3.3.1. Điều khiển LQR [19]
Điều khiển tối ưu là phương pháp điều khiển nhằm xác định luật điều khiển cho hệ thống động cho trước sao cho tối thiểu hóa một chỉ tiêu chất lượng nào đó. Điều khiển toàn phương tuyến tính LQR (Linear Quadratic Regulator) là phương pháp điều khiển tối ưu để tối thiểu hóa hàm mục tiêu dạng toàn phương.
Đối tượng tuyến tính được mô tả bởi phương trình trạng thái:
̇ t x t u t (3.62) Trong đó:
t [ t t t ] : vector trạng thái
t [ t t t ] : vector tín hiệu điều khiển
Bộ điều khiển này tính toán tín hiệu điều khiển u để tối thiểu hóa hàm mục tiêu dạng toàn phương:
∫ (3.63)
Trong đó: Q là ma trận bán xác định dương và R > 0 chứa các hệ số do người thiết kế chọn trước. Do tín hiệu điều khiển theo nguyên lý bộ phản hồi trạng thái nhƣ Hình 3.8.
Hình 3.8. Sơ đồ điều khiển phản hồi trạng thái Nên từ công thức (3.62) dẫn tới:
̇ t x t (3.64) Với K lấy ra đƣợc từ biểu thức:
(3.65)
Và P là nghiệm của phương trình đại số Riccati:
(3.66) Hàm Hamilton:
[ ] [
- Phương trình trạng thái:
̇ t x t u t (3.67) - Phương trình đồng trạng thái:
̇
(3.68) - Điều kiện dừng:
=0 (3.69)
Cách tìm lời giải tối ƣu:
- Rút u(t) từ (3.69):
(3.70)
- Thay (3.70) vào phương trình (3.67) ta được:
̇ (3.71) - Kết hợp các phương trình (3.71) và (3.68) ta được:
[ ̇
̇ ] [
] [
] (3.72)
- Giải phương trình vi phân (3.72), tìm được và . - Thay vào phương trình (3.70) ta tìm được lời giải tối ưu.
Tín hiệu điều khiển tối ƣu:
(3.73)
Trong đó: với P(t) là nghiệm bán xác định dương của phương trình vi phân Ricatti:
̇ (3.74) 3.3.2. Xác định các giá trị L, Q, R
Để xác định các trọng số L, Q, R theo [20], có các cách sau:
Cách 1: Gán giá trị bằng ma trận đơn vị
Chọn Q = I, R = ρI và ‖ ‖ ‖ ‖ . Với I là ma trận đơn vị, thay đổi ρ để có đáp ứng mong đợi.
Cách 2: Xác định các ma trận chéo Q và R là các ma trận chéo
| |, | |
Các giá trị qi đƣợc xác định sao cho các sai lệch là nhƣ nhau.
Ví dụ: x1 là khoảng cách tính theo mét, x3 là góc quay tính theo radian.
- 1 cm là lỗi cho phép
Suy ra vì khi - rad là lỗi cho phép
Suy ra vì khi
Tương tự khi xác định các giá trị ri. Dùng để điều chỉnh tín hiệu đầu vào và trạng thái cân bằng.
Cách 3: Xác định dựa vào đầu ra mong muốn
Cho là đầu ra mà chúng ta mong muốn ở giá trị nhỏ. Giả sử (A, H) có thể quan sát đƣợc.
; . Cân chỉnh ‖ ‖ ‖ ‖ Cách 4: Thử và cân chỉnh:
Xác định Q và R rồi thay đổi các giá trị để đƣợc đầu ra mong muốn. Đây là cách thường được sử dụng nhất để xác định các giá trị Q, R.
3.3.3. Điều khiển LQR 2 vòng kín [21]
Bộ điều khiển LQR mang lại đáp ứng điều khiển tối ƣu xung quanh điểm cân bằng. Tuy nhiên tín hiệu điều khiển u không chứa thành phần tín hiệu đặt từ bên ngoài nên hệ thống không có khả năng đáp ứng đƣợc các yêu cầu từ tín hiệu đặt. Trong bài toán nâng hạ vật bằng từ trường này, ta không thể điều khiển đối tượng đến vị trí mong muốn (hoặc điều khiển để đáp ứng đầu ra đến giá trị mong muốn). Bộ điều khiển LQR chỉ đóng vai trò làm bộ điều chỉnh tại điểm cân bằng.
Để đồng thời điều khiển cân bằng và điều khiển để đƣa đáp ứng đầu ra đến giá trị đặt, ta phải thiết kế thêm một mạch vòng phản hồi bên ngoài thông qua một biến trạng thái đƣợc đặt thêm vào. Biến trạng thái đặt thêm vào phải liên quan đến đáp ứng đầu ra.
Giả sử mô hình có n biến trạng thái, biến trạng thái xn+1 đƣợc đặt thêm liên quan đến đáp ứng đầu ra và đƣợc phản hồi về tạo thành mạch vòng thứ 2. Lúc này hệ có 2 mạch vòng, vòng ngoài phản hồi đáp ứng đầu ra và vòng trong phản hồi biến trạng thái.
Tín hiệu ra cần điều khiển là :
(3.75)
Đặt thêm biến trạng thái
(3.76)
Sơ đồ mô phỏng điều khiển LQR 2 vòng kín đƣợc mô tả nhƣ Hình 3.9.
Hình 3.9. Sơ đồ điều khiển LQR 2 vòng kín
Từ Hình 3.9 tín hiệu điều khiển tác động đến vật cần điều khiển có 2 vòng kín là:
(3.77)
Ta có thể viết lại phương trình trạng thái của hệ thống 2 vòng phản hồi như sau:
[
] *
+ [
] * +
(3.78)
Đặt:
̄ [
], ̄ *
+, ̄ * +, ̄ [ ] Phương trình có thể viết thành
{ ̄
̄ ̄ ̄ ̄ ̄
(3.79)
Với phương trình trên, ta có thể áp dụng thuật toán LQR xung quanh điểm cân bằng X 0. Tại vị trí cân bằng, xn+1 = 0 nên sai lệch của giá trị phản hồi và giá trị đặt đƣợc triệt tiêu. Kết quả là, mô hình thực hiện đƣợc điều khiển đầu ra đến giá trị đặt với bộ điều khiển LQR.