3.3. CÁC THUẬT TOÁN ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ MÔ HÌNH
3.3.2 Phương pháp 2 : thuật toán SUR ( Seemingly Unrelated Regression )
Cơ sở lý thuyết :
Giả sử rằng là biến phụ thuộc, là một
vector Ki của những biến giải thích cho đơn vị quan sát i, và là một sai số, trong đó chỉ số biểu thị lần quan sát thứ t của phương trình thứ i trong hệ thống. Thông thường t biểu thị số lần và chung ta tham khảo điều này như kích thước thời gian.
Nhƣng trong vài ứng dụng thì t có thể có sự giải thích khác, ví dụ nhƣ một vị trí trong không gian. Một mô hình SUR cổ điển là một hệ thống của những phương trình hồi quy tuyến tính.
Trong đó i=1,…,N và t=1,…,T. Biểu diễn L=K1+…+KN . Tiếp tục đơn giản hóa trong ký hiệu có thể hoàn tất bằng cách xếp chồng những lần quan sát hoặc trong kích thước T hoặc trong mỗi i. Ví dụ, nếu chúng ta xếp chồng mỗi lần quan sát
thứ t, đạt đƣợc , ̃ , một ma trận đường chéo với trên đường chéo của nó, và . Ta đƣợc
̃
Và hệ số đáp ứng :
Cho một vài ma trận G toàn vị. Trường hợp đặc biệt trong đó K1=K2…=KN=K, chúng ta có , trong đó biểu thị cho cột thứ j của ma trận
Trong mô hình SUR tuyến tính cổ điển, chúng ta giả định rằng cho i=1,….,N;
là toàn vị , và sai số thứ i theo thời gian và phương sai ∑ | thêm vào đó, chúng ta giả định rằng là xác định dương và ký hiệu là là thành phần thứ i,j của , do đó | .
Theo giả định này, ma trận hiệp phương sai của toàn bộ vector của những rối loạn đƣợc cho bởi ∑ .
Chúng ta có 2 bước ước lượng như sau : Ước lượng bằng phương pháp bình phương cực tiểu thông thường
Ta ước lượng bằng phương pháp bình phương cực tiểu của dựa trên hồi quy :
̂ (∑ ̃ ̃
*
∑ ̃
Đây chỉ là các vector xếp chồng những phương trình bằng những phương trình ƣớc lƣợng OLS, ̂ ̂ ̂ , trong đó :
̂ (∑
*
∑
Bình phương cực tiểu khái quát và ước lượng bình phương cực tiểu khái quát khả thi
Khi biết ma trận hiệp phương sai , phương pháp ước lượng GLS của là :
̂ ( ̃ ̃ ) ̃
Khi không biết ma trận hiệp phương sai , phương pháp ước lượng FGLS đƣợc định nghĩa thay thế (không biết) bằng một ƣớc lƣợng thích hợp, cách ƣớc lƣợng đƣợc sử dụng rộng rãi là :
39
̂ ( ̂ )
Trong đó :
( ̂ ) ∑ ̂ ̂
Và ̂ là một sai số của phương trình thứ k, nghĩa là ̂ ̂
Cuối cùng ta có :
̂ ( ̃ ̂ ̃ ) ̃ ̂
Ước lượng FGLS là ước lượng thứ hai, OLS được sử dụng ước lượng bước 1 để thu được ̂ và ước lượng . Bước thứ hai tính toán ̂ dựa trên sự ước
lượng trong bước 1. Ước lượng này đôi khi được gọi là ước lượng giới hạn như trái ngƣợc với ƣớc lƣợng không bị giới hạ đƣợc đề xuất bởi Zellner trong đó sử dụng số dƣ từ một hồi quy OLS mà không áp đặt các hạn chế hệ số, nghĩa là từ suy thoái trong mỗi lần hồi quy trên tất cả sự hồi quy riêng biệt của hệ thống.
Thực hiện Matlab : Bước 1 : Ước lượng bằng bình phương cực tiểu.
Bước 2 : Tính sai số Bước 3 : Xây dựng ma trận với i,j =1: n
Bước 4 : Ước lượng ̂ ( ̃ ̂ ̃ ) ̃ ̂ Kết thúc
Áp dụng cụ thể với phương trình (3.11), với các ràng buộc (3.9) Ta nhận thấy rằng với i,j tương đương với 3 mức thời điểm peak(p), mid peak(m) và off-peak(o) thì phương trình (3.11) có tất cả 15 ẩn cần tìm.
Với ∑ (i=p,m,o)
Từ các ràng buộc ta nhận thấy rằng :
Nếu xác định đƣợc và có thể xác định ( )
Nếu xác định đƣợc và có thể xác định ( )
Nếu xác định đƣợc và có thể xác định ( )
Nếu xác định đƣợc có thể xác định
Nếu xác định đƣợc có thể xác định
Nếu xác định đƣợc có thể xác định
Từ và có thể xác định ( )
Từ và có thể xác định ( )
Như vậy có thể xây dựng lại hệ phương trình rút gọn lại từ phương trình (3.11) với việc lƣợt bỏ đi 8 ẩn chỉ giữ lại 7 ẩn , , , , , , cùng với đó
là lƣợt bỏ luôn cả chỉ giữ lại , . Sau khi xét các mối quan hệ, ta có thể thành lập được hệ phương trình sau :
[ ] [ ] [ ] [ ]
Sau n lần quan sát sự thay đổi giá ta sẽ xác định được 2n số phương trình với 2 mức thời điểm peak(k) và mid peak(m). Sau đó sử dụng các công thức của ƣớc lƣợng SUR để tính toán xác định giá trị của 7 ẩn trên rồi suy ra 8 giá trị còn lại.