Tiết diện va chạm và thời gian sống

Bây giờ ta quay lại với lĩnh vực quen thuộc. Một khi đã tính M2

(hoặc

M2), ta đặt nó vào công thức tiết diện va chạm:

Trong trƣờng hợp tổng quát:

Cho hai vật thể tán xạ trong CM (Center of Mass: hệ quy chiếu khối tâm):

Hoặc trong phạm vi phòng thí nghiệm (LF: Laboratry Frame, ngƣợc với hệ quy chiếu khối tâm):

Ví dụ 7.7 Tán xạ Mott và tán xạ Rutherford

Một electron (khối lƣợng m) tán xạ với một muon có khối lƣợng lớn hơn (M>>m). Giả sử sự bật trở lại của M có thể bỏ qua, tìm tiết diện tán xạ sai phân trong phạm hệ quy chiếu phòng thí nghiệm (M đứng yên).

Do bia đứng yên, ta có (xem Hình 8):

với E là năng lƣợng electron tới (và tán xạ), p1 là xung lƣợng tới, p3 là xung lƣợng tán xạ, (chúng có độ lớn bằng nhau p1=p3=p, và góc giữa chúng là : p1.p3 =p2.cos). Do đó:

Hình 8 Electron tán xạ từ bia

Trước Sau

Thay vào biểu thức (7.15), ta có:

và do đó ( lƣu ý rằng )

Đây chính là công thức Mott. Với một phép xấp xỉ tốt, nó cho ta tiết diện va chạm sai phân đối với tán xạ electron – proton. Nếu electron tới là phi tƣơng đối tính thì

p2<<(mc)2, phƣơng trình (7.11) trở thành công thức Rutherford:

Còn sự phân rã thì nhƣ thế nào ? Thật ra, trong QED (Quantum ElectroDynamics) thuần túy, nếu một fecmion đơn đi vào thì cũng chính fecmion đó đi ra, một tuyến fecmion không thể kết thúc trong phạm vi một sơ đồ; cũng nhƣ không có một cơ chế nào trong QED cho phép biến đổi một fermion (chẳng hạn một muon) thành một fermion khác (chẳng hạn một electron). Để chắc chắn, phải tồn tại sự phân rã điện từ trƣờng của các hạt đối lập, ví dụ nhƣ 0+; nhƣng thành phần điện từ trong quá trình này không là gì khác ngoài sự hủy cặp quark – phản quark, q + q  + . Đó thực sự là một biến cố tán xạ, mà trong đó sự va chạm của hai hạt xảy ra trong một trạng thái giới hạn. Ví dụ rõ nhất về quá trình này là sự phân rã của Positronium: e+

+ e-   + , mà sẽ xét trong ví dụ sau đây. Ta sẽ phân tích trong hệ quy chiếu Positronium đứng yên (hay trong phạm vi hệ quy chiếu CM của cặp electron-positron). Chúng thông thƣờng dịch chuyển khá chậm, thực tế, với mục đích đi tính biên độ ta nên giả sử chúng đứng yên. Nói cách khác, đây là một trong những trƣờng hợp mà ta không thể tính trung bình trên các spin ban đầu, do các hệ tổ hợp đều có cấu hình đơn nhất [singlet] – các spin đối song – hoặc theo cấu hình tam đẳng [triplet]– các spin song song – và công thức cho tiết diện va chạm (và do đó thời gian sống) là hoàn toàn khác nhau trong hai trƣờng hợp.

Ví dụ 7.8 Sự hủy cặp

Tính toán biên độ M cho e+ + e-   + , giả sử electron và positron đứng yên và đang ở cấu hình spin đơn nhất.

Giải : Có hai sơ đồ đóng góp nhƣ đƣợc chỉ ra ở Hình 9. Các biên độ là (để đơn giản ta sẽ bỏ các dấu liên hợp phức tạp ở  ):

và lấy tổng

Với các hạt ban đầu đứng yên, các photon đi ra ―lƣng đối lƣng‖ [tƣơng tự nhƣ mặt đối mặt] và ta có thể chọn trục z trùng với tuyến photon, từ đó

và do đó

Các biên độ có phần đơn giản hóa khi ta khai thác qui tắc 5’ từ phần 7:

Nhƣng 3 chỉ có các thành phần không gian (theo phép định cỡ Coulomb), trong khi đó

p1 chỉ thuần về thời gian, do đó p1.3 =0, và từ đó

Tƣơng tự:

nhƣng p3.3 = 0 do điều kiện Lorentz (7.90), do đó

Vì thế

Nhƣng (p1 - mc)u(1) = 0, do u(1) thỏa mãn phƣơng trình Dirac (7.34), vì thế

Hình 9 Hai đóng góp cho sự hủy cặp Làm tƣơng tự:

Kết hợp các kết quả lại, ta tìm đƣợc:

do đó sự diễn tả trong dấu ngoặc bình phƣơng đƣợc viết lại Nhƣng và do đó Ta đã biết (từ sự đối xứng) Nó chỉ ra rằng

(ta cũng có thể thiết lập trực tiếp từ qui tắc 5’) và

với . Vì thế

Đến đây, ta vẫn chƣa nói gì đến spin của electron và positron. Nhớ rằng ta đang quan tâm đến trạng thái đơn nhất:

Về mặt kí hiệu

M thu đƣợc từ biểu thức (8.13) với spin hƣớng lên cho electron

và spin xuống cho positron

Sử dụng các spinor này, ta tìm thấy

Do đó

Trong khi, với M ta có

Từ đó nó chỉ ra rằng

Do đó biên độ cho sự hủy của môt cặp e+

e- tĩnh trong hai photon thoát ra theo phƣơng z là

(lƣu ý rằng M = - M , cấu hình tam đẳng ( + ) 2 bằng 0, khẳng định lại quan sát trƣớc đây của chúng ta lúc trƣớc rằng sự phân rã của hai photon bị cấm trong trƣờng hợp này).

Sau cùng, ta phải tính các vectơ phân cực photon tƣơng thích. Lƣu ý rằng với spin hƣớng lên(ms = +1) ta có

trong khi đó với spin hƣớng xuống (ms = -1)

Nếu photon chuyển động dọc theo phƣơng +z, các spin này lần lƣợt tƣơng ứng với vòng phân cực bên trái và vòng phân cực bên phải. Vì thành phần z của mômen góc toàn phần phải bằng 0, các spin photon phải sắp ngƣợc chiều nhau:  hoặc . Trong trƣờng hợp đầu ta có

do đó

Trong trƣờng hợp thứ hai, 3 và 4 đƣợc hoán vị cho nhau, vì thế

Rõ ràng, ta cần sự kết hợp phản xứng ( - ) 2, điều đó tƣơng ứng với spin toàn phần bằng 0, khi kết hợp hai hạt có spin 1/2 thì ta thu đƣợc ngay điều này. Một lần

nữa, khi biên độ bằng (M - M) 2 thì các mũi tên sẽ đặc trƣng cho sự phân cực photon.

Sau cùng,

[ta đặt lại liên hiệp phức của các véctơ phân cực, đó đơn giản là việc đảo các dấu ở biểu thức (8.25) và (8.26)].

Có nhiều vấn đề xuất phát từ đây. Đầu tiên ta có thể tính tổng các tiết diện va chạm cho sự hủy electron-positron. Trong hệ CM, tiết diện va chạm sai phân là ở chỗ

Ở đây

và khi sự va chạm là phi tƣơng đối tính

với v là tốc độ electron (hoặc photon) tới (ta lấy v=0 khi tính M nhƣng rõ ràng ta không thể sử dụng nó ở đây. Đó có phải là một mâu thuẫn? Không thực sự vậy. Ta nghĩ điều này theo hƣớng sau: M(cũng là E1, E2,pf và pi) có thể đƣợc khai triển theo lũy thừa của v/c. Nhƣ vậy ta đã tính đƣợc số hạng đầu trong mỗi phép khai triển). Gộp tất cả lại, ta đƣợc:

Khi không có sự phụ thuộc góc, tiết diện va chạm toàn phần là

Sau cùng, ta sẽ xác định thời gian sống của positronium ở trạng thái đơn nhất. Thời gian sống của positron liên hệ một cách rõ ràng với tiết diện va chạm đối với sự hủy cặp (8.32), nhƣng mối liên hệ chính xác là gì? Ta đã có

ta thấy rằng tổng số biến cố tán xạ trên một đơn vị thời gian bằng thời gian chiếu sáng tiết diện va chạm toàn phần:

Nếu  là số hạt tới trong một đơn vị thể tích, và nếu chúng chuyển động với tốc độ

v thì cƣờng độ sáng (Hình 10) là:

Với một nguyên tử duy nhất, mật độ electron là (0)2

và N biểu thị cho xác suất phân rã trên một đơn vị thời gian, tức tốc độ phân rã. Do đó

Biểu thức (8.32) và (8.35) là các công thức ta có thể sử dụng để xác định thời gian sống của positron, =1/

Hình 10 Số hạt trong hình trụ là Av dt, do đó độ chiếu sáng (trên một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian) là v.