CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN HOẠT ĐỘNG GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG DAO ĐỘNG CƠ
2.2. Nội dung kiến thức chương Dao động cơ vật lí 12
2.2.1. Các đại lượng và khái niệm cơ bản của dao động điều hòa:
a) Dao động: là chuyển động có giới hạn trong không gian, lặp đi lặp lại nhiều lần quanh một vị trí cân bằng.
b) Dao động tuần hoàn:
131
- Định nghĩa: là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau.
- Chu kỳ: Khoảng thời gian T ngắn nhất sau đó trạng thái dao động lặp lại như cũ gọi là chu kỳ của dao động tuần hoàn.
- Tần số: Đại lượng f = 1/T chỉ rừ số dao động thực hiện trong một đơn vị thời gian được gọi là tần số của dao động tuần hoàn. Đơn vị tần số là Hertz (ký hiệu Hz)
c) Dao động điều hòa:
- Định nghĩa: dao động điều hòa là một dao động được mô tả bằng một định luật dạng cosin hay sin: x = Acos(ωt + φ), trong đó A, ω, φ là những hằng số.
- Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa:
+ Ly độ dao động x: cho biết độ lệch và chiều lệch của vật khỏi vị trí cân bằng.
+ Biên độ dao động A: là độ lệch cực đại của vật A = |x|max
+ Pha của dao động tại thời điểm t (ωt + φ): là đại lượng trung gian cho phép ta xác định li độ của vật ở thời điểm t. Tại t = 0 thì φ gọi là pha ban đầu.
+ Tần số góc ω (rad/s): là đại lượng trung gian cho phép ra xác định chu kỳ và tần số của dao động điều hòa:
T = ω π 2 ; f =
π ω
2 hay ω = 2πf - Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa:
+ Vận tốc:
v = x’ (t) = - ωAsin(ωt + φ)
Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc bằng tần số góc của dao động. Vectơ vận tốc đổi chiều khi v = 0.
+ Gia tốc:
a = v’ (t) = x’’ (t) = - ω2Acos(ωt + φ) = - ω2x
Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc bằng tần số góc của dao động. Vectơ gia tốc đổi chiều khi a = 0.
+ Mối liên hệ:
2 2
A
x + 22 2 A v
ω = 1
v2 = ω2 (A2 – x2) ↔ v = ± ω A2 −x2 a = v’ (t) = x’’ (t) = - ω2Acos(ωt + φ) = - ω2x - Lực tác dụng lên vật dao động điều hòa:
Lực kéo về (còn gọi là lực hồi phục): Là hợp lực tác dụng lên vật và gây dao động điều hòa: F = - mω2x = - kx ; k = mω2 ( k > 0 )
Lực kéo về luôn hướng về vị trí cân bằng và tỷ lệ với li độ dao động. Vậy lực kéo về đổi hướng khi vật dao động đi qua vị trí cân bằng.
- Năng lượng trong dao động điều hòa:
+ Phương trình bảo toàn năng lượng: W = Wđ + Wt = 2
1mv2 + 2
1mω2x2 = 2
1 mω2A2
+ Đại lượng W = 2
1mω2A2 là cơ năng của vật dao động điều hòa.
- Sự biến đổi của động năng và thế năng:
+ Động năng:
Wđ = 2
1mv2 = 2
1mω2A2 sin2(ωt + φ) = 4
1mω2A2 - 4
1 mω2A2cos(2ωt + 2φ)
+Thế năng:Wt = 2
1mω2x2 = 2
1mω2A2cos2(ωt + φ)=
4
1mω2A2+ 4
1 mω2A2cos(2ωt + 2φ)
+ Kết luận: Động năng , thế năng biến đổi tuần hoàn với chu kì T’ = ω π 2
2 =
ω π =
2 T
Cơ năng không đổi, tỉ lệ với bình phương của biên độ dao động.
133 Dao động
điều hòa
Động học:
Khảo sát các đại lượng: li độ, vận tốc, gia tốc, thời gian dao động, tìm thời điểm thỏa mãn điều kiện của dao động, đường đi của dao động. Mối quan hệ giữa các đại lượng với pha của dao động. Các đại lượng đặc trưng của DĐĐH: T, f, A, ω
Động lực học:
Khảo sát sự biến thiên của lực kéo về. Xét các trường hợp riêng là dao động của con lắc lò xo và con lắc đơn.
Năng lượng của dao động điều hòa:
Khảo sát sự biến thiên của động năng, thế năng và cơ năng của dao động điều hòa. Xét các trường hợp riêng: con lắc lò xo và con lắc đơn.
Mối quan hệ giữa các đại lượng và pha của dao động được thể hiện qua sơ đồ:
(Đặt φ0 là pha của dao động tại thời điểm t = 0)
Từ sơ đồ ta nhận thấy các đại lượng của dao động điều hòa đều liên quan đến pha của dao động. Đồng thời từ sơ đồ trên ta thấy ngay mối quan hệ giữa các đại lượng. Kết hợp với việc sử dụng thành thạo đường tròn đơn vị ta hoàn toàn chủ động việc giải các bài toán dao động theo phương pháp trắc nghiệm nhanh chóng.
2.2.2. Con lắc lò xo:
Các đặc trưng của dao động của con lắc lò xo cũng có các đặc trưng chung của dao động điều hòa. Ta chỉ cần quan tâm tới các đặc trưng riêng.
a) Động học:
- Chu kỳ: T = 2π k
m với k là độ cứng của lò xo.
- Tần số: f = π 2
1 m
k
Con lắc lò xo thẳng đứng:
Phương trình dao động x = Acos(ωt + φ0)
Gia tốc
a = - ω2Acos(ωt + φ0)
= ω2Acos[(ωt + φ0) + π]
Vận tốc
v = - - ωAsin(ωt + φ0)
= ωAcos[(ωt + φ0) + ]
Pha của dao động φ = ωt + φ0 Lực kéo về
F = - kx =
- kAcos(ωt + φ0)
Thời gian dao động t =
Thế năng
Wt = kx2 = kA2 cos2(ωt + φ0)
Động năng
Wđ = mv2 = kA2 sin2(ωt + φ0)
ω = m k =
l0
g
∆ = T
π
2 = 2πf → T = 2π g
l0
∆ ; f = π 2
1 l0
g
∆ b) Động lực học:
- Lực kéo về: F = - kx với k là độ cứng của lò xo.
- Lực đàn hồi:
+ Con lắc lò xo nằm ngang: Fđh = - kx ; Δl = |x| : là độ biến dạng của lò xo tại vị trí bất kỳ.
+ Con lắc lò xo thẳng đứng: Fđh = - k(Δl0 ± x) ; trong đó Δl0 là độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng. Dấu ± phụ thuộc vào chiều biến dạng của lò xo so với chiều dương của trục tọa độ.
- Từ hai đặc điểm trên ta nhận thấy: Đối với con lắc lò xo nằm ngang và thẳng đứng thì độ lớn của lực đàn hồi đều biến thiên tuần hoàn với tần số góc bằng tần số góc của dao động. Đối với con lắc lò xo nằm ngang thì lực đàn hồi đổi chiều khi vật đi qua vị trí cân bằng. Với con lắc lò xo dọc thì lực này đổi chiều khi vật đi qua vị trí có ly độ x = + Δl0 hoặc x = - Δl0 (tùy thuộc vào chiều dương của trục tọa độ)
- Chú ý:
+ Đối với con lắc lò xo dọc cần phân biệt độ biến dạng của lò xo và li độ của vật nặng. Sự phân biệt này giúp ta xác định đúng
vị trí đổi chiều của lực đàn hồi và lực kéo về cũng như vị trí mà lực đàn hồi cực đại, cực tiểu, lực kéo về cực đại, cực tiểu.
Ví dụ:
Tại điểm B thì độ biến dạng bằng 0, tại đó lực kéo về có độ lớn bằng k.Δl0. Như vậy, khi vật dao động đi qua điểm B thì lực đàn hồi đổi chiều nhưng lực kéo về có độ lớn bằng k.Δl0. Tại điểm O thì lực kéo về đổi chiều nhưng lực đàn hồi cân bằng với trọng lực P
.
135
Δl0 O B
+ Khi tính toán lực đàn hồi cực tiểu phải phân biệt 2 trường hợp:
Trường hợp A ≥ Δl0 thì khi dao động vật dao động sẽ đi qua vị trí mà lò xo không biến dạng, tại đó lực đàn hồi bằng 0 và bị đổi chiều.
Trường hợp A < Δl0 thì trong quá trình dao động, lò xo luôn dãn (hoặc luôn nén nếu ban đầu, khi vật ở vị trí cân bằng, lò xo bị nén), lực đàn hồi không đổi chiều trong suốt quá trình dao động, độ lớn cực tiểu của lực đàn hồi bằng
Fđh = k(A - Δl0)
Nếu độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng là Δl0 thì chu kỳ dao động của con
lắc lò xo được tính bởi công thức T = 2π g
l0
∆ . Chu kỳ này không phụ thuộc vào phương dao động của con lắc.
c) Năng lượng dao động của con lắc:
Có đầy đủ các đặc điểm của dao động điều hòa nói trên.
2.2.3. Con lắc đơn:
a) Động học:
Sự khác nhau giữa con lắc đơn và con lắc lò xo về phương diện đông học là ở biểu thức tính chu kì và tần số của dao động. Chu kì dao động điều hòa của con lắc lò xo không phụ thuộc vào vị trí nơi con lắc dao động, mà phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng. Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc vào vị trí nơi con lắc dao động nhưng
không phụ thuộc vào khối lượng vật nặng. Chu kỳ đó bằng T = 2π g
l . Dạng phương trình dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo giống nhau.
b) Động lực học:
Do chuyển động của con lắc đơn là chuyển động tròn không đều cho nên lực tác dụng vào vật vừa phải gây ra gia tốc hướng tâm, vừa phải gây ra gia tốc tiếp tuyến. Lực gây ra dao động chỉ là một thành phần của trọng lực P
. Chú ý:
- Thành phần Pt gâyra dao động được tính bởi công thức Pt = - l
p .s , nó cũng có
dạng F = - kx với k = - l
p (hệ số này còn được gọi là hệ số phục hồi). Như vậy chỉ trong dao động của con lắc lò xo, hệ số k mới là độ cứng của lò xo.
- Hợp lực của thành phần Pn = P.cosα của P và lực căng của sợi dây tạo ra lực hướng tâm. Ta có biểu thức tính lực căng của sợi dây tại một vị trí ứng với góc lệch α là
τ = mg (3cosα – 2cosα0) với α0 là biên độ góc, α là ly độ góc của dao động.
c) Năng lượng dao động của con lắc:
W = Wđ + Wt = 2
1mv2 + mgh = 2
1mv2 + mgl(1 - cosα) = mgl (1 – cosα0) = const Với biên độ nhỏ, cơ năng còn được viết bởi:
W = 2
1 mω2S02 = mgl 2
2
α0
. Nếu thay k = mω2 thì ta cũng có biểu thức giống như dao động điều hòa nói chung.
2.2.4. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
Giới hạn khảo sát: Chỉ tổng hợp hai dao động cùng phương và cùng tần số.
a) Để tổng hợp 2 dao động có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau.
- Đối với 2 dao động có cùng biên độ thì dùng phương pháp đại số cộng trực tiếp 2 hàm số lượng giác.
- Có thể sử dụng phương pháp chiếu các vectơ trên các trục tọa độ để tìm ra kết quả nhanh hơn.
- Hoặc áp dụng các công thức Fresnen cho 2 dao động.
b) Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương , cùng tần số
x1 = A1 cos (ωt + φ1) và x2 = A2 cos (ωt + φ2) là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số x = A cos (ωt + φ). Trong đó:
A = A12 +A22 +2A1A2 cos(ϕ −2 ϕ1)
137
tan φ =
2 2 1 1
2 2 1 1
cos cos
sin sin
ϕ ϕ
ϕ ϕ
A A
A A
+ +
c) Chú ý:
- Biên độ dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ của các dao động thành phần, độ lệch pha của hai dao động thành phần nhưng không phụ thuộc tần số. Biên độ đạt cực đại khi 2 dao động cùng pha, khi đó Amax = A1 + A2 . Biên độ nhỏ nhất khi hai dao động ngược pha, khi đó Amin = | A1 – A2 |. Như vậy biên độ dao động tổng hợp chỉ nhận các giá trị | A1 – A2 | ≤ A ≤ A1 + A2 .
- Khi lấy nghiệm pha ban đầu phải chú ý sao cho vectơ biểu diễn dao động tổng hợp phải nằm trong khoảng giữa 2 vectơ thành phần.
2.2.5. Dao động tắt dần. Dao động cưỡng bức. Cộng hưởng.
a) Dao động tự do: là dao động xảy ra trong một hệ dưới tác dụng của nội lực, sau khi hệ được cung cấp một năng lượng ban đầu. Hệ có khả năng thực hiện dao động tự do gọi là hệ dao động. Mọi dao động tự do của hệ dao động đều có cùng tần số góc ω0
gọi là tần số góc riêng của hệ ấy.
b) Dao động tắt dần: là dao động khi có ma sát và lực cản môi trường. Biên độ của dao động giảm dần theo thời gian. Nguyên nhân là do năng lượng của dao động bị giảm dần do bị biến đổi thành nội năng. Đặc điểm: dao động tắt dần càng nhanh nếu lực cản của môi trường cáng lớn.
c) Dao động cưỡng bức: là dao động do tác dụng của một ngoại lực biến thiên tuần hoàn F = F0 cos(Ωt). Khi tác dụng ngoại lực F lên hệ dao động có tần số riêng ω0 thì sau một thời gian chuyển tiếp, hệ sẽ dao động với tần số Ω của ngoại lực, dao động này gọi là dao động cưỡng bức.
Đặc điểm của dao động cưỡng bức: Biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ của ngoại lực và độ chênh lệch giữa tần số của ngoại lực cưỡng bức và tần số riêng Δf = | f – f0 | . Khi f = f0 thì biên độ đạt giá trị cực đại, đó là hiện tượng cộng hưởng.
Khi xảy ra cộng hưởng, biên độ dao động cộng hưởng phụ thuộc vào độ lớn lực ma sát và lực cản môi trường, Nếu lực cản càng nhỏ, biên độ dao động khi cảy ra cộng hưởng càng lớn (cộng hưởng nhọn). Ngược lại, nếu lực cản càng lớn thì biên độ dao động khi cộng hưởng càng nhỏ, ta có cộng hưởng tù.
2.2.6. Một số điểm cần lưu ý
a) Những quá trình dao động có mặt ở mọi lĩnh vực của Vật lí học: cây đu đung đưa, chiếc thuyền nhấp nhô tại chỗ neo, pittông chuyển động lên xuống trong xilanh của động cơ ôtô, dây đàn dao động, trống, chuông, màn rung trong máy điện thoại (ống nói và tai nghe), tinh thể thạch anh trong đồng hồ đeo tay, dao động của các phần tử không khí truyền cảm giác về âm thanh, dao động của các nguyên tử chất rắn, chúng chuyển cảm giác về nhiệt độ,… Tùy từng lĩnh vực của Vật lí học, dao động sẽ có những thể hiện khác nhau, những phương trình dao động điều hòa tuân theo định luật hàm số sin hoặc cosin, các khái niệm biên độ, tần số, pha, độ lệch pha, cộng hưởng, giao thoa… đều áp dụng hữu hiệu đối với mọi dao động trong mọi lĩnh vực của Vật lí học.
b) Cái chung nhất, làm cơ sở cho sự mô tả thống nhất trong các quá trình dao động trong mọi lĩnh vực của Vật lí học, chính là công cụ toán học để khảo sát các quá trình đó, áp dụng trong từng lĩnh vự đều dẫn đến những kết quả có giá trị, được thực tiễn kiểm tra và công nhận. Việc tìm ra các quy luật chung đó đã phải trải qua một quá trình lâu dài trong sự phát triển của Vật lí học từ Huyghen (cuối thế kỷ XVII) công bố những công trình nghiên cứu định lượng đầu tiên về con lắc, mở đầu cho sự nghiên cứu các loại dao động tuần hoàn, đến Macconi (cuối thế kỷ XIX) phát minh về máy phát, máy thu tín hiệu vô tuyến điện và từ đó sóng điện từ mới trở thành đối tượng nghiên cứu sâu sắc của khoa học kỹ thuật. Quá trình đó gợi ý cho các nhà sư phạm phương pháp hình thành và phát triển khái niệm dao động trong HS.
c) Khi xét đến vận tốc, gia tốc của một vật dao động điều hòa, SGK có đưa thêm khái niệm đại lượng biến thiên điều hòa, đây là sự mở rộng khái niệm dao động , nhằm chuẩn bị cho những khái niệm hiệu điện thế biến thiên điều hòa, dòng điện biến thiên điều hòa sau này.
139
d) Trong Vật lý học có cả hai phương trình dưới đây:
x = A cos (ωt + φ) và x = A sin (ωt + φ)
đều là phương trình của dao động điều hòa và là nghiệm của phương trình vi phân x’’ + ω²x = 0 . SGK CCGD dùng nghiệm dưới dạng x = A cos (ωt + φ) , SGK mới dùng nghiệm dưới dạng x = A cos (ωt + φ) với lí do:
- Khi lập phương trình dao động điều hòa như là hình chiếu của một điểm chuyển động tròn đều ta không phải dùng thêm một trục pha vuông góc với trục x.
- Thuận tiện cho việc biểu diễn dao động điều hòa bằng vec tơ quay.
- Thuận tiện cho việc biểu diễn dao động điều hòa bằng một số phức khi học ở các lớp trên.
e) Phân biệt lực kéo về với lực đàn hồi của lò xo:
- Lực kéo về chỉ có một đặc điểm là luôn hướng về vị trí cân bằng, làm cho vật dao động quanh vị trí cân bằng (có thể không điều hòa). Ví dụ: đối với con lắc đơn thì lực Pt = - mgsinα là lực kéo về dù α lớn. Nếu vật dao động điều hòa thì lực kéo về tỷ lệ với li độ Fkv = - kx.
- Lực kéo về là hợp lực của các lực tác dụng vào vật dao động điều hòa. Trong số các lực đó có lực đàn hồi của lò xo hoặc không. Vì thế mà có sự khác nhau giữa lực kéo về và lực đàn hồi của lò xo.
- Ví dụ:
+ Đối với con lắc lò xo nằm ngang: Lực kéo về tuyến tính, là lực đàn hồi của lò xo tác dụng vào vật m: F = Fđh
+ N
+ P = Fđh
, hay dưới dạng đại số F = Fđh = - kx (x vừa là li độ, vừa là độ biến dạng của lò xo)
+ Đối với con lắc lò xo thẳng đứng: Hệ dao động gồm vật m, lò xo, trái đất và giá đỡ. Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống.
Tại vị trí cân bằng, lực đàn hồi Fđh0 = - k.Δl0 ≠ 0 lực kéo về F
= Fđh0
+ P
→ F = - k.Δl0 + mg = 0 Tại ly độ x:
Lực đàn hồi Fđh = - k.( Δl0 + x) Lực kéo về F = Fđh
+ P ↔ F = - kx
Lực đàn hồi của lò xo có thể chia làm hai phần: Một phần không đổi (- k.Δl0) cân bằng với trọng lực và phần biến thiên điều hòa ( - kx) là lực kéo về tuyến tính. Ở đây x là li độ chứ không phải là độ biến dạng của lò xo, k là độ cứng của lò xo.
- Có những hệ dao động điều hòa trong đó không có phần tử cấu trúc nào của hệ là lò xo.Ví dụ: con lắc đơn, khúc gỗ nổi bập bềnh trên mặt nước… khi dao động nhỏ lực kéo về vẫn có dạng F = - kx nhưng không có bản chất của lực đàn hồi, k là “độ cứng”
của hệ.
f) Đối với con lắc lò xo nằm ngang, thế năng của con lắc chỉ là thế năng đàn hồi của lò xo; đối với con lắc lò xo thẳng đứng, thế năng của con lắc bao gồm cả thế năng đàn hồi và thế năng trọng trường. Khi con lắc lò xo dao động điều hòa Wt(x) – Wt(0) =
2 1
kx2 mới tham gia vào quá trình chuyển hóa năng lượng từ thế năng sang động năng và ngược lại.
g) Hệ dao động thực đều có ba đặc trưng sau:
- Đặc trưng quán tính, có nguồn gốc từ khối lượng của hệ. Do có khối lượng mà hệ có động năng.
- Đặc trưng hồi phục, có nguồn gốc ở lực hồi phục. Do có lực hồi phục mà hệ có thế năng.
- Đặc trưng tắt dần, có nguồn gốc ở lực tắt dần. Do có lực tắt dần mà cơ năng chuyển hóa thành nhiệt năng.
h) Điều kiện cộng hưởng: Trong trường hợp lực cản của môi trường lớn ta được cộng hưởng tù và đỉnh đường cong cộng hưởng không nằm đúng ở giá trị f0 mà ở giá trị fm nhỏ hơn f0 một chút. Trong trường hợp lực cản của môi trường nhỏ ta được đường cong cộng hưởng nhọn và đỉnh đường cong cộng hưởng ở giá trị f0. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp thì sự khác nhau giữa fm và f0 không đáng kể nên ra có thể bỏ qua và coi điều kiện cộng hưởng f = f0.
141