Chương 2. Một số cách tiếp cận tới bài toán tổ hợp
2.8. Sử dụng phương pháp đánh số
Khi chọn các vị trí để sắp xếp các phần tử theo yêu cầu bài toán đặt ra phức tạp, ta nên đánh số các vị trí và thay thế mỗi cách chọn một bộ số tương ứng có tính chất tương ứng với các yêu cầu của bài toán. Việc tìm các bộ số có tính chất cho trước là hết sức đơn giản.
Bài toán 2.8.1. Một tổ học sinh có 7 nam, 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tổ thành một hàng ngang sao cho 2 em nữ không đứng cạnh nhau?
Lời giải
Ta đánh số các vị trí từ 1 đến 11. Khi đó việc chọn 4 vị trí không kề nhau để sắp xếp các em nữ tương ứng với việc chọn 4 số a b c d, , , thỏa mãn tính chất sau
4 a 3 b 2 c 1 d 11.
55
Để có bộ 4 số ( , , , )a b c d thỏa mãn yêu cầu bài toán ta chỉ cần chọn 4 số phân biệt a 3,b2,c1,d trong 8 số từ 4 đến 11. Số cách chọn bằng C84. Suy ra có
4
C8 cách chọn 4 vị trí không kề nhau để xếp các học sinh nữ. Ta có 4! cách xếp 4 nữ, 7! cách xếp 7 nam.
Vậy số cách xếp là C84.4 !.7 ! 8467200.
Bình luận: Ngoài cách giải bài toán theo cách trên, ta cũng có thể giải bài toán theo một cách khác như sau:
Cách 2: Ta thấy 7 học sinh nam khi xếp thành hàng ngang, tạo ra 8 vị trí để đặt 4 học sinh nữ, sao cho không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau. Xếp 7 học sinh nam có 7! cách xếp. Ta có C84 cách lấy ra 4 vị trí từ 8 vị trí để xếp 4 học sinh nữ và có 4! cách đổi chỗ 4 học sinh nữ cho nhau.
Vậy có tất cả C84.4 ! 7 ! cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài toán 2.8.2. Xét đa giác đều n đỉnh (n 12). Hỏi có tất cả bao nhiêu tứ giác có 4 cạnh là 4 đường chéo của đa giác?
Lời giải
Ta đánh số các đỉnh A A1, 2,...,An tương ứng với các chỉ số. Ta đếm các tứ giác thỏa mãn yêu cầu bài toán có đỉnh là A1. Các đỉnh A A2, n sẽ không được chọn vì A A A A1 2, 1 n là cạnh của đa giác. Ta cần chọn thêm 3 đỉnh tương ứng với bộ 3 số ( , , )a b c thỏa mãn tính chất
5 a 2 b 1 c n 1.
Vì giữa hai đỉnh phải có ít nhất một đỉnh nên số cách chọn 3 đỉnh bằng số cách chọn 3 số phân biệt trong n5 số từ 5 đến n1. Suy ra số tứ giác đỉnh A1 thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng Cn35. Vì có n đỉnh và mỗi tứ giác được đếm lặp lại 4 lần theo 4 đỉnh nên số tứ giác cần tìm bằng
3 5
4 nCn
.
56
Bài toán 2.8.3. Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu làG G G G G1, 2, 3, 4, 5 và 12 chàng trai. Có 17 ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho vào các ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
(i) Mỗi ghế có đúng 1 người ngồi;
(ii) Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải là G G G G G1, 2, 3, 4, 5; (iii) Giữa G1 và G2 có ít nhất 3 chàng trai;
(iv) Giữa G3 và G4 có ít nhất là 1 chàng trai và nhiều nhất là 4 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?
(Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau).
Lời giải
Đánh số thứ tự của các ghế từ trái sang phải là 1, 2,...,17. Gọi x x x x x1, , , ,2 3 4 5 là vị trí chỗ ngồi của các cô gái G G G G G1, 2, 3, 4, 5 tương ứng. Đặt
1, , , ,2 3 4 5 | 1 1 2 3 4 5 17; 3 2 1;1 4 3 6
A x x x x x x x x x x x x x x thì ta cần tìm A.
Vì x2x1 3 nên x2 3 x1. Khi đó, ta có
1 2 3 4 5
1x x 3 x 3 x 3 x 3 14 và 1x4x3 6. Đổi biến
1 1, 2 2 3, 3 3 3, 4 4 3, 5 5 3
y x y x y x y x y x ta được
1 2 3 4 5
1y y y y y 14 và y4y3 2, 3, 4, 5 .
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Với y4y3 2 suy ra 1y1 y2 y3 y5 2 12. Ta chọn 4 số phân biệt y y y y1, , ,2 3 52 trong 12 số từ 1 đến 12 có C124 cách chọn.
Trường hợp 2: Với y4y3 3 suy ra 1y1 y2 y3 y5 3 11. Ta chọn 4 số phân biệt y y y y1, , ,2 3 53 trong 11 số từ 1 đến 11 có C114 cách chọn.
57
Trường hợp 3: Với y4y3 4 suy ra 1y1 y2 y3 y5 4 10. Ta chọn 4 số phân biệt y y y y1, , ,2 3 54 trong 10 số từ 1 đến 10 có C104 cách chọn.
Trường hợp 4: Với y4y3 5 suy ra 1y1 y2 y3 y5 5 9. Ta chọn 4 số phân biệt y y y y1, , ,2 3 55 trong 9 số từ 1 đến 9 có C94 cách chọn.
Từ các trường hợp trên ta được
4 4 4 4
12 11 10 9 1161.
A C C C C
Vậy số cách xếp chỗ ngồi cho 5 cô gái bằng 1161. Vì còn 12 chàng trai có thể hoán vị ở 12 chiếc ghế dành cho họ nên số cách xếp thỏa mãn yêu cầu của bài toán là 12!.1161.