Trước khi phát biểu định lý hữu hạn Richardson, ta cần khái niệm quan trọng sau sẽ được tìm hiểu kỹ hơn trong Mục 2.3.
Định nghĩa 2.1.1. (Cặp reductive) Ta nói cặp(H, G)trong đóH là nhóm đại số con của G là một cặp reductive nếu đại số Lie con tương ứng h của g là một hạng tử trực tiếp xem nhưAd(H)-môđun con, nghĩa là tồn tạiAd(H)-môđun conmcủagsao cho:
g=h⊕m.
Định lý 2.1.2. (Định lý hữu hạn Richardson, xem [11, Theorem 3.1]) Cho H ≤G là một cặp reductive các nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường đóng đại số đặc số 0với các đại số Lie tương ứng h và g. Ta xét tác động liên hợp của Glên chính nó. Ta có các khẳng định sau:
(a) Vớix∈h, ký hiệuG.x là một quỹ đạo củaxtrong h dưới tác động liên hợp (chính là một lớp liên hợp của G trong g). Thế thì G.x∩h là hợp rời của một số hữu hạn các lớp liên hợp của H.
(b) Với h ∈ H, ký hiệu G.h là một quỹ đạo của h trong G dưới tác động liên hợp (chính là một lớp liên hợp của G trong G). Thế thì G.h∩H là hợp rời của một số hữu hạn các lớp liên hợp của H.
Chứng minh. (a): Nhóm G tác động lên chính nó bằng tác động liên hợp dẫn ra ánh xạ
Ad(g) ∶g→g.
Từ đó cảm sinh tác động phụ hợp của G lên g cho bởi:
g.x∶=Ad(g)(x).
Tác động phụ hợp trên lại cảm sinh ánh xạ quỹ đạo η∶G→g với mỗix∈h:
g↦g.x=Ad(g)(x). Ta chỉ ra vi phân của ánh xạ quỹ đạoη bằng:
(dη)e(y) =ady(x) = [y, x].
Thật vậy, ánh xạ β∶End(g) →g,T ↦T(x) cho biểu thị sau củaη:
η(g) =β(Adg),
kéo theo (dη)e(y) = β ○ ad(y) sau khi đồng nhất Tx(g) với g. Do đó (dη)e(y) = ad(y)(x) = [y, x]. Vì đặc số char.K =0, nên
Tx(G.x) =Im(dηe)
= [g, x]
= {[y, x] ∣y∈g}.
Cho Z là một thành phần liên thông (bất khả quy) chứa x của G.x∩h ta có Tx(Z) ⊆ [g, x] ∩h.
Ta chỉ ra các bao hàm thức sau:
Tx(Z) ⊆ [h, x] ⊆Tx(H.x) ⊆Tx(Z). Thật vậy cho z∈Tx(Z), ta có
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎩
z∈h
z= [y, x]với y∈g nào đó.
Vì (G, H) là một cặp reductive, nên ta chọn được một phần bù tuyến tính W của h trong g sao cho W là Ad(H)-ổn định:
g=h⊕W.
Do đóy=y1+y0 với y1 ∈h và y0 ∈W. Vậy
z− [y1, x] = [y0, x] ∈W∩h= {0},
doW là Ad(H)-ổn định. Thế thì z= [y1, x] ∈ [h, x], và kéo theo:
Tx(Z) ⊆ [h, x].
Các bao hàm thức còn lại là đương nhiên vì Tx(H.x) ⊇Im(dη)e(h) = [h, x] và H.x⊆Z (do H liên thông), kéo theo
Tx(H.x) =Tx(Z).
VìH.xlà một đa tạp con trơn, nêndimTy(H.x) =dimH.xvới mọi y∈H.x. Mặt khác, dimTx(Z) ≥dimZ, nên dimH.x≥dimZ. Lại do H.x⊆Z, ta có dimH.x=dimZ. Từ đó suy raH.x chứa một tập con mở trù mật của Z. Nếu có một quỹ đạo C′ khác của Z, thì tương tự, C′ chứa một tập con mở trù mật khác của Z, suy ra H.x∩C′ = ∅, suy ra mâu thuẫn. VậyH.x⊆Z chính là một thành phần bất khả quy của Z. Vậy theo tính chất Noether của tập đại số G.x∩h (xem Hệ quả 1.2.11), tập này chỉ gồm hữu hạn thành phần bất khả quy, suy ra tính chất hữu hạn cần chứng minh.
(b): Nhúng Gvào nhóm tuyến tính tổng quátGL(V)nào đó và cho Gtác động lên chính nó bằng phép liên hợp. Với h∈H ta có ánh xạ quỹ đạo:
η∶GÐ→End(V)
g ↦ghg−1∈G⊆GL(V) ⊆End(V). Cho ánh xạ β∶End(End(V)) Ð→End(V) bởi T ↦T(h). Khi đó
η(g) =β(Adgl(V)g)với mọi g∈G.
Do đó (dη)e =β○adgl(V)∣
g (vì β là một ánh xạ tuyến tính). Từ đó suy ra (dη)e(y) = [y, h] =ad(y)(h), kéo theo
Im(dη)e= [g, h] ⊆gl(V). Mặt khác vì char.K =0, nên Th(G.h) = [g, h]. Ngoài ra ta có:
Th(H) =hh= {hy∣y∈h}.
Cho Z là một thành phần bất khả quy củaG.h∩H chứa h ta có:
Th(Z) ⊆Th(G.h) ∩Th(H) = [g, h] ∩hh.
Ta chỉ ra Th(Z) =Th(H.h). Thật vậy, cho z∈Th(Z), tồn tại x∈g và y∈h sao cho z=xh−hx=hy.
Thế thìxh=h(x+y), kéo theox=h(x+y)h−1=Ad(h)(x+y), suy rax= (Adgh) (x+y). Ta có thể viết x=x0+x1, trong đó x0 ∈h, x1 ∈W là thành phần Ad(H)-ổn định. Do đó
x0=Ad(h)(x0+y+x1) −x1, kéo theo
x0−Ad(h)(x0+y) =x1−Ad(h)(x1) ∈h∩W.
Vậy x0=Ad(h)(x0+y), kéo theo hy= [x0, h], kéo theo z∈ [h, h]. Do đó ta có bao hàm thức:
Th(Z) ⊆ [h, h] ⊆Th(H.h) ⊆Th(Z).
Thế thìTh(Z) =Th(H.h), kéo theoH.h⊆Z là một tập con mở. Lập luận tương tự như phần (a), cũng từ tính chất Noether củaG.h∩H, ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.1.3. (B. Kostant, xem [11, Corollary 8.2]) Cho K =K là một trường đóng đại số đặc số 0.
(a) Nếug là một đại số Lie nửa đơn trên K, thì g chỉ chứa hữu hạn lớp liên hợp các phần tử lũy linh.
(b) Cho G là một nhóm đại số nửa đơn xác định trên K. Khi đó G chỉ có hữu hạn lớp liên hợp các phần tử lũy đơn.
Chứng minh. (a): Vì g là một đại số Lie nửa đơn nên g≅ad(g)là ảnh của g qua ánh xạ
ad∶g→gl(g)
x↦ad(x)(y) = [x, y].
Hơn nữa,G⊆GL(g)nhậnglàm đại số Lie. Vìchar.K=0,gnửa đơn nên(GL(g), G)là một cặp reductive. Vậy theo Định lý 2.1.2(a), mỗi quỹ đạo của GL(g) trongad(g) ≅g phân tách được thành hữu hạn quỹ đạo của G. Mặt khác, lại do gl(g)chỉ có hữu hạn lớp các phần tử lũy linh (theo định lý về dạng chuẩn Jordan), nên số lớp các phần tử lũy linh là hữu hạn.
(b): Nhúng G ↪ GLn như một nhóm con đóng. Vì G nửa đơn, char.K = 0 nên (GLn, G) là một cặp reductive. Do đó theo theo Định lý 2.1.2(b), mỗi quỹ đạo của GLn trong G phân tách được thành hữu hạn lớp liên hợp của G. Mặt khác, lại do GL(V)chỉ có hữu hạn lớp các phần tử đơn (theo định lý về dạng chuẩn Jordan), nên số lớp các phần tử lũy đơn là hữu hạn.
Định lý 2.1.4. (xem [11, Theorem 4.1], [13, Theorem 5.1, p. 182]) Cho K là một trường đóng đại số với đặc số tùy ý,H ⊆GL(V) là một nhóm con sao cho(GL(V), H) là một cặp reductive.
(a) Nếu x∈h, thì giao GL(V).x∩h chỉ gồm hữu hạn lớp liên hợp của H.
(b) Nếu h∈H thì GL(V).h∩H chỉ gồm hữu hạn lớp liên hợp của H.
Nhận xét 2.1.5. Định lý trên rút ra chỉ có một số hữu hạn các lớp H-liên hợp các phần tử củah (cũng nhưH) nhận dạng chuẩn Jordan cho trước.
Chứng minh Định lý 2.1.4. (a): Ký hiệu G=GL(V), ta chỉ cần chỉ ra dưới những giả thiết của định lý vẫn có kết luận cấu xạ dηe ∶g ↠Tx(G.x) là toàn ánh tương tự khi đặc số bằng0. Theo Bổ đề 1.6.4 (hay [11, Lemma 2.1]), ta chỉ cần chứng minh
dimGx =dimgx. Nhận thấy
1. Gx là tâm của x trong GL(V) =G.
2. gx là đại số con của đại số kết hợpEnd(V)bao gồm các phần tửx∈End(V)giao hoán với x. Do đó Gx =g×x. Vậy dimGx =dimgx. Phần còn lại giống với chứng minh Định lý 2.1.2.
(b): Chứng minh tương tự phần (a).
Hệ quả sau sẽ được thảo luận kỹ ở Mục 2.3.
Hệ quả 2.1.6. (xem [11, Corollary 4.2]) Cho (GL(V), H) là một cặp reductive các nhóm đại số. Khi đóH (tương ứng,h) chỉ có hữu hạn lớp liên hợp các phần tử lũy đơn (tương ứng, lũy linh).
Hệ quả 2.1.7. (xem [13, Corollary 5.2, p. 183])Nếu GL(V) ⊇G là một cặp reductive, nghĩa là gl(V) = g⊕m với m ổn định đối với tác động của Ad(G), và g ∈ G, thì Zg(g) =LieZG(g).
Chứng minh. Cho cấu xạ
f ∶GLnÐ→ C1.g−1 x↦x.g.x−1.g−1,
trong đó C1= {xgx−1∣x∈GLn}là một lớp liên hợp của GLn.
Bổ đề 2.1.8. Vi phân tại điểm đơn vị (df)e∶glnÐ→T(C1g−1)e là một toàn ánh.
Thật vậy ta tính toán số chiều của đại số Lie tương ứng:
dimT(C1.g−1)e=dim(C1.g−1)
=dimC1
=dim GLn−dimZGLn(g). Vậy ta chỉ cần chỉ ra
dim Ker(df)e=dimZGLn(g). (2.1) Thật vậy ta có
Ker(df)e= {X∈gln∣Xg =gX}, ZGLn(g) = {x∈GLn∣xg=gx}.
Do đó ZGLn(g) = Ker(df)×e là tập con mở của Ker(df)e. Do đó đẳng thức (2.1) đúng, suy ra vi phân (df)e∶glnÐ→T (C1g−1)e là một toàn ánh.
Bổ đề 2.1.9. ChoZ là một thành phần liên thông (bất khả quy) củaC1∩G=GLn.g∩G.
Thế thì ta có dãy các bao hàm thức sau:
T(Zg−1)e⊆T(C1g−1)e∩T(G)e=
= (1−Ad(g)) (gln) ∩g= (1−Ad(g)) (g) ⊆T(C.g−1)e⊆T(Zg−1)e. (2.2) Bao hàm thức thứ nhất do Zg−1 ⊆ C1g−1 ∩G. Bao hàm thức thứ hai do từ Bổ đề 2.1.8, vi phân (df)e là toàn ánh, kéo theo
T(C1.g−1)e=Im(df)e= (1−Ad(g)) (gln).
Bao hàm thức thứ ba xuất phát từ điều kiện của cặp reductivegl(V) =g⊕mvới mổn định đối với tác động của Ad(G) ta có
(1−Ad(g)) (gln) = (1−Ad(g)) (g) ⊕ (1−Ad(g))(m). Từ đó suy ra
(1−Ad(g)) (gln) ∩g= (1−Ad(g)) (g).
Bao hàm thức thứ ba xuất phát từ cấu xạ f ∶G Ð→ C.g−1, x ↦ xgx−1g−1 và vi phân của nó
(df)e(g) = (1−Adg)(g) ⊆Tg(C.g−1).
Bao hàm thức cuối cùng do Gliên thông nên C ⊆Z. Từ bao hàm thức nói trên suy ra (1−Adg)(g) =T(Cg−1)e, kéo theo
dim(1−Ad(g)) (g) =dimC. Vậy
dimZG(g) =dimG−dimC =dim Ker(1−Ad(g)) =dimZg(g),
hay tóm lại dimZG(g) = dimZg(g). Vậy kết hợp với khẳng định LieZG(g) ⊆Zg(g) ta có điều cần chứng minh.