường hợp này có

2 3 ! 6

S   .

Trường hợp 3 (3 chữ số chia 3 dư 2): Khi đó số cần tìm là số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập A3. Trường hợp này có

3 3 ! 6

S   .

Trường hợp 4 (1 chữ số chia 3 dư 0, 1 chữ số chia 3 dư 1, 1 chữ số chia 3 dư 2): Ta có 2 cách chọn 1 số chia 3 dư 0 khác 0, có 3 cách chọn 1 số chia 3 dư 1, 3 cách chọn 1 số chia 3 dư 2. Vậy số cách chọn là 2.3.3. Do đó, số các số thỏa mãn là

2.3.3.3!108.

Nếu 1 số chia hết cho 3 là 0, có 3 cách chọn 1 số chia 3 dư 1, có 3 cách chọn 1 số chia 3 dư 2. Vậy số cách chọn là 3.3. Do trừ đi trường hợp chữ số 0 đứng đầu nên số các số thỏa mãn là

3.3.(3! 2!) 36.

Suy ra, số các số thỏa mãn trường hợp 4 là S4 10836144.

Vậy có tất cả S S1S2 S3 S4    4 6 6 144160 số thỏa mãn yêu cầu của bài toán.