Chương 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG CFD
2.2. Phương trình cơ bản của phương pháp mô phỏng CFD
Nền tảng của CFD là những phương trình chủ đạo cơ bản của động lực học chất lỏng
- Phương trình liên tục.
- Phương trình động lượng.
- Phương trình năng lượng.
Những phương trình trên nói đến quá trình vật lý. Chúng là những phát biểu toán học của ba nguyên lý vật lý cơ bản mà toàn bộ động lực học chất lỏng đặt trên cơ sở đó:
- Bảo toàn khối lượng.
- F = ma (Định luật II Newton).
- Bảo toàn năng lượng.
2.2.2. Mô hình hóa dòng chất lưu
Để nhận được những phương trình cơ bản của chuyển động chất lỏng, quan điểm sau luôn được tuân thủ:
1) Chọn những nguyên lý vật lý cơ bản thích hợp từ những định luật vật lý a) Bảo toàn khối lượng
b) F = ma (Định luật II Newton) c) Bảo toàn năng lượng
2) Áp dụng những nguyên lý vật lý này cho một mô hình dòng thích hợp.
3) Từ áp dụng này, rút ra những phương trình toán học gồm những nguyên lý vật lý như vậy.
Nghiên cứu, đánh giá các phương án giảm sức cản khí động cho xe ô tô du lịch
Sinh viên thực hiện: Thái Duy Sơn, Nguyễn Văn Minh Hướng Dẫn: TS.Phan Thành Long 16
Với một chất lỏng liên tục ta có thể chọn 1 trong 2 mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn hay phần tử chất lỏng vô cùng bé để mô hình hóa dòng chất lưu.
2.2.2.1. Mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler)
Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong hình 2.1. Ta hãy tưởng tượng một thể tích khép kín vẽ trong một khu vực hữu hạn của dòng. Thể tích này xác định một thể tích kiểm soát V và một bề mặt kiểm soát S, xác định bề mặt khép kín bao quanh thể tích. Thể tích kiểm soát này có thể cố định trong không gian với chất lỏng chuyển động vòng qua nó, như hình 2.1a. Tương tự, thể tích kiểm soát có thể chuyển động cùng với chất lỏng, sao cho những hạt chất lỏng cùng nhau luôn ở trong nó, như hình 2.1b [13]
Hình 2.1 Mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn
Trong mọi trường hợp, thể tích kiểm soát là một vùng đủ lớn, hữu hạn của dòng. Những nguyên lý vật lý cơ bản được áp dụng cho chất lỏng nằm trong thể tích kiểm soát, và với chất lỏng cắt qua bề mặt kiểm soát (nếu thể tích kiểm soát cố định trong không gian). Bởi vậy, thay vì xem xét toàn bộ trường dòng một lúc, với mô hình thể tích kiểm soát chúng ta giới hạn sự chú ý chỉ với chất lỏng trong vùng hữu hạn của chính thể tích đó.
Những phương trình dòng chất lỏng mà chúng ta nhận được trực tiếp do việc áp dụng những nguyên lý vật lý cơ bản cho một thể tích kiểm soát hữu hạn có dạng tích phân. Những dạng tích phân này của những phương trình chủ đạo có thể thao tác gián tiếp để nhận được những phương trình đạo hàm riêng. Những phương trình như vậy nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian ở dạng tích phân hoặc dạng đạo hàm riêng, được gọi là dạng bảo toàn của những phương trình chủ đạo. Những phương trình nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn chuyển động cùng với chất lỏng ở dạng tích phân hoặc đạo hàm riêng, được gọi là dạng không bảo toàn của những phương trình chủ đạo.
Nghiên cứu, đánh giá các phương án giảm sức cản khí động cho xe ô tô du lịch
Sinh viên thực hiện: Thái Duy Sơn, Nguyễn Văn Minh Hướng Dẫn: TS.Phan Thành Long 17
2.2.2.2.Mô hình phần tử chất lỏng vô cùng bé (quan điểm lagrange)
Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong hình 2.2. Ta hãy tưởng tượng một phần tử chất lỏng vô cùng bé trong dòng, với một thể tích vi phân dV. Phần tử chất lỏng là vô cùng bé theo khái niệm phép tính vi phân; tuy nhiên là đủ lớn để chứa một số khổng lồ những phần tử để có thể nhìn nhận như một môi trường liên tục. Phần tử chất lỏng có thể cố định trong không gian với chất lỏng chuyển động vòng qua nó, như hình 2.2a. Tương tự, nó có thể chuyển động dọc theo dòng chảy với vận tốc vector thể tích bằng vận tốc dòng tại mỗi điểm như hình 2.2b.
Hình 2.2 Mô hình phần tử chất lỏng vô cùng bé
Thay vì xét toàn dòng tại một lúc, những nguyên lý vật lý cơ bản chỉ ứng dụng cho chính phần tử chất lỏng. Ứng dụng này trực tiếp dẫn tới những phương trình cơ bản ở dạng phương trình đạo hàm riêng. Hơn nữa, những phương trình vi phân đạo hàm riêng đặc biệt nhận được trực tiếp từ phần tử chất lỏng cố định trong không gian là dạng bảo toàn của các phương trình. Những phương trình nhận được trực tiếp từ phần tử chất lỏng chuyển động là dạng không bảo toàn của các phương trình chủ đạo.
2.2.3. Phương trình cơ bản
2.2.3.1. Phương trình đối với dòng nhớt
Những phương trình đã dẫn xuất trong những mục trước áp dụng cho dòng nhớt, tức là dòng xét đến hiện tượng vận chuyển, tiêu tán của nhớt và truyền nhiệt.
Do đó những phương trình chủ đạo với dòng nhớt, chịu nén, không ổn định ba chiều là:
Phương trình liên tục
- Dạng bảo toàn: phương trình
∂ρ
∂t + ∇(ρV⃗⃗ ) = 0 (2-1)
- Dạng không bảo toàn: phương trình
∂ρ
∂t + ρ∇V⃗⃗ = 0 (2-2)
Nghiên cứu, đánh giá các phương án giảm sức cản khí động cho xe ô tô du lịch
Sinh viên thực hiện: Thái Duy Sơn, Nguyễn Văn Minh Hướng Dẫn: TS.Phan Thành Long 18
Phương trình động lượng
- Dạng không bảo toàn: phương trình 𝜌𝐷𝑢
𝐷𝑡 = −𝜕𝑝
𝜕𝑥 +𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥 +𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦 +𝜕𝜏𝑧𝑥
𝑧 + 𝜌𝑓𝑥 (2-3)
𝐷𝑤
𝐷𝑡 = −𝜕𝑝
𝜕𝑧 +𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥 +𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦 +𝜕𝜏𝑧𝑧
𝑧 + 𝜌𝑓𝑧 (2-4)
- Dạng bảo toàn : phương trình
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑡 + ∇(𝜌𝑢𝑉⃗ ) = −𝜕𝑝
𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥 +𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦 +𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧 + 𝜌𝑓𝑥 (2-5)
𝜕(𝜌𝑤)
𝜕𝑡 + ∇(𝜌𝑤𝑉⃗ ) = −𝜕𝑝
𝜕𝑧 +𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥 +𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦 +𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧 + 𝜌𝑓𝑧 (2-6) Phương trình năng lượng
- Dạng không bảo toàn: phương trình ρD
Dt(e +V2
2) = ρq̇ + ∂
∂x(k∂T
∂x) + ∂
∂y(k∂T
∂y) + ∂
∂z(k∂T
∂z) − (∂(up)
∂x +∂(vp)
∂y +
∂(wp)
∂z ) +∂(uτxx)
∂x +∂(uτyx)
∂y +∂(uτzx)
∂z +∂(uτxy)
∂x +∂(vτyy)
∂y +∂(vτzy)
∂z +∂(wτxz)
∂x +∂(wτyz)
∂y +
∂(wτzz)
∂z + ρf . V⃗⃗ (2-7)
- Dạng bảo toàn : phương trình
∂
∂t[ρ (e +V2
2)] + ∇ [ρ (e +V2
2) V⃗⃗ ] = ρq̇ + ∂
∂x(k∂T
∂x) + ∂
∂y(k∂T
∂y) + ∂
∂z(k∂T
∂z) − (∂(up)
∂x +∂(vp)
∂y +∂(wp)
∂z ) +∂(uτxx)
∂x +∂(uτyx)
∂y +∂(uτzx)
∂z +∂(uτxy)
∂x +∂(vτyy)
∂y +
∂(vτzy)
∂z +∂(wτxz)
∂x +∂(wτyz)
∂y +∂(wτzz)
∂z + ρf . V⃗⃗ (2-8) 2.2.3.2. Phương trình đối với dòng không nhớt
Dòng không nhớt, theo định nghĩa là một dòng trong đó hiện tượng vận chuyển, tiêu tán nhớt, khuếch tán khối lượng và dẫn nhiệt được bỏ qua. Những phương trình chủ đạo cho dòng chảy không ổn định, không nhớt ba chiều, chịu nén nhận được bằng việc bỏ đi những số hạng nhớt trong những phương trình trên.
Phương trình liên tục - Dạng không bảo toàn
𝐷ρ
Dt + ρ∇V⃗⃗ = 0 (2-9)
Nghiên cứu, đánh giá các phương án giảm sức cản khí động cho xe ô tô du lịch
Sinh viên thực hiện: Thái Duy Sơn, Nguyễn Văn Minh Hướng Dẫn: TS.Phan Thành Long 19
- Dạng bảo toàn
∂ρ
∂t + ∇(ρV⃗⃗ ) = 0 (2-10)
Phương trình động lượng - Dạng không bảo toàn + Thành phần x
𝜌𝐷𝑢
𝐷𝑡 = −𝜕𝑝
𝜕𝑥 + 𝜌𝑓𝑥 (2-11)
+ Thành phần y 𝜌𝐷𝑣
𝐷𝑡 = −𝜕𝑝
𝜕𝑦+ 𝜌𝑓𝑦 (2-12)
+ Thành phần z 𝜌𝐷𝑤
𝐷𝑡 = −𝜕𝑝
𝜕𝑧 + 𝜌𝑓𝑧 (2-13)
- Dạng bảo toàn + Thành phần x
∂(𝜌𝑢)
∂t + ∇(ρuV⃗⃗ ) = −𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝜌𝑓𝑥 (2-14)
+ Thành phần y
∂(𝜌𝑣)
∂t + ∇(ρvV⃗⃗ ) = −𝜕𝑝
𝜕𝑦+ 𝜌𝑓𝑦 (2-15)
+ Thành phần z
∂(𝜌𝑤)
∂t + ∇(ρwV⃗⃗ ) = −𝜕𝑝
𝜕𝑧 + 𝜌𝑓𝑧 (2-16)
Phương trình năng lượng - Dạng không bảo toàn
𝜌𝐷
𝐷𝑡 (𝑒 +𝑉2
2) = 𝑝𝑞̇ − (𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑥 +𝜕𝑣𝑝
𝜕𝑦 +𝜕𝑤𝑝
𝜕𝑧 ) + 𝜌𝑓 𝑉⃗ (2-17) - Dạng bảo toàn
𝜕
𝜕𝑡 [𝜌 (𝑒 +𝑉2
2)] + ∇ [𝜌 (𝑒 +𝑉2
2) 𝑉⃗ ] = 𝑝𝑞̇ − (𝜕𝑢𝑝
𝜕𝑥 +𝜕𝑣𝑝
𝜕𝑦 +𝜕𝑤𝑝
𝜕𝑧 ) + 𝜌𝑓 𝑉⃗ (2-18)
Nghiên cứu, đánh giá các phương án giảm sức cản khí động cho xe ô tô du lịch
Sinh viên thực hiện: Thái Duy Sơn, Nguyễn Văn Minh Hướng Dẫn: TS.Phan Thành Long 20
2.2.4 Điều kiện lớp biên 2.2.4.1. Khái niệm lớp biên
Trong vật lý và cơ học lưu chất, lớp biên là lớp lưu chất gần vùng lân cận của một bề mặt biên nơi mà ảnh hưởng của độ nhớt là đáng kể. Trong bầu khí quyển của trái đất, các lớp biên hành tinh là lớp không khí gần mặt đất bị ảnh hưởng bởi truyền nhiệt, độ ẩm hay truyền động lượng hoặc từ bề mặt. Trên một cánh máy bay lớp biên là một phần của dòng chảy gần cánh, lực nhớt làm sai lệch dòng chảy không nhớt xung quanh. Trong khí động học ô tô lớp biên là vùng chuyển tiếp giữa không khí và vỏ xe.
Lớp biên chảy tầng có thể phân loại theo cấu trúc và theo hoàn cảnh mà chúng được tạo ra. Lớp cắt mỏng phát triển trên một vật thể dao động là một ví dụ của một lớp biên Stokes, trong khi các lớp biên Blasius đề cập đến các giải pháp được biết tương tự gần một tấm phẳng trong một dòng chảy một chiều đang tới. Khi lưu chất quay và các lực nhớt được sự cân bằng hiệu ứng Coriolis (chứ không phải là quán tính đối lưu), một hình thức lớp Ekman. Trong các lý thuyết về truyền nhiệt, một lớp cách nhiệt xuất hiện. Một bề mặt có thể có nhiều loại lớp biên cùng một lúc.
2.2.4.2. Điều kiện biên của lớp biên
Những phương trình cho ở trên kiểm soát dòng của một lưu chất. Những điều kiện biên, và đôi khi là điều kiện ban đầu, cho phép nhận được những lời giải đặc biệt từ những phương trình chủ đạo. Đối với một lưu chất nhớt, điều kiện biên trên một bề mặt giả thiết không có vận tốc tương đối giữa bề mặt và lưu chất ngay bề mặt. Điều này được gọi là điều kiện không trượt. Nếu bề mặt là tĩnh và dòng di chuyển qua nó, thì u = v = w = 0 tại bề mặt (cho một dòng nhớt).
Hơn nữa, có một điều kiện không trượt tương tự kết hợp với nhiệt độ tại bề mặt. Nếu nhiệt độ bề mặt vật liệu được biểu thị bằng Tw (nhiệt độ vách), khi đó nhiệt độ ngay tại lớp lưu chất tiếp xúc với bề mặt cũng là Tw. Nếu trong bài toàn được đề cập, biết được nhiệt độ vách, thì điều kiện biên thích hợp của nhiệt độ khí T là:
T = Tw (tại vách) (2-19)
Mặt khác, nếu không biết nhiệt độ vách, ví dụ nếu nó đang thay đổi như một hàm của thời gian do truyền nhiệt khí động lực học tới hoặc ra khỏi bề mặt, khi đó định luật fourier về dẫn nhiệt cung cấp điều kiện biên tại bề mặt. Nếu chúng ta biểu thị 𝑞̇w là thông lượng nhiệt tức thời tại vách, khi đó từ định luật fourier:
𝑞̇w = −𝑘𝜕𝑇
𝜕𝑛 w (tại vách) (2-20)
Trong đó, n biểu thị hướng pháp tuyến với vách. Ở đây, vật liệu bề mặt đang phản ứng lại sự truyền nhiệt đến vách, 𝑞̇w , do đó đang thay đổi Tw, quay ngược lại
Nghiên cứu, đánh giá các phương án giảm sức cản khí động cho xe ô tô du lịch
Sinh viên thực hiện: Thái Duy Sơn, Nguyễn Văn Minh Hướng Dẫn: TS.Phan Thành Long 21
ảnh hưởng đến 𝑞̇w. bài toán truyền nhiệt không ổn định phải được giải bằng việc xử lý dòng nhớt và sự tác động nhiệt trở lại của vật liệu vách cùng lúc. Kiểu điều kiện biên này, là điều kiện biên gradient nhiệt độ tại vách, trái với quy định về chính bản thân nhiệt độ vách là điều kiện biên. Nghĩa là, từ phương trình (2-20):
−𝑞̇ w /k= 𝜕𝑇
𝜕𝑛w (tại vách) (2-21)
Cuối cùng khi nhiệt độ vách trở thành như vậy sẽ không có sự truyền nhiệt trên bề mặt, nhiệt độ vách này, theo định nghĩa, được gọi là nhiệt độ vách đoạn nhiệt (adiabatic wall temperature) Taw. Điều kiện biên thích hợp cho trường hợp vách đoạn nhiệt đến từ phương trình (2-21) với 𝑞̇w = 0, bởi định nghĩa. Do đó, với vách đoạn nhiệt, điều kiện biên là:
∂T
∂nw = 0 (Tại vách) (2-22)
Với lưu chất không nhớt, dòng trượt qua bề mặt (không có ma sát để đẩy ‘sức dính’ của nó tới bề mặt), do đó tại bề mặt dòng phải tiếp xúc với bề mặt:
v
⃗ n⃗ = 0 (Tại bề mặt) (2-23)
Trong đó:
𝑛⃗ - Vectơ đơn vị thẳng góc với bề mặt.
Những điều kiện biên khác trong dòng phụ thuộc vào kiểu bài toán được xét, và thường gắn liền với biên chảy vào và chảy ra tại một khoảng cách hữu hạn từ bề mặt, hoặc một điều kiện biên ‘vô hạn’ xa vô tận kể từ bề mặt.