Để nghiên cứu cấu trúc của nhóm đại số thì bước quan trọng đầu tiên là tìm hiểu thuộc tính các phần tử trong nhóm. Ta sẽ dùng các kết quả về dạng chuẩn Jordan trong Đại số tuyến tính để làm điều này.
Định nghĩa 1.3.1. (xem [16, p. 22]) Ta nói một phần tử X∈End(V) là nửa đơn nếu X là chéo hóa được. Phần tử X là lũy linh nếu Xn=0 với một n nguyên dương nào đó. Phần tử X là lũy dơn nếu X−Id là lũy linh.
Sau đây ta sẽ đề cập (không chứng minh) một số kết quả để đi đến việc hiểu phân tích một phần tử bất kỳ của nhóm đại số thành hai phần, phần nửa đơn và phần lũy đơn.
Mệnh đề 1.3.2. (xem [16, Prop. 1, p. 24]) Cho V là không gian vectơ n chiều trên trường đóng đại số k, và cho X ∈End(V) là một tự đồng cấu của V. Thế thì tồn tại các tự đồng cấu S, N thuộc End(V) sao cho: X = S+N, trong đó S là nửa đơn, N là lũy linh, và S, N giao hoán với nhau. Hơn nữa, S, N được xác định duy nhất theo điều kiện vừa nêu và được gọi tương ứng là phần nửa đơn và phần lũy linh của X.
Nhận xét 1.3.3. Khái niệm trên có thể định nghĩa, với một chút thay đổi, với một trườngk tùy ý (không nhất thiết đóng đại số). Chúng ta có thể định nghĩa một tự đồng cấu thuộcEnd(V)là nửa đơn nếu tự đồng cấu tương ứng trongV ⊗kk là nửa đơn. Khi đó hai điều kiện trên sẽ được thỏa mãn, tuy nhiên chúng ta không chắc chắn liệu thành phần nửa đơn và lũy linh (tương ứng, lũy đơn) có thuộc End(V) hay không. Mặc dù vậy, nếuK là hoàn thiện thì các thành phần nửa đơn và lũy linh (tương ứng, lũy đơn) sẽ thuộcEnd(V). Thật vậy, choσ∈Gal(k/k). ĐặtX=S+N là phân tích củaX trong End(V). Thế thìσX =σS+σN, với σS là nửa đơn,σN là lũy linh vàσS.σN =σN.σS.
Hơn nữa σX =X vì X ∈End(V) xác định trên trường cơ sởk. Bởi tính duy nhất của phân tích, σS =S và σN =N. Vì trường k là hoàn thiện, nên S ∈End(V) và σS =S với mọiσ∈Gal(k/k). Tương tự N ∈End(V).
Bây giờ chúng ta sẽ mở rộng một phần ý tưởng của khai triển Jordan trong trường hợp không gian vô hạn chiều. Cho V là không gian vectơ (không nhất thiết hữu hạn chiều, chẳng hạnV =k[G] là đại số các hàm chính quy trên G).
Định nghĩa 1.3.4. (xem [16, p. 27]) Phần tử X ∈ End(V) được gọi là hữu hạn địa phương nếu V = ∑λ∈ΛVλ với mỗi Vλ là không gian con ổn định hữu hạn chiều của X;
hoặc một cách nói khác, nếu mỗi v ∈V được chứa trong một không gian con ổn định hữu hạn chiều dưới tác động của X.
Ta biết một tự đồng cấu trên không gian con vô hạn chiều chưa chắc toàn ánh kể cả khi nó đơn ánh. Tuy nhiên ta có khẳng định sau:
Bổ đề 1.3.5. (xem [16, Lemma, p. 27])Cho X∈End(V)là hữu hạn địa phương. Thế thì các khẳng định sau đây là tương đương:
(a) X là một tự đẳng cấu.
(b) Tất cả các giá trị riêng của X đều là khác không.
Mệnh đề 1.3.6. (xem [16, Prop. 1]) Cho X thuộc End(V) là hữu hạn địa phương.
Thế thì tồn tại các tự đồng cấu S, N thuộc End(V) sao cho X = S+N và S, N là giao hoán. Nếu V′ là không gian con hữu hạn chiều bất biến dưới tác động của X, thì S(V′) ⊆V′, N(V′) ⊆V′, và X∣V′ =S∣V′ +N∣V′ là phân tích của X∣V′ thành các phần nửa đơn và lũy linh như đã nói ở mục trước.
Nhận xét 1.3.7. Các phần tử nửa đơn và lũy linh S và N được định nghĩa tốt.
Thật vậy, xột cỏc khụng gian con riờngVλ vàVà. Thế thỡW =Vλ∩Và bất biến dưới tác động củaX, và
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎩
X∣W =Sλ∣W +Nλ∣W
X∣W =Sà∣W+Nà∣W
(1.6)
là khai triển Jordan thành các thành phần nửa đơn và lũy linh. Do tính duy nhất của khai triển ta có:
Sλ∣W =Sà∣W và Nλ∣W =Nλ∣W.
Do đóS, N được định nghĩa tốt. Vì Sλ.Nλ =Nλ.Sλ với mọi λ∈Λ, nên S.N =N.S, Từ đó suy raX =S+N.
Bổ đề 1.3.8. Cho x∈Aut(V)là một tự đẳng cấu hữu hạn địa phương. Thế thì tồn tại các tự đẳng cấu s, u∈Aut(V) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. x=s.u, với s là nửa đơn, u là lũy đơn địa phương.
2. s và u là giao hoán.
3. Nếu V′ là không gian con hữu hạn chiều của V với x(V′) ⊆ V′ thì s(V′) ⊆ V′, u(V′) ⊆V′ và x∣V′ =s∣V′+u∣V′ là phân tích của x∣V′.
Nhận xét 1.3.9. Phân tích trên và ở mục trước được gọi là phân tích Jordan
Bây giờ ta chuyển sang tìm hiểu phân tích Jordan trong nhóm đại số tùy ý. Cho G là một nhóm đại số và A=k[G]. Theo Bổ đề 1.2.5, các tự đẳng cấu ρ∗x và λ∗x là hữu hạn địa phương với mọi x∈G. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.10. (a) Một phần tử s ∈ G được gọi là nửa đơn nếu ρ∗s ∶ A → A cũng là nửa đơn.
(b) Một phần tử u∈G được gọi là lũy đơn nếu ρ∗u∶A→A cũng là lũy đơn.
Nhận xét 1.3.11. Phần tử s là nửa đơn nếu và chỉ nếu s−1 là nửa đơn. Từ đó λx=i○ρx−1○i−1. Vì vậyλ∗x=i∗○ρ∗x−1○i∗. Vì vậy ρ∗x là nửa đơn nếu và chỉ nếu λ∗x cũng có tính chất đó. Ta cũng có ρ∗x là lũy đơn nếu và chỉ nếu λ∗x cũng vậy. Nói cách khác, xlà nửa đơn nếu và chỉ nếu λ∗x cũng nửa đơn, vàx lũy đơn nếu và chỉ nếuλ∗x cũng lũy đơn.
Mệnh đề 1.3.12. Cho x∈G. Thế thì tồn tại phần tử y, z ∈G sao cho x=y.z =z.y, trong đóy nửa đơn còn z lũy đơn. Mỗi phân tích này là duy nhất và các phần tử tương ứng được gọi là thành phần nửa đơn và thành phần lũy đơn củax. Chúng lần lượt được kí hiệu bởi xs và xu. Một khai triển như vậy được gọi là khai triển Jordan của x trong nhóm G.
Bổ đề 1.3.13. Cho A là một đại số trên trường k (không cần thiết phải có tính giao hoán hay kết hợp). Cho σ là một tự đẳng cấu k-đại số của A thỏa mãn tính chất hữu hạn địa phương. Choσ=s.u là khai triển Jordan của σ. Thế thì s vàu tương ứng cũng là các k-đại số các tự đồng cấu của A.
Mệnh đề 1.3.14. Nếu G là nhóm con đóng của GL(V) và x ∈ G, thế thì hai khai triển Jordan của x, xem như tự đẳng cấu trênV và xem x như một phần tử thuộc G, phải trùng nhau.
Mệnh đề 1.3.15. Khai triển Jordan là được bảo toàn bởi các đồng cấu của nhóm đại số.
Cả hai Mệnh đề 1.3.14 và 1.3.15 đều là hệ quả của bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.16. Cho ρ∶G→GL(V) là một biểu diễn của G và x∈G. Thế thì ρ(x) = ρ(xs).ρ(xu) là khai triển Jordan của ρ(x) xem như một tự đồng cấu củaV.