THUN NHT HÂA BIN PH N CHIA Ë NHM CAO CếA Lị THUYT N HầI
Hẳnh 4.16: Sỹ phÊn xÔ, khúc xÔ cừa sõng SH ối vợi biản phƠn chia ở nhĂm cao hẳnh lữủc ữủc ữa vã sỹ phÊn xÔ, khúc xÔ cừa sõng SH ối
4.3.2 Cổng thực hiºn cừa hằ số phÊn xÔ, khúc xÔ
Sâng ph£n x¤ SHR câ d¤ng [16]:
V2R =Re−(A1Rx1+A3Rx3)e−i(P1Rx1+P3Rx3) (4.61)
trong õRl hằ số phÊn xÔ,PR(P1R, P3R)biºu diạn v²ctỡ lan truyãn,AR(A1R, A3R) biºu diạn v²ctỡ tưt dƯn cừa sõng phÊn xÔ SHR v
P1R =PRsinθR, P3R =PRcosθR, PR =|PR|, A1R =ARsinθR, A3R =ARcos(θR−γR), AR =|AR| (4.62)
vợi θR l gõc phÊn xÔ, γR l gõc tÔo bði PR v AR. Thay biºu diạn nghiằm (4.61) v o phữỡng trẳnh chuyºn ởng (4.49) ta suy ra hằ
sau:
c(+)66 (P1R2 −A21R) +c(+)44 (P3R2 −A23R) = re(+)
c(+)66 P1RA1R+c(+)44 P3RA3R = im(+)
2
(4.63)
Tứ ành luêt Snell suy ra:
P1I =P1R A1I =A1R
⇒
PIsinθ=PRsinθR AIsinθ =ARsin(θR−γR)
(4.64)
Thay (4.64) v o (4.63) ta ữủc hằ phữỡng trẳnh sau:
c(+)66 (P1I2 −A21I) +c(+)44 (P3R2 −A23R) =re(+)
c(+)66 P1IA1I +c(+)44 P3RA3R = im(+)
2
(4.65)
GiÊi hằ (4.65) ta ữủc:
A23R = −[re
(+)−c(+)66 (P1I2−A21I)]+
q [re(+)−c(+)66 (P1I2−A21I)]2+[im(+)−2c(+)66 P1IA1I]2
2c(+)44 ,
P3R2 = [re
(+)−c(+)66 (P1I2−A21I)]+
q [re(+)−c(+)66 (P1I2−A21I)]2+[im(+)−2c(+)66 P1IA1I]2
2c(+)44 .
(4.66)
Sỷ dửng (4.62) ta thĐy vá trĂi cừa (4.66) trð th nh:
A23R =A2Rcos2(θR−γR) = A2R(1−sin2(θR−γR)) P3R2 =PR2cos2θR =PR2(1−sin2θR) (4.67) Tứ (4.64) v (4.67) ta cõ:
A23R =A2R −AIsin2(θR−γR) P3R2 =PR2 −PIsin2θR (4.68) Thay (4.68) v o (4.66) ta câ biºu thùc sau:
A2R =A2Isin2θ+−[re
(+)−c(+)66 (P1I2−A21I)]+
q [re(+)−c(+)66 (P1I2−A21I)]2+[im(+)−2c(+)66 P1IA1I]2
2c(+)44 ,
PR2 =PI2sin2θ+ [re
(+)−c(+)66 (P1I2−A21I)]+
q [re(+)−c(+)66 (P1I2−A21I)]2+[im(+)−2c(+)66 P1IA1I]2
2c(+)44 .
(4.69) Vợi AI, PI Â tẵnh ữủc trong (4.60) ta thay v o (4.69) thu ữủc:
A2R =A2I, PR2 =PI2 (4.70) Thay (4.70) v o ành luêt Snell (4.64) ta nhên ữủc:
θR =θ, γR = 0 (4.71)
Tứ (4.71) cho thĐy sõng phÊn xÔ SHR l sõng thuƯn nhĐt v gõc phÊn xÔ bơng gõc tợi θR =θ (Hẳnh 4.16).
Sâng khóc x¤ SHT câ d¤ng sau [16]:
V2T =Te−(A1Tx1+A3Tx3)e−i(P1Tx1+P3Tx3) (4.72)
trong õ T l hằ số khúc xÔ, PT(P1T, P3T) biºu diạn v²ctỡ lan truyãn sõng, AT(A1T, A3T) biºu diạn v²ctỡ tưt dƯn cừa sõng khúc xÔ SHT v
P1T =PT sinθT, P3T =−PT cosθT, PT =|PT|, A1T =AT sin(θT −γT), A3T =−AT cos(θT −γT), AT =|AT| (4.73)
vợi θT l gõc khúc xÔ, γT l gõc tÔo bði PT v AT. Tứ ành luêt Snell suy ra:
P1I =P1T A1I =A1T
⇒
PIsinθ =PTsinθT AIsinθ =AT sin(θT −γT)
(4.74)
Thay (4.72) v o phữỡng trẳnh (4.50) v sỷ dửng (4.74) ta thu ữủc:
A3T =−
s
−[re(−)−c(−)66 (P1I2−A21I)]+
q [re(−)−c(−)66 (P1I2−A21I)]2+[im(−)−2c(−)66 P1IA1I]2
2c(−)44 ,
P3T =−
s
[re(−)−c(−)66 (P1I2−A21I)]+
q [re(−)−c(−)66 (P1I2−A21I)]2+[im(−)−2c(−)66 P1IA1I]2
2c(−)44 (4.75)
trong â
re(−) =ω2ρ(−), im(−) =ω3ρ(−)2L k(−)22 (4.76)
Chú ỵ rơng sõng khúc xÔSHT l sõng khổng thuƯn nhĐt (v²ctỡ tưt dƯn cừa sõng khổng song song vợi v²ctỡ lan truyãn sõng) [16].
Gõc khúc xÔθT v gõcγT giỳa 2 v²ctỡPT v AT (Hẳnh 4.16) ữủc tẵnh nhữ sau:
Tứ phữỡng trẳnh thự nhĐt v thự hai cừa (4.73) ta dạ d ng nhên ữủc:
θT =−atanP1I
P3T
(4.77)
Sỷ dửng ành luêt Snell (4.63) v o phữỡng trẳnh thự tữ cừa (4.73) kát hủp vợi phữỡng trẳnh thự nôm cừa (4.73) ta suy ra:
tan(θT −γT) =−A1I
A3T (4.78)
Tứ (4.78) ta cõ:
tanγT =
tanθT + A1I
A3T
1−tanθT A1I
A3T
=
−P1I P3T + A1I
A3T
1 + P1I P3T
A1I A3T
= tan hatanA
1I
A3T
−atanP
1I
P3T i
(4.79)
Tứ (4.79) suy ra:
γT =atanA
1I
A3T
−atanP
1I
P3T
(4.80)
Nhên x²t 4.2: Ta kỵ hiằu AI, AR, AT v cI, cR, cT tữỡng ựng l cĂc hằ số tưt dƯn v vên tốc pha cừa cĂc sõngSHI,SHR,SHT.AI ữủc tẵnh trong phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa (4.60), Ak =p
A21k+A23k(k =R, T), ck = ω
Pk (k =I, R, T), PI
ữủc tẵnh trong phữỡng trẳnh thự hai cừa (4.60), Pk = p
P1k2 +P3k2 (k = R, T), A1k v P1k(k = R, T) ữủc tẵnh trong (4.64), A3R, P3R ữủc cho trong (4.66),
A3T, P3T ữủc xĂc ành bði (4.75). Nhữ vêy, cĂc hằ số tưt dƯn v cĂc vên tốc pha ữủc tẵnh bði cĂc biºu thực hiºn.
Theo ành luêt Snell, ta thĐy rơng nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh chuyºn ởng cừa lợp (4.51) cõ dÔng sau:
V2= (B1e−iKˆ3x3 +B2eiKˆ3x3)e−i((P1I−iA1I)x1 (4.81) trong õ B1, B2 l cĂc hơng số cƯn ữủc xĂc ành v :
Kˆ3 = s
hrei − hc−166i−1(P1I2 −A21I)−i[himi −2hc−166i−1P1IA1I]
hc44i (4.82)
Dạ d ng thĐy rơng Kˆ3 = ˆP3−iAˆ3 trong õ (cĂc số thỹc) P3, A3 ữủc cho nhữ
sau:
Pˆ3 = r
[hrei−hc−166i−1(P1I2−A21I)]+√
[hrei−hc−166i−1(P1I2−A21I)]2+[himi−2hc−166i−1P1IA1I]2
2hc44i ,
Aˆ3 = himi −2hc−166i−1P1IA1I
2hc44iPˆ3 (4.83)
Tứ iãu kiằn liản tửc trản biản x3 = 0: [V2]x3=0= 0 v [σ023]x3=0= 0 ta cõ:
VI +VR =V2 t¤i x3 = 0 C(+)(VI,3+VR,3=hC44iV2,3 t¤i x3 = 0 (4.84)
Thay cĂc biºu diạn nghiằm V2I, V2R v V2 trong (4.54), (4.61) v (4.81) v o iãu kiằn liản tửc (4.84) ta ữủc:
R+ 1 =B1+B2
B1−B2=−c(+)44 (A3I +iP3I)(1−R)
hc44i( ˆA3+iPˆ3)
(4.85)
TÔi biản x3 =−A: [V2]x3=−A = 0 v [σ230 ]x3=−A = 0, do õ:
V2 =VT t¤i x3 =−A hC44iV2,3 =C44(−)VT,3 t¤i x3 =−A (4.86) Thay (4.54), (4.61) v (4.81) v o iãu kiằn liản tửc (4.86) dăn án:
B1e−( ˆA3+iPˆ3)A+B2e( ˆA3+iPˆ3)A =T e(A3T+iP3T)A
B1e−( ˆA3+iPˆ3)A −B2e( ˆA3+iPˆ3)A =−c(−)44 (A3T +iP3T)
hc44i( ˆA3+iPˆ3) T e(A3T+iP3T)A (4.87)
Tứ (4.85) v (4.87) ta thu ữủc bốn phữỡng trẳnh bốn ân sốB1, B2, R v T nhữ
sau:
B1+B2 =R+ 1,
B1−B2=−c(+)44 (A3I +iP3I)(1−R)
hc44i( ˆA3+iPˆ3) , B1e−( ˆA3+iPˆ3)A+B2e( ˆA3+iPˆ3)A =T e(A3T+iP3T)A
B1e−( ˆA3+iPˆ3)A−B2e( ˆA3+iPˆ3)A =−c(−)44 (A3T +iP3T)
hc44i( ˆA3+iPˆ3) T e(A3T+iP3T)A
(4.88)
Tứ 2 phữỡng trẳnh Ưu cừa (4.88) ta giÊi ữủc:
B1 = a1+a2R
2
B2 = 2−a1−(a2−2)R
2
(4.89)
trong â
a1 = 1 +c(+)44 (A3I +iP3I)
hc44i( ˆA3+iPˆ3), a2 = (2−a1) (4.90) Thay (4.89) v o hai phữỡng trẳnh sau cừa hằ (4.88) ta thu ữủc biºu thực dÔng õng cừa cĂc hằ số phÊn xÔ, khúc xÔ cừa sõng R v T l :
R = pr−sn mr−qn, T = ms−pq
mr−qn (4.91)
vợi
m =a1e−( ˆA3+iPˆ3)A+a2e( ˆA3+iPˆ3)A, n =−2e(A3T+iP3T)A, p=−{a2e−( ˆA3+iPˆ3)A+a1e( ˆA3+iPˆ3)A}, q=a1e−( ˆA3+iPˆ3)A−a2e( ˆA3+iPˆ3)A,
r = 2c(−)44 (A3T +iP3T) hc44i( ˆA3+iPˆ3) e(A3T+iP3T)A, s=−{a2e−( ˆA3+iPˆ3)A−a1e( ˆA3+iPˆ3)A},
(4.92)
Nhên x²t 4.3: Khi 2 bĂn khổng gian l n hỗi v ¯ng hữợng, ta cõ:
k(±)22 = 0, c(±)44 =c(±)66 =à(±) (4.93)
Khi õ b i toĂn ữủc ữa vã b i toĂn phÊn xÔ, khúc xÔ cừa sõng SH ối vợi lợp n hỗi trỹc hữợng kàp giỳa 2 bĂn khổng gian ¯ng hữợng cõ cĂc hơng số vêt liằu à(±) v ρ(±)s . CĂc hơng số c44, c66 v ρ∗ cừa lợp n hỗi trỹc hữợng l :
c44 =hài, c66 =hà−1i−1, ρ∗=hρsi (4.94) Tứ (4.93)1 suy ra im(±) = 0. Dạ d ng thĐy rơng:
A3I =A3T = ˆA3= 0, P3I :=η(+) =−k(+)cosθ, P3T :=η(−) =−k(−)cosθT
Pˆ3 :=η1 =
rω2ρ∗−ξ2c66
c44 , ξ=k(+)sinθ (4.95)
trong â k(±) =ω/β(±), β(±) = q
à(±)/ρ(±)s . Thay (4.95) v o (4.92) v tứ (4.91) suy ra:
R= à(+)η(+)à(−)η(−)−[c44η1]2sinθ+icosθ à(−)η(−)−à(+)η(+))c44η1 à(+)η(+)à(−)η(−)+ [c44η1]2
sinθ+icosθ à(−)η(−)+à(+)η(+)
c44η1
T = 2ià(+)η(+)e−iη(−)A à(+)η(+)à(−)η(−)+ [c44η1]2
sinθ+icosθ à(−)η(−)+à(+)η(+)
c44η1
(4.96)
Chú ỵ rơng η(+) =−η0, η(−) =−η2, A =−h v θ =φ0, ta thĐy cổng thực (4.96) ối vợi R v T trũng vợi cổng thực (21) trong Vinh v cĂc cởng sỹ [77]) .
X²t b i toĂn sỹ phÊn xÔ, khúc xÔ cừa sõng SH ối vợi biản phƠn chia ph¯ng giỳa hai bĂn khổng gian n hỗi xốp trỹc hữợng (khổng cõ lợp ð giỳa: A = 0).
Tứ cĂc phữỡng trẳnh (2.100) v (2.101) (bọ qua lỹc khối), phữỡng trẳnh chuyºn ởng cừa sõng SH trong hai bĂn khổng gian l :
c(+)66 V2,11+c(+)44 V2,33+ω2
ρ(+)−iωρ(+)2L k22(+)
V2= 0, forx3 >0, (4.97)
c(−)66 V2,11+c(−)44 V2,33+ω2
ρ(−)−iωρ(−)2L k22(−)
V2= 0, forx3 <0, (4.98)
GiÊ sỷ sõng tợi SHI l thuƯn nhĐt, cõ biản ở ỡn và, gõc tợi θ0(0≤θ0)<90o), truyãn trong bĂn khổng gianΩ(+) (Hẳnh 4.22). Khi sõng tợi chiáu án biản phƠn chia ph¯ng (x3 = 0) s³ tÔo ra sõng phÊn xÔ SHR truyãn trong bĂn khổng gian
Ω(+) v sõng khúc xÔ SHT truyãn trong bĂn khổng gian Ω(−). Sõng tợi thuƯn nhĐtSHI v sõng phÊn xÔSHR thọa mÂn phữỡng trẳnh (4.97) câ d¤ng [16]:
V0I =e−(A1Ix1+A3Ix3)e−i(P1Ix1+P3Ix3) (4.99) V0R =R0e−(A1Rx1+A3Rx3)e−i(P1Rx1+P3Rx3) (4.100) Sõng khúc xÔ SHT thọa mÂn phữỡng trẳnh (4.98) cõ dÔng l :
V0T =T0e−(A1Tx1+A3Tx3)e−i(P1Tx1+P3Tx3) (4.101) iãu kiằn liản tửc (4.52) ỡn giÊn nhữ sau:
V0I +V0R =V0T t¤i x3= 0, C44(+)(V0I,3+V0R,3) =C44(−)V0T,3 t¤i x3 = 0. (4.102) Thay (4.99), (4.101) v o iãu kiằn liản tửc (4.102) ta suy ra hằ sau:
1 +R0=T0
R0+ C44(−)(P3T −iA3T) C44(+)(P3I−iA3I)
T0 = 1 (4.103)
Tứ hằ (4.103) suy ra:
R0= 1−a0
1 +a0
T0 = 2 1 +a0
(4.104)
trong â:
a0= C44(−)(P3T −iA3T) C44(+)(P3I −iA3I) (4.105)