Trong phần 6 ta đã xét quá trình tán xạ electron-muon đƣợc mô tả ở bậc thấp nhất bởi sơ đồ
và biên độ tƣơng ứng
với
Sau đây là một số phép hiệu chỉnh bậc bốn, mà tiêu biểu nhất là biểu đồ phân cực ―chân không‖
Tại đây, photon ảo nhất thời tách thành một cặp electron – positron, dẫn đến sự thay đổi điện tích hiệu dụng của electron. Mục đích của chúng ta bây giờ là chỉ ra công việc này một cách định lƣợng.
Biên độ trong biểu đồ này là
Nó bao gồm một số sự thay đổi của hàm truyền photon:
với [so sánh (8.37) và (8.39)]:
Tuy nhiên, tích phân này là phân kì. Ta thấy rằng
khi
(đó là một phân kì bậc hai). Thật ra, do sự ƣớc lƣợc trong biểu thức số học, nó chỉ còn lại
ln k (―sự phân kì theo lôga‖). Giống nhƣ các tính chất của các biểu đồ mạch kín trong phép tính vi tích phân Feynman, một lần nữa, phƣơng pháp sẽ là hấp thụ sự vô định vào sự tái chuẩn hóa khối lƣợng và hằng số kết hợp.
Tích phân dạng (8.41) mang hai chỉ số không – thời gian, khi chúng ta lấy tích phân theo k, vector bốn chiều duy nhất là q, vì thế I phải có dạng tổng quát g( ) + qq( ), với thành phần trong dấu ( ) bao gồm một số hàm của q2. Do đó ta viết lại:
Số hạng thứ hai không có đóng góp gì vào M, vì q phù hợp với ở biểu thức (8.39), cho ta
mặt khác, từ phƣơng trình (4.22)
và do đó
Từ đó ta sẽ bỏ qua số hạng thứ hai ở biểu thức (7.176). Nhƣ số hạng đầu, tích phân (8.41) giản ƣớc về dạng
Tích phân đầu cô lập một cách rõ ràng với sự phân kì theo lôga. Để giải quyết nó, ta tạm thời đặt ra giới hạn M (không nên nhầm lẫn với khối lƣợng của muon) và ta sẽ cho nó tiến đến vô cùng ở cuối phép tính:
Tích phân thứ hai
là hoàn toàn hữu hạn. Tuy nhiên, tích phân không thể giản ƣớc thành các hàm các hàm cơ bản. Nhƣng cũng đủ đơn giản để đánh giá một cách số học (Hình 11), và các biểu thức giới hạn cho x lớn và x bé là đơn giản:
Trong bất kì trƣờng hợp nào
Lƣu ý rằng ở đây q2 có giá trị âm. Nếu xung lƣợng ba chiều của electron tới trong
Do đó – q2
/m2c2 v2/c2 , và trƣờng hợp giới hạn trong biểu thức (9.4) lần lƣợt tƣơng ứng với tán xạ phi tƣơng đối tính và tán xạ siêu tƣơng đối tính.
Biên độ của tán xạ electron – muon gồm cả sự phân cực chân không, và vì thế
Bây giờ ta đến bƣớc quyết định, ở bƣớc này ta sẽ can thiệp vào sự vô cùng (có chứa giới hạn M) bằng cách đƣa ra hằng số ghép cặp ―tái chuẩn hóa‖
Viết lại (9.7) dƣới dạng của gR, ta có
Hình 11 Đồ thị của f(x) (phƣơng trình 9.3) Đƣờng liên tục là kết quả tính số; đƣờng đứt nét bên dƣới là lnx (gần đúng f(x) với x lớn); đƣờng thẳng ở trên là x/5 (gần đúng f(x) với x bé).
(phƣơng trình (9.7) hợp lý với bậc ge4, do đó cũng không có vấn đề gì khi ta sử dụng ge
hoặc gR trong dấu ngoặc nhọn). Có hai lƣu ý quan trọng ở kết quả này:
1. Sự vô cùng đã bị loại bỏ: không còn M trong biểu thức (9.9). Mọi liên quan đến giới hạn đều bị hấp thụ vào hằng số cặp. Mọi biểu thức bây giờ chỉ viết dƣới dạng của gR, thay vì ge. Nhƣng điều đó có thuận lợi: gR, chứ không phải ge, là những gì ta thật sự đo đƣợc trong phòng thí nghiệm (trong hệ đơn vị Heaviside-Lorentz đó là điện tích của electron hoặc muon, và ta xác định nó hoàn toàn bằng thực nghiệm nhƣ hệ số của sự hút hoặc đẩy giữa hai hạt). Trong phép phân tích lý thuyết, nếu chỉ tìm thấy biểu đồ ba mức
(bậc thấp nhất), ta sẽ đi đến giả thiết rằng điện tích cũng giống nhƣ hằng số kết hợp ―tối thiểu‖ ge. Nhƣng ngay khi tính đến ảnh hƣởng của các bậc cao hơn ta thấy rằng chính là
gR, không phải ge, tƣơng ứng với điện tích cần đo. Điều đó có nghĩa là kết quả ban đầu của ta là sai? Không. Thực ra đó là do khi giải thích sơ bộ ge nhƣ là điện tích ta đã không chủ ý tính đến thành phần phân kì trong các sơ đồ bậc cao hơn.
2. Ở đây vẫn còn số hạng hiệu chỉnh không – thời gian, và một lƣu ý quan trọng đó là nó phụ thuộc vào q2. Ta cũng có thể thu đƣợc nó vào hằng số cặp, nhƣng ―hằng số‖ bây giờ là một hàm của q2; ta gọi nó là hằng số ghép cặp ―chạy‖:
hoặc dƣới dạng ―hằng số‖ cấu trúc bền ( )
Điện tích hiệu dụng của electron (và muon) do đó phụ thuộc vào sự chuyển biến xung lƣợng trong va chạm. Sự dịch chuyển xung lƣợng cao hơn đồng nghĩa với phép gần đúng chính xác hơn, hay nói cách khác điện tích hiệu dụng của mỗi hạt phụ thuộc chúng tách rời nhau bao xa. Đó là một hệ quả của sự phân cực chân không _ nó che chắn mỗi điện tích. Bây giờ ta có một công thức tƣờng minh cho cái mà ở Động lực học hạt cơ bản chỉ là một cách mô tả thuần túy định tính. Thế nhƣng Millikan và Rutherford, thậm chí cả Coulomb lại không chú ý đến hiệu ứng này. Nếu điện tích của electron không phải là một hằng số, thì tại sao nó không làm rối tung mọi thứ từ điện học đến hóa học? Câu trả lời là trong trƣờng hợp phi tƣơng đối tính, sự thay đổi là cực kì nhỏ. Thậm chí trong một va cham trực diện ở (1/10)c , số hạng hiệu chỉnh ở biểu thức (9.11) chỉ khoảng 6106. Do đó để đạt đƣợc mục đích thì (0)=1/137 là thích hợp nhất. Tuy nhiên, có thể nhận thấy số hạng thứ hai ở (9.11) có đóng góp vào độ lệch Lamb. Hơn nữa, ta sẽ gặp phải cùng vấn đề trong sắc động lực học lƣợng tử, với khoảng cách ngắn (do sự giam hãm quark) miền tƣơng đối tính là khu vực đƣợc quan tâm nhất.
Chúng ta tập trung vào một quá trình bậc bốn đặc biệt (phân cực chân không), nhƣng tất nhiên còn một vài quá trình khác. Chúng là ―những sơ đồ thang‖:
Chúng hữu hạn và không biểu diễn các vấn đề đặc trƣng. Nhƣng cũng có ba sơ đồ phân kì:
(và dĩ nhiên còn ba sơ đồ nữa mà trong đó photon ảo bên ngoài kết hợp với muon). Hai sơ đồ đầu tái chuẩn hóa khối lƣợng electron; biểu đồ thứ ba làm xác định mômen từ của nó. Thêm vào đó, cả ba biểu đồ đều tách biệt nhau, đều đóng góp vào sự tái chuẩn hóa điện tích của electron. May thay, phần đóng góp còn lại triệt tiêu lẫn nhau do đó biểu thức (9.8) vẫn nghiệm đúng (do sự hiệu chỉnh phụ thuộc vào khối lƣợng hạt mà các dòng photon ảo kèm theo, và nếu chúng không khử đƣợc ta sẽ sử dụng một sự tái chuẩn hóa khác cho muon hơn là cho electron. Đồng nhất thức Ward (tên của sự khử này) đảm bảo rằng sự tái chuẩn hóa bảo toàn đẳng thức điện tích, bất kể khối lƣợng của hạt tải nhƣ thế nào). Và thậm chí còn có các sơ đồ bậc cao hơn.
Những sơ đồ này giới thiệu các số hạng cao hơn trong biểu thức (9.11), bậc 2
, 3
vv…, nhƣng ta sẽ không tiếp tục theo đuổi vấn đề này, vì những ý tƣởng cơ bản bây giờ đều đã đƣợc trình bày rõ.
KẾT LUẬN
Điện động lực học lƣợng tử là một lý thuyết đúng đắn đƣợc khẳng định từ lúc mới ra đời cho đến tận bây giờ vẫn không mất đi giá trị của nó. Tiểu luận đã phần nào trình bày đƣợc những đặc điểm chủ yếu của lý thuyết này, đƣa ra một số ví dụ cụ thể để thấy đƣợc tính thực tiễn của thuyết. Vai trò của Điện động lực học lƣợng tử trong Lý thuyết trƣờng lƣợng tử là không thể phủ nhận, hiện nay nó vẫn đang tiếp tục phát triển và hoàn thiện hơn.
Là một sinh viên chuyên ngành vật lý lý thuyết, thiết nghĩ việc tìm hiểu những vấn đề về lý thuyết trƣờng cũng là chuẩn bị những hành trang cần thiết để bƣớc vào thế giới khoa học của vật lý. Qua bài tiểu luận này tôi đã từng bƣớc tiếp cận đƣợc thêm với Lý thuyết trƣờng lƣợng tử, thấy đƣợc các ứng dụng cơ bản của Lý thuyết trƣờng.
Tri thức nhân loại luôn rộng lớn hơn từng ngày và trình độ con ngƣời thì vẫn còn nhiều hạn chế. Với thời gian và năng lực bản thân có hạn, trong khuôn khổ bài tiểu luận này tôi chƣa thể trình bày hết đƣợc nhiều khía cạnh khác của Điện động lực học lƣợng tử mà các nhà khoa học trên thế giới đang ngày đêm nghiên cứu; và một điều trăn trở nữa của tôi đó là mong muốn trình bày bài tiểu luận này trên phần mềm Latex, nhƣng do thời gian có hạn nên tôi chƣa thể hoàn thành ý định của mình, âu đó cũng là cánh cửa mở thúc dục các bạn sinh viên khóa sau tiếp tục tìm hiểu. Mong rằng đây có thể là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên khóa sau đam mê tìm hiểu về Điện động lực học lƣợng tử, rất mong các bạn đóng góp ý kiến và tiếp tục hoàn thiện hơn về đề tài này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Công Phong, Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Đại học Huế, 2004.
2. J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics and Relativistic Quantum Fields (New York: McGraw-Hill, 1964).
3. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, Tập 2 (New York: Wiley, 1975), mục 6.5.
4. A. Pais, Inward Bound (New York: Oxford, 1986), trang 375.
5. J. M. Jauch and F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, Tập 2 (New York: Springer-Verlag, 1975), mục 12.6.
6. J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics (Reading, MA: Addsion-Wesley, 1967), trang 216.
7. F. Halzen and A. D. Martin, Quarks and Leptons, (New York: Wiley, 1984), Chƣơng 7.