Sử dụng nguyên lý phân phối các đồ vật vào hộp

Chương 2. Một số cách tiếp cận tới bài toán tổ hợp

2.6. Sử dụng nguyên lý phân phối các đồ vật vào hộp

Chúng ta sẽ bắt đầu mục này bằng một định lí sau:

Định lí 2.6.1. Giả sử có N đối tượng khác nhau và k hộp khác nhau T T1, ,...,2 Tk. Ta xếp n1 đối tượng vào hộp T n1, 2 đối tượng vào hộp T2,...,nk đối tượng vào hộp Tk, với n1 n2 ...nk N . Giả sử thứ tự giữa các đối tượng trong từng hộp là không quan tâm, khi đó số tất cả các cách phân phối các phần tử vào hộp bằng

 1 2 

1 2

, ,..., !

! !... !

k

k

P n n n N

n n n

  (2.2)

Chứng minh

Mỗi cách sắp xếp các đối tượng vào hộp được mô tả như sau(tương ứng 1-1):

Xếp N đối tượng thành một hàng ngang.

Xếp n1 đối tượng đầu vào hộp T1, xếp n2 đối tượng tiếp theo vào hộp T2,…, xếp nk đối tượng cuối cùng vào hộp Tk. Vì không quan tâm tới thứ tự của các đối tượng trong hộp nên hoán vị của n1 đối tượng đầu, n2 đối tượng tiếp theo,..., nk đối tượng cuối cùng trong dãy hàng ngang không tạo nên cách phân bố mới. Như vậy số cách phân bố các đối tượng vào hộp bằng số các hoán vị có lặp của

N phần tử gồm n n1, ,...,2 nk phần tử giống nhau n1n2...nk N . Ta có

 1 2 

1 2

, ,..., !

! !... !

k

k

P n n n N

n n n

 

49

Định lí 2.6.2. Xếp N đối tượng (phần tử) khác nhau vào k hộp theo quy tắc sau:

Xếp vào j1 hộp mỗi hộp m1 đối tượng, xếp vào j2 hộp mỗi hộp m2 đối tượng,..., xếp vào j hộp mỗi hộp m đối tượng. Trong đó j1 j2...j k,

1 1 2 2 ...

m j m j  m j  N . Không quan tâm đến thứ tự của các phần tử trong từng hộp hoặc thay đổi vị trí của các hộp có số phần tử bằng nhau thì số cách phân phối N đối tượng vào k hộp bằng

 

     1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

, ,..., , , ,..., !

! j ! ...j ! . ! !... !j P m m m j j j N

m m m j j j

 

  

 

(2.3) Chứng minh

Ta mô tả một cách sắp xếp các đối tượng (phần tử) vào hộp thỏa mãn các yêu cầu của bài toán như sau:

Xếp N phần tử thành một hàng ngang và xếp vào hộp.

Vì thay đổi thứ tự giữa các đối tượng trong từng hộp hoặc thay đổi vị trí của các hộp có số phần tử bằng nhau không tạo ra phân bố mới nên số phân bố trong trường hợp này bằng

 

     1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

, ,..., , , ,..., !

! j ! ...j ! j ! !... ! P m m m j j j N

m m m j j j

 

  

 

Nhận xét 2.6.1: Khi giữa các bài toán mà số phần tử của mỗi cặp hộp bằng nhau chúng ta phải phân biệt 2 trường hợp:

Trường hợp 1: n1 n2 ...nk n. Khi đó N k n. đối tượng được xếp vào k hộp khác nhau T T1, ,...2 Tk mà thứ tự giữa các đối tượng không quan tâm bằng

   

1

, ( )!

! k P n k kn

n

  (2.4)

Trường hợp 2: k hộp không phân biệt ta không đánh số hay đặt tên trước, nên thay đổi vị trí giữa các bộ n phần tử không thu được hoán vị mới nhưng vẫn cùng một cách xếp, nên suy ra số cách xếp là:

50

   

2

, ( )!

! ! k P n k kn

k n

  (2.5)

Bài toán 2.6.1. Có bao nhiêu cách phân phối 10 vật phân biệt vào 5 hộp phân biệt sao cho hộp 1 chứa 3 vật, hộp 2 chứa 2 vật, hộp 3 chứa 2 vật, hộp 4 chứa 3 vật và hộp 5 không chứa vật nào?

Lời giải

Xếp 10 vật thành một hàng ngang có 10 ! cách xếp.

Xếp 3 vật đầu tiên vào hộp 1, xếp 2 vật tiếp theo vào hộp 2, xếp 2 vật tiếp theo vào hộp 3, xếp 3 vật tiếp theo vào hộp 4.

Vì không quan tâm đến thứ tự các vật trong từng hộp nên hoán vị của 3 vật đầu, 2 vật tiếp theo ở hộp 2, 2 vật ở hộp 3 và 3 vật ở hộp 4 không tạo ra cách phân phối mới.

Như vậy số cách phân phối 10 đồ vật đã cho vào 5 hộp phân biệt sẽ là 10!

25200 3!2!2! 3! 

Chú ý: Ta hoàn toàn có thể giải bài toán bằng cách giải sau đây. Cách giải này cũng là một hướng cho cách chứng minh các định lí 2.6.1 và 2.6.2.

Cách giải 2. Mỗi cách phân phối có thể tiến hành liên tiếp theo các bước sau:

Bước 1: Chọn 3 trong 10 vật cho vào hộp 1. Suy ra 1 103 10!

7 ! 3!

n C  

Bước 2: Chọn 2trong 7 vật còn lại cho vào hộp 2. Suy ra 2 72 7 ! n C  5!2! Bước 3: Chọn 2 trong 5 vật còn lại cho vào hộp 3. Suy ra 3 52 5!

n C  3!2! Bước 4: Chọn 3 vật còn lại cho vào hộp 4. Suy ra n4 C33.

Theo quy tắc nhân, số cách phân phối 10 vật phân biệt vào 5 hộp phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài là 1. . .2 3 4 10! 25200.

3!2!2! 3!

n n n n  

51

Bài toán 2.6.2. Một xe chở 50 khách và dừng ở 10 điểm đỗ. Có bao nhiêu trường hợp khác nhau sao cho ở mỗi điểm đỗ có đúng 5 người khách xuống xe?

Lời giải

Ta có 50! cách xếp 50 khách thành một hàng ngang.

Đánh số các điểm đỗ là T T1, ,...,2 T10. Khi đó 5 khách đầu tiên xuống ở điểm đỗ T1, 5 khách tiếp theo xuống ở điểm đỗ T2,..., 5 khách cuối cùng xuống ở điểm đỗ T10. Vì thay đổi thứ tự 5 khách khi xuống ở một điểm đỗ không thu được cách xếp mới. Suy ra, số cách xuống xe của 50 khách ở 10 điểm đỗ khác nhau, mỗi điểm đỗ đúng 5 khách sẽ bằng 50!10

(5!) 

Bài toán 2.6.3. Có 10 cặp vợ chồng đi du lịch, các cặp vợ chồng đi trên 5 con thuyền nhỏ (giống nhau), mỗi thuyền chở 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho mỗi thuyền có đúng 2 nam và 2 nữ?

Lời giải

Đầu tiên ta xếp 10 nam vào 5 thuyền mỗi thuyền 2 nam. Ta có 10! cách xếp 10 nam thành một hàng ngang. Hai nam đầu ta xếp vào 1 trong 5 thuyền, hai nam sau ta xếp vào 1 trong 4 thuyền còn lại,..., hai nam cuối cùng ta xếp vào thuyền thứ 5. Vì thay đổi thứ tự giữa hai nam trong cùng một thuyền không thu được cách xếp mới. Vì thay đổi thứ tự giữa các thuyền cũng không thu được cách xếp mới. Suy ra số cách xếp 10 nam vào 5 thuyền bằng 1 10! 5

5!(2!)

P  

Sau khi xếp mỗi thuyền 2 nam thì mỗi thuyền được đánh số T T T T T1, , , ,2 3 4 5, tương ứng với 2 nam cụ thể đã xếp. Khi đó có 2 10!5

P (2!) cách xếp 10 nữ vào 5 thuyền T T T T T1, , , ,2 3 4 5 nêu trên.

Theo quy tắc nhân thì số cách sắp xếp bằng

2

5 5 10

10! 10! (10!) 5!(2!) (2!)  5!(2!) 