1.4.1 Cách xây dựng
Trong mục này ta sẽ xây dựng đại số Lie của một nhóm đại số affineG. Bắt đầu với đại số A=k[G] các hàm chính quy trên G, ta dẫn ra các phép tịnh tiến trái λx, x∈G cho bởiλx(f)(y) =f(x−1y). Nhận thấy tập L(G) các phép đạo hàm bất biến trái của A (giao hoán với phép tịnh tiến trái) có cấu trúc (tự nhiên, thông qua móc Lie của trường vectơ (các phép đạo hàm)) của một đại số Lie hạn chế và ta gọi đó là đại số Lie của G. Cụ thể:
L(G) = {δ∈Derk(A, A) ∣λxδ=δλx với mọi x∈G},
trong đó Derk(A, A) = {Ánh xạ k-tuyến tính δ∶A→A∣ δ(f g) =f δ(g) +gδ(f)}. Hơn nữa, nhờ phép toán nhóm của G, dẫn đến phép tịnh tiến trái, ta có thể đồng nhất các đạo hàm bất biến trái của G với các phép đạo hàm tại điểm đơn vị (chính là không gian tiếp xúc tại đơn vị). Ta sẽ chỉ rõ các phép đồng nhất này. Ký hiệu g = T(G)e≃Derk(A, ke)là không gian tiếp xúc tại đơn vị. Ta định nghĩa ánh xạ tự nhiên e∶L(G) →g là phép định giá tại e:
e∶ (δ∶k[G] →k[G]) ↦ (e○δ∶k[G] →ke).
Chiều ngược lại gÐ→L(G)cho bởi phép chập(∗), chuyển một phép đạo hàm điểm X∈g thành một phép đạo hàm bất biến trái ∗X∈Derk(A, A)cho bởi công thức:
f∗X = (id⊗X)à∗f, (1.7)
trong đú à∗ đối cấu xạ của phộp nhõn trờn G. Với biểu thị:
à∗f =∑n
i=1ui⊗vi∈k[G] ⊗k[G], ta có
(f∗X)(x) =∑n
i=1(Xvi)ui(x) =X(λx−1f).
Cho G là một nhóm đại số affine, A=k[G] là đại số các hàm chính quy trên đó.
Về mặt tập hợp ta định nghĩa đại số Lie là không gian tiếp xúc tại điểm đơn vị g=T(G)e=Der(A, κ(e)).
Nhận xét 1.4.1. Phép chập cho bởi công thức (1.7) xác định một ánh xạ g→L(G), nghĩa là tương ứng X ↦ ∗X cho một ánh xạ k-tuyến tính, và ∗X cho một phép đạo hàm bất biến trái.
Chứng minh. Thật vậy
(f g∗X)(x) =X(λx−1(f g)) =X((λx−1f)(λx−1g))
=X(λx−1f)g(x) +f(x)X(λx−1g)
= (X∗f)(x)g(x) +f(x)(X∗g)(x). Hơn nữa,
(λy(f∗X))(x) = (f∗X)(y−1x) =X(λx1yf) =X(λx−1((λyf) ∗X)(x).
Sau đây là mệnh đề chính đề cập đến tương ứng nói trên.
Mệnh đề 1.4.2. (xem [4, Prop. 3.1, p. 12]) Ta có e∶L(G) Ð→g là một đẳng cấu của các không gian vectơ với ánh xạ ngược X ∈g↦ (∗X) ∈L(G).
Chứng minh. Ta kiểm tra các hợp thành của hai ánh xạ nói trên.
Hợp thành thứ nhất cho bởi:
(f∗ (e○δ))(x) =e○δ(λx−f)
= (δλx−1f)(e)
= (λx−1δf)(e) =δf(x). Hợp thành thứ hai cho bởi:
(f∗X)(e) =X(λe−1f) =Xf.
Vì vậy các ánh xạ trên là nghịch đảo của nhau.
Từ đẳng cấu L(G) ≅g nói trên,gcó được cấu trúc của đại số Lie hạn chế cảm sinh từ móc Lie trênL(G). Do đó ta cũng gọi glà đại số Lie của G.
Nếu ϕ∶G→H là một đồng cấu giữa các nhóm đại số, thì vi phân của cấu xạ đó dϕ∶g→h là ánh xạ trên các đại số Lie tương ứng. Cấu trúc đại số Lie của L(G) có các tính chất tự nhiên sau:
Mệnh đề 1.4.3. (xem [4, Prop. 3.2]) Cho G, H là các nhóm đại số, φ∶G→H là một đồng cấu, thế thì:
1. Vi phândϕ∶g→h là một đồng cấu giữa các nhóm Lie hạn chế.
2. Nếu G là một nhóm con đóng của H và ϕ là ánh xạ nhúng, thì dϕ∶g →h cho phép đồng nhất g với một đại số Lie con hạn chế của H.
Mệnh đề 1.4.4. (xem [4, Prop. 3.3])Cho Glà một nhóm đại số,H là nhóm con đóng, và J là iđêan của k[G] tương ứng với H, k[H] =k[G]/J. Khi đó:
1. L(H) = {δ∈L(G) ∣δJ ⊂J}. 2. h= {X∈g∣X(J) =0}.
1.4.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.4.5. 1. Nhóm cộng Ga. Vành hàm chính quy k[Ga] =k[t]. Vì Ga có chiều bằng 1, L(Ga) ≅k, với móc Lie đồng nhất với 0. Ở đóL(Ga) sinh bởi các phép đạo hàm bất biến trái d/dt ∶ k[t] → k[t]. Nếu char.k >0, thì toán tử p là đồng nhất với0 vì (d/dt)ptn =n(n−1)...(n− (p−1))tn−p và tích của p số nguyên liên tiếp chia hết chop.
2. Nhóm nhân Gm. Vành hàm chính quy k[Gm] = k[t, t−1]. Lại có chiều của Gm bằng 1. Vì vậy L(Gm) ≃ k, trong đó L(Gm) sinh bởi phép đạo hàm δ cho như sau, δ xác định duy nhất bởi giá trị của nó tạit, δ(t) =f(t) ∈k[t, t−1]. Điều kiện bất biến trái đòi hỏi f(xt) =f(t)với mọi x∈k×, vì vậy f(t) =atvới a∈k, nhận được một đẳng cấu của L(Gm) tới k. Nếu δ(t) =at, thìδp(t) =apt, vì vậyp-toán tử có dạng a↦ ap với p=char.k >0. Lưu ý rằng đại số Lie hạn chế của Ga và Gm là đẳng cấu nếu và chỉ nếu char.k =0 vì các p-toán tử tác động khác nhau trên đại số Lie.
Ví dụ 1.4.6. (Nhóm tuyến tính tổng quát) Vì GLn là một tập con mở, trù mật của Matn=kn2, nên không gian tiếp xúc của GLn tại En có một cơ sở bao gồm các phép đạo hàm ∂t∂
ij∣
En
. Đồng nhấtX ∈glnvới ma trận tọa độ (xij)n×ncủa nó theo công thức:
X= ∑
i,j
xij ∂
∂tij.
Phép đồng nhất cho ta một đẳng cấu giữa các không gian vectơ gln ≅ Matn(k). Để tính toán móc Lie của hai vectơ tiếp xúc và ảnh của nó qua phép đồng nhất, xét ma trận T = (tij) ∈Matn(k[GLn]), trong đó mỗi tij là hàm tọa độ theo i, j. Đặt T ∗X là ma trận với mỗi ô là kết quả của phép đạo hàm củatij theo trường vectơ bất biến trái
∗X. Vì
à∗tij = ∑
m
tim⊗tmj, nên
tij∗X = (id⊗X)(à∗(tij)) = ∑
m
tim(Xtmj) = ∑
m
timxmj.
Do đó T∗X=T X, trong đó vế trái vừa được định nghĩa, và vế phải là phép nhân ma trận. Thế thì
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎩
T ∗X∗Y =T XY, T ∗Y ∗X=T Y X.
(1.8) Mặt khác, móc Lie của hai vectơ tiếp xúc X và Y là vectơ [X, Y] sao cho phép đạo hàm bất biến trái∗[X, Y] cảm sinh từ nó cho bởi
f∗ [X, Y] =f∗X∗Y −f∗Y ∗X, với mọif ∈A=k[G]. Do đó kết hợp với đẳng thức (1.8) ta có:
T ∗ [X, Y] =T ∗X∗Y −T ∗Y ∗X=T(XY −Y X).
Vì vậy, phép đồng nhất trên cho đẳng cấu gln ≅Matn(k) với đại số Lie trong đó móc Lie trên ma trận cho bởi: [X, Y] =XY −Y X.
Ví dụ 1.4.7. (Các nhóm ma trận khác) Để xây dựng đại số Lie của các nhóm ma trận cổ điển khác, ta cần xác định các đạo hàm bất biến trái làm triệt tiêu các hàm thuộc iđêan xác định chúng trongk[GLn]. VớiSLn tương ứng với iđêan chính sinh bởi
⟨det(tij) −1⟩. Vì vậy đại số Lie của chúng tương ứng với các đạo hàm bất biến trái sao cho chúng triệt tiêu đa thức det(tij). Tính toán từ đại số tuyến tính cho ta :
(det(t) ∗X) = ∑
i
xii=Tr(X).
Từ đó, sln ⊂ gln ≅Matn(k) là đại số Lie các ma trận với vết bằng 0. Đại số Lie của nhóm các ma trận khác được tính toán tương tự. Với mỗi điều kiện xác định xtSx=S (ví dụ như các nhóm SOn,Spn), Đại số Lie tương ứng làg= {X ∈gln∣Xt= −SXS−1}.
1.4.3 Các tác động liên hợp và phụ hợp
Mỗi nhóm đại số affine G đều tác động lên chính nó bởi các tự đẳng cấu trong:
Int(g)(x) =gxg−1.
Từ đó với mỗi g∈G cố định, ta có cấu xạ Int(g) ∶G→G, gửi x↦gxg−1. Cấu xạ này cảm sinh vi phân trên không gian tiếp xúc được kí hiệu bởi
Ad(g) ∶gÐ→g
X↦d(Int(g))e(X).
Từ đó ta thu được đồng cấu nhóm đại số Ad ∶G→GL(g). Để hiểu rõ hơn tác động phụ hợp Ad trên các đại số Lie ta định nghĩa các tác động tịnh tiến trái và phải của G lên đại số các phép đạo hàmDerk(A, A):
• Tịnh tiến trái: δ∈Derk(A, A) ↦λxδλx−1Derk(A, A).
• Tịnh tiến phải: δ∈Derk(A, A) ↦ρxδρx−1Derk(A, A).
Khi đó các đạo hàm bất biến trái (giao hoán với phép tịnh tiến trái δx) sẽ bất biến với phép tác động trái nói trên. Hơn nữa L(G) ổn định đối với tác động phải. Khẳng định sau cho liên hệ với Advới phép tịnh tiến phải.
Mệnh đề 1.4.8. (xem [4, Prop. 3.4]) Qua phép đồng nhất g với L(G) nói trên, tác động phụ hợp Ad chính là tác động phải của G lên L(G).
Chứng minh. Với X∈g=Der(A, κ(e))là một phép đạo hàm điểm, ta có Ad(x)(X)(f) =d(Intx)e(X)(f) =X(Int(x)∗(f)).
Mặt khác, với δ∈L(G) là một phép đạo hàm bất biến trái ứng vớiX ta có:
(e(ρxδρx−1))(f) = ((ρxδρx−1)f)(e) = (δρx−1f)(x) = (λx−1δρx−1f)(e)
= (δλx−1ρx−1f(e) = (δInt(x)∗f)(e). Do đóAd(x) ứng vớiρxδρx−1.
Ví dụ 1.4.9. VớiG=GLn, đồng nhất một cách chính tắc đại số Liegln của nhóm này với đại số ma trậnMatn ta có:
(Ad(y)(X)tij) = (ρy((ρy−1tij) ∗X))(e) = ((T y−1)ij∗X)(y)
=ρy∑
m
(T X)im(y−1)mj =ρy(∑
m ∑
k
tikxkm(y−1)mj)
= ∑
m
∑
k
∑
h
tihyhkxkm(y−1)mj = (T yXy−1)ij
= (yXy−1)(tij).
Thế thì tác động phụ hợp trong trường hợp GLn cho bởi:
Ad(y)(X) =yXy−1.
Ta tiếp tục lấy vi phân của biểu diễn phụ hợp Ad∶G→GL(g), thu được biểu diễn mới ad∶g→gl(g). Thế thì
Mệnh đề 1.4.10. (xem [6, §10.4]) Ta có công thức sau cho vi phân của Ad:
ad(X)(Y) = [X, Y].
Vì chứng minh này phức tạp nên ta thừa nhận kết quả này.