CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH HÀO BENTONITE TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU
2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trong không gian ba chiều (FEM-3D)
2.3.1 Nội dung cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn [2]
Phương pháp PTHH ra đời vào cuối những năm 1950 nhưng rất ít được ứng dụng vì công cụ tính toán còn chưa phát triển. Vào cuối những năm 1960, phương pháp PTHH đặc biệt phát triển nhờ sự phát triển nhanh chóng và sử dụng rộng rãi của máy tính điện tử. Đến nay có thể coi phương pháp PTHH là một phương pháp mạnh để giải các bài toán kỹ thuật khác nhau, từ bài toán phân tích trạng thái ứng suất biến dạng trong kết cấu các công trình thuỷ lợi, xây dựng dân dụng, giao thông đến các bài toán của lý thuyết trường như: Lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện - từ trường.
Nội dung cơ bản của phương pháp PTHH như sau:
Thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình, dùng để tính toán bao gồm một số hữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại các điểm nút tồn tại các lực tương tác biểu thị tác động qua lại của các phần tử kề nhau.
Như vậy có nghĩa là thay bài toán tính hệ liên tục (hệ thực tế) có bậc tự do vô hạn bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn. Chỗ phân cách giữa các phần tử hữu hạn gọi là biên của phần tử hữu hạn. Tùy từng trường hợp cụ thể, biên của các phần tử hữu hạn có thể là các điểm, các đường hoặc các mặt. Từ các mô hình đó, tiến hành việc phân tích trạng thái thấm, trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu công trình Thủy lợi, Xây dựng dân dụng, Giao thông v.v..
2.3.2 Giải bài toán ổn định bằng phương pháp phần tử hữu hạn [2]
Phương pháp phần tử hữu hạn xây dựng trên cơ sở lý thuyết cơ học liên tục.
Với giả thiết các biến dạng được xét tới là nhỏ.
2.3.2.1 Các phương trình biến dạng cơ bản của môi trường liên tục
Phương trình cơ bản của phân tích biến dạng liên tục ở trạng thái tĩnh:
=0 + p
LTσ (2.21)
Các phương trình quan hệ của 6 thành phần ứng suất trong không gian gắn với véc tơ σ , 3 thành phần lực khối, gắn với véc tơ p, LT là ma trận chuyển vị của toán tử vi phân được định nghĩa như sau:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x y z
z x y
z y
x LT
0 0
0
0 0
0
0 0
0
(2.22)
Ở trạng thái cân bằng mối liên hệ động học được xác định theo phương trình:
u
=L
ε (2.23)
Với 6 thành phần biến dạng, gắn với véc tơ ε là cơ sở của 3 thành phần chuyển vị gắn với vec tơ u được sử dụng để định nghĩa toán tử vi phân L. Mối liên hệ giữa đẳng thức (2.17) và (2.19) được tạo thành từ mối quan hệ cân bằng, thể hiện sự làm việc của vật liệu. Có thể biểu thị một cách tổng quát thông qua hệ thức sau:
ε
σ& =M & (2.24)
Kết hợp 3 phương trình (2.17),(2.19),(2.20) ta sẽ đưa ra một phương trình sau:
( + ) =0
∫δuT LTσ pdV (2.25)
Áp dụng định lý Green cho tích phân riêng phần trong phương trình (2.21) đưa ra được phương trình liên tục ở trạng thái cân bằng động:
dS t u dV p u
dV T T
T ∫ ∫
∫δε σ = δ + δ (2.26)
Với t - véc tơ phản lực tại các biên
Sự phát triển của trạng thái ứng suất σ được xác định:
σ σ
σi = i−1+∆
∫
=
∆σ σdt (2.27)
Trong đó: σi- trạng thái ứng suất thực chưa biết;
σi−1- trạng thái ứng suất ban đầu đã biết;
∆σ- số gia ứng suất (biến thiên ứng suất trong một đơn vị thời gian;
Nếu phương trình (2.23) xác định σiở bước thứ i, σi−1 được xác định theo phương trình sau:
dV dS
t u dV p u
dV T i T i T i
T −1
∆
− +
=
∆ ∫ ∫ ∫
∫δε σ δ δ δε σ (2.28)
Số lượng và tất cả các đại lượng xuất hiện trong phương trình từ (2.17) đến (2.24) đều được đặc trưng bởi các vị trí trong không gian ba chiều.
2.3.2.2 Rời rạc hóa theo lưới phần tử hữu hạn
Theo phương pháp phần tử hữu hạn, một vật thể liên tục có thể được rời rạc thành các phần tử nhỏ hơn. Mỗi phần tử bao gồm một số nút, mỗi nút có số bậc tự do xác định. Thông qua số bậc tự do của nút, xác định được điều kiện biên và có thể giải bài toán. Theo lý thuyết về biến dạng, số bậc tự do tương ứng với các thành phần chuyển vị. Trường chuyển vị của một phần tử unhận được từ các giá trị riêng biệt trong véc tơ v sử dụng hàm nội suy thể hiện trong ma trận N, khi đó:
v N
u= (2.29)
Hàm nội suy trong ma trận N giống như một hàm hình dạng. Sự thay thế của phương trình (2.25) trong mối quan hệ động học đưa ra:
v B v N L =
ε = (2.30)
Với B- ma trận nội suy của biến dạng, bao gồm các thành phần không gian của hàm nội suy. Phương trình (2.25) và (2.26) có vai trò giống nhau. Phương trình (2.24) được biến đổi thành phương trình sau:
(B v)T dV ∫ (N v)T pidV ∫ (N v)TtidS ∫ (B v)T i−1dV
∫ δ ∆σ = δ + δ − δ σ (2.31)
Chuyển vị riêng rẽ của các nút khi xét đến đầy đủ các yếu tố:
dV B
v dS t N v dV p N v dV B
vT∫ T∆σ =δ T∫ T i +δ T∫ T i −δ T∫ Tσi−1
δ (2.32)
Rút gọn cả hai vế cho δvTđược phương trình:
dV B
dS t N dV p N dV
BT ∫ T i ∫ T i ∫ T i−1
∫ ∆σ = + − σ (2.33)
Phương trình (2.29) chi tiết hóa điều kiện cân bằng trong các mẫu rời rạc. Sự chênh lệch giữa véc tơ ngoại lực và véc tơ phản lực cân bằng bởi số gia ∆σ .
Mối quan hệ giữa ứng suất - biến dạng thường là mối quan hệ phi tuyến. Biến dạng thường không tính toán trực tiếp được, tuy nhiên phương pháp lặp có thể giải quyết được bài toán dựa vào phương trình cân bằng (2.29) cho mọi chất điểm.
2.3.2.3 Phân tích an toàn [5]
Sự ổn định chống lại phá hủy có thể định nghĩa bằng giá trị trung bình của hệ số an toàn. Hệ số an toàn thường được định nghĩa là hệ số của tải trọng phá hủy và tải trọng làm việc. Đối với đất, định nghĩa này không phải lúc nào cũng tiện lợi. Do đó, chúng ta sử dụng định nghĩa trong cơ học đất:
Hệ số an toàn = Sđất đá/ Scần thiết để cân bằng (2.34) Trong đó: S - biểu diễn độ bền cắt. Tỷ số của độ bền của đất đá và độ bền tính toán nhỏ nhất cần thiết để cân bằng gọi là hệ số an toàn. Theo điều kiện Coulomb, hệ số an toàn là:
Hệ số an toàn =
r n r
n
C C
ϕ σ
ϕ σ
tan tan +
+ (2.35)
Trong đó: C và ϕ là các thông số độ bền của mô hình Mohr - Coulomb và σn
là thành phần ứng suất pháp. Các thông số Cr và ϕrlà các thông số độ bền giảm đủ để đạt được cân bằng. Trong trường hợp này lực dính kết và tan(góc ma sát) sẽ giảm theo cùng tỷ lệ.
∑
=
= Msf
C C
r
r ϕ
ϕ tan
tan (2.36)
Các thông số giảm độ bền được điều khiển bằng tổng ΣMsf. Thông số này tăng từng bước trong quá trình tính toán (bằng cách giảm Cr và ϕr) tới khi xuất hiện phá hủy. Hệ số an toàn sau đó được xác định bằng giá trị của ΣMsf tại điểm phá hủy.
2.3.2.4 Các bước tính toán một bài toán bằng phần tử hữu hạn - Lựa chọn bài toán
- Xác định miền tính toán
- Xác định mô hình và chỉ tiêu của các miền vật liệu - Gán các miền vật liệu cho lưới phần tử
- Gán điều kiện biên - Chia lưới phần tử
- Mô tả quá trình thi công - Đưa tải trọng tác dụng
- Tính toán ứng suất, biến dạng, hệ số an toàn - Xử lý kết quả