Thủ thuật Casimir và Định lý vết

Trong một số thí nghiệm, các spin electron (hay positron) đến và đi đƣợc xác định rõ, và sự phân cực photon đã đƣợc đƣa ra. Do đó, việc tiếp theo ta cần làm là chèn các spinor thích hợp và các véctơ phân cực vào biểu thức M, và tính M2, đại lƣợng ta thật sự cần để xác định tiết diện va chạm và thời gian sống. Tuy nhiên, thƣờng thì ta không chú ý đến spin. Một thí nghiệm điển hình bắt đầu với một chùm hạt có spin định hƣớng ngẫu nhiên, và sau đó đơn giản là đếm số hạt tán xạ theo một hƣớng đã chọn. Trong trƣờng hợp này tiết diện va chạm phù hợp là trung bình của các cấu hình spin ban đầu i, và tổng các cấu hình spin sau cùng f. Về nguyên tắc, ta có thể tính M( if )2

cho mọi tổ hợp khả dĩ và sau đó tính tổng và trung bình:

 trung bình tính trên các spin ban đầu,

tổng lấy trên các spin sau cùng 

Hình 7 Sơ đồ thứ hai cho tán xạ Compton

Trong thực tế, sẽ dễ hơn để tính 2

M một cách trực tiếp mà không xét đến các biên độ riêng lẻ.

Ví dụ nhƣ biên độ tán xạ electron – muon (7.104). Bình phƣơng hai vế, ta có :

(để tránh nhầm lẫn, ta dùng  cho các chỉ số không – thời gian thứ hai). Số hạng thứ nhất và thứ ba (hoặc thứ hai và thứ tƣ) có thể viết dƣới dạng tổng quát:

với (a) và (b) đại diện cho các spin và mômen tƣơng ứng, và 1, 2 là hai ma trận 44. Mọi quá trình khác miêu tả ở phần 6, tán xạ Møller, tán xạ Bhabha và tán xạ Compton, cũng nhƣ sự sinh và hủy cặp, đƣa ta đến các biểu thức với cấu trúc tƣơng tự. Để bắt đầu ta lấy liên hiệp phức(cũng là liên hợp Hermit, vì đại lƣợng trong dấu ngoặc là một ―ma trận‖ 11):

Với , và , do đó : với Do đó

Bây giờ ta tính tổng trên các hƣớng spin của hạt (b). Sử dụng hệ thức đủ (4.7), ta có:

Với Q là kí hiệu tạm thời cho ma trận 44

Tƣơng tự cho hạt (a):

Viết ma trận tích một cách rõ ràng (lấy tổng i và j từ 1  4)

với Tr biểu thị cho vết của ma trận (tổng các phần tử trên đƣờng chéo)

Tóm lại :

các spin

Biểu thức này có thể không giống một sự đơn giản hóa, nhƣng lƣu ý rằng vế trái không chứa hàm spinor; khi ta tính tổng trên các spin, nó trở về ma trận tích và thu đƣợc vết. Ta gọi biểu thức (7.6) là ― thủ thuật Casimir‖ khi Casimir là ngƣời đầu tiên sử dụng nó. Nếu thay u [ở phƣơng trình (7.6)] bởi , khối lƣợng tƣơng ứng ở vế phải đổi dấu.

Ví dụ 7.5

Trong trƣờng hợp tán xạ electron – muon [biểu thức (6,5)], 2 = 0

và do đó . Áp dụng thủ thuật Casimir hai lần, ta tìm đƣợc:

với m là khối lƣợng của electron, M là khối lƣợng của muon. Thừa số 1/4 đã đƣợc tính đến do ta muốn tính trung bình trên các spin ban đầu; vì có hai hạt, mỗi hạt có hai cách định hƣớng spin, trung bình là 1/4 của tổng.

Thủ thuật Casimir rút gọn mọi vấn đề về một bài toán là tính vết của một số ma trận tích  phức tạp. Biểu thức số học này đƣợc hỗ trợ bởi một số lý thuyết mà ta đƣa ra dƣới đây. Trƣớc hết ta nên nhắc lại ba điều tổng quát về vết của ma trận: nếu A và B là hai ma trận bất kì, và  là một số bất kì

Từ mục 3 ta thấy rằng Tr(ABC) = Tr(CBA) = Tr(BCA), nhƣng trong trƣờng hợp tổng quát chúng không bằng vết của các ma trận theo một thứ tự khác:

Tr(ACB)=Tr(BCA)=Tr(CBA). Theo cách đó ta có thể tách các ma trận khỏi một đầu của một tích của chúng và chuyển vòng ra phía trƣớc, nhƣng phải giữ nguyên thứ tự. Nên lƣu ý rằng

và nhắc lại hệ thức phản giao hoán cơ bản của các ma trận  (cùng với một qui tắc ứng với các tích ―sổ‖)

Từ đây suy ra một dãy các ―định lý thu gọn‖:

Và cuối cùng, có một tập các ―định lý vết‖:

vì 5

= i0123

là tích của một số chẵn ma trận , từ qui tắc 10 suy ra

Tr(5

)=Tr(5

)= 0. Khi 5

đƣợc nhân với một số chẵn ma trận , ta tìm đƣợc

với

-1, nếu  là một phép hoán vị chẵn của 0123,  = +1, nếu  là một phép hoán vị lẻ,

0, nếu hai chỉ số bất kì trùng nhau.

Ví dụ 7.6

Tính vết của tán xạ electron – muon [biểu thức (7.13)]

Giải: Theo qui tắc 10, số hạng trong móc vuông bằng không. Số hạng cuối có thể đƣợc tính khi dùng qui tắc 12, và qui tắc 13 cho số hạng đầu.

Do đó

Vết thứ hai (ở biểu thức 7.13) cũng tƣơng tự, với mM, 12, 34 và các chỉ số Hy Lạp ở dƣới. Từ đó