Giới thiệu về Logic mờ

Chương III: ỨNG DỤNG LOGIC MỜ NHẬN DẠNG SỰ CỐ TRONG ĐỘNG CƠ ĐIỆN MỘT CHIỀUSỰ CỐ TRONG ĐỘNG CƠ ĐIỆN MỘT CHIỀU

3.1. Giới thiệu về Logic mờ

Khái niệm về logic mờ được giáo sư Lotfi Zadeh đưa ra lần đầu tiên năm 1965, tại trường Đại học Berkeley, bang California, Mỹ.

Năm 1970 tại trường Mary Queen, London – Anh, Ebrahim Mamdani đã dùng logic mờ để điều khiển một máy hơi nước mà ông không thể điều khiển được bằng kỹ thuật cổ điển. Tại Đức Hann Zimmermann đã dùng logic mờ cho các hệ ra quyết định. Tại Nhật logic mờ được ứng dụng vào nhà máy xử lý nước của Fuji Electronic vào 1983, hệ thống xe điện ngầm của Hitachi vào 1987.

Trong lĩnh vực tự động hoá logic mờ ngày càng được ứng dụng rộng rãi. Nó thực sự hữu dụng với cỏc đối tượng phức tạp mà ta chưa biết rừ hàm truyền, logic mờ cú thể giải quyết các vấn đề mà điều khiển kinh điển không làm được.

3.1.1. Khái niệm lô-gic mờ

Khái niệm “logic mờ” dùng để chỉ việc xử lý các thông tin mà giá trị logic không thể xỏc định rừ, hoặc biến thiờn theo điều kiện bờn ngoài [5]. Chẳng hạn với cỏc mệnh đề “Nhiệt độ < 200C là lạnh” hay “Tốc độ ô tô khoảng 60 km/h là nhanh” thì rất khó xác định được giá trị logic vì không có 100% số người cho rằng các mệnh đề này là chính xác. Trong trường hợp này, thường hay gặp dạng phát biểu như sau:

Có 70% số người đồng ý “t < 200C là lạnh” hay có 60% số người đồng ý “Tốc độ ô tô khoảng 60 km/h là nhanh”.

Trong logic kinh điển, khi đưa ra một định nghĩa về tập hợp, ví dụ như:B là một tập hợp gồm các số thực lớn hơn 6

{ }

B = x R x > 6∈ (3.1)

thì đây được coi là một định nghĩa chặt chẽ. Theo cách định nghĩa như vậy với một giá trị xbất kì, có thể biết được xcó thuộc tập B hay không. Nói cách khác, với mọi số x, thì mệnh đề x B∈ chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: đúng (bằng 1), hay sai (bằng 0).

Tuy nhiên nếu đưa ra một định nghĩa: “C là một tập hợp gồm các số thực có giá trị xấp xỉ (bằng hoặc gần bằng) 3” hay

{ }

C = x R x 3∈ ≈ (3.2)

thỡ rừ ràng đõy là một định nghĩa khụng chặt chẽ (hay cũn gọi là mờ) vỡ thực tế khụng tồn tại một định nghĩa rừ cho khỏi niệm “xấp xỉ”. Với một định nghĩa “mờ” như vậy, không thể khẳng định giá trị x=2 hay x=2,9 có thuộc tập C hay không. Nếu đã không khẳng định được x=2 hay x=2,9 có thuộc C (xấp xỉ 3) hay không thì cũng không khẳng định là x=2 hay x=2,9 không thuộc C (không xấp xỉ 3).

Khác với logic kinh điển chỉ có hai giá trị là 1 nếu x C∈ hoặc bằng 0 nếu x C∉ , logic mờ sẽ đưa ra quan niệm mới cú vai trũ làm rừ định nghĩa cho tập mờ. Núi một cách khác, với logic mờ thì một giá trị x nào đó sẽ có thể thuộc về tập C khoảng bao nhiờu phần trăm? điều đú sẽ được thể hiện thụng qua giỏ trị hàm liờn thuộc à( )x tại điểm x đó sẽ bằng bao nhiêu. Chẳng hạn có thể nói như sau “giá trị x=2,9 thuộc về tập C chín sáu phần trăm” hay “giá trị x=2 thuộc về tập C bốn sáu phần trăm” và giá trị bao nhiêu phần trăm đó sẽ tuỳ thuộc vào cách xây dựng mô hình hàm liên thuộc như thế nào? Như vậy với ví dụ trên, cần có độ tin cậy của mệnh đề x=2,9∈C phải cao hơn độ tin cậy của mệnh đề x = ∈2 C.

3.1.2. Biểu thức giá trị mờ

Để tìm hiểu về biểu thức giá trị mờ, ta xem xét 3 dạng biểu thức mờ cơ bản sau:

• x nhỏ hơn nhiều so với A: x <<A

• x xấp xỉ bằng A : x A≈

• x lớn hơn nhiều so với A : x >>A

Đối với biểu thức mờ x <<A, hàm liên thuộc (hay còn gọi là hàm phụ thuộc)

A( )x

à= cú dạng như hỡnh vẽ 3.1 với 0≤à=A( ) x ≤1, được định nghĩa:

( ) 1

A 0

khi x A

y x

khi x A

à → − → −∞

= = = → − → +∞ (3.3)

Hình 3.1: Hàm liên thuộc của biểu thức mờ x <<A

Đối với biểu thức mờ x A≈ , hàm liờn thuộcà≈A( )x sẽ cú dạng hỡnh chuụng như hỡnh 3.2 với 0≤à≈A( ) x ≤1, được định nghĩa:

( ) 1

A 0

khi x A

y x

khi x A

à≈  =

= = → − → ∞ (3.4)

y

0.1 1

B A

Hình 3.2: Hàm liên thuộc hình chuông của biểu thức mờ x A≈

Đối với biểu thức mờ x>>A, hàm liờn thuộcà?A( )x sẽ cú dạng như hỡnh 3.3 với

( )

0≤à?A x ≤1, được định nghĩa:

( ) 1

A 0

khi x A

y x

khi x A

à → − → +∞

= ? = → − → −∞ (3.5)

Hình 3.3: Hàm liên thuộc của biểu thức mờ x>>A

Các hàm liên thuộc đều có thể được mô tả dưới dạng rời rạc gồm một tập các giá trị liên thuộc. Đối với các hàm liên thuộc hình chuông, thường sử dụng hàm Gauss được mô tả bằng phương trình sau:

( ) 2b

c,b,σ

μ x = 1

x - c

1+ σ

 

 ÷

 

(3.6)

Trong đó: b,σ∈ℜ và x, c là các vectơ. Ba thông số c, b và σ có thể điều chỉnh linh hoạt, nên hình dạng của hàm liên thuộc sẽ được thay đổi bởi ba thông số là: trọng tâm c, độ mở σ và hệ số mũ b.

Để làm rừ về ảnh hưởng của cỏc tham số đến hỡnh dạng của hàm liờn thuộc, xột vớ dụ về tập mờ cgồm các số thực gần bằng 3

{ }

C = x R x 3∈ ≈

Hàm liờn thuộc à≈3( ) x tại điểm x nào đú phải cú giỏ trị trong khoảng [0,1], tức là:

( )

0≤à≈3 x ≤1

trong đú à≈3( ) x →1 khi x - 3 →0 và à≈3( ) x →0 khi x - 3 → ∞.

Giả sử chọn giá trị c=3, độ mở σ =1, b=1 thì hàm liên thuộc của tập C như sau:

( ) 1 1

μằ3 x = x - 3 2 =1+ ( x - 3 )2 1+ 1

 

 ÷

 

Hỡnh 3.4: Hỡnh dạng của hàm liờn thuộc à≈3( ) x với ba độ mở khỏc nhau

Hỡnh 3.5: Hỡnh dạng hàm liờn thuộc à≈3( ) x với giỏ trị khỏc nhau hệ số b

Hỡnh 3.4 mụ tả hỡnh dạng của hàm liờn thuộc à≈3( ) x với hệ số mũ được chọn cố định b =1 và giá trị độ mở σ lần lượt thay đổi bằng 1, 2 và 3. Trên hình 3.5, nếu chọn giá trị độ mở σ cố định bằng 1 và giá trị b thay đổi lần lượt bằng 0,5 thì hàm kích hoạt sẽ có dạng gần như hình tam giác, b=1 sẽ dạng hình chuông và b=3 có dạng gần với hình thang.

Một điểm chung trong cỏc hàm à≈3( ) x là cỏc điểm cú giỏ trị càng gần trọng tõm thỡ sẽ có giá trị liên thuộc càng lớn (tiến tới 1), đối với các điểm có giá trị càng xa trọng tâm thì có giá trị liên thuộc càng nhỏ (tiến tới 0).

3.1.3. Quy tắc suy luận mờ và giá trị của quy tắc suy luận mờ

Trong lý thuyết điều khiển, các quy tắc điều khiển thường được mô tả dưới dạng mệnh đề điều kiện IF …THEN

IF đầu vào là A THEN đầu ra là B (3.7)

Đối với khỏi niệm điều khiển chớnh xỏc, sẽ phải chỉ rừ rằng nếu đại lượng đầu vào có giá trị cụ thể bao nhiêu thì đầu ra cũng bằng một giá trị cụ thể nào đó. Như vậy một quy tắc suy luận chính xác sẽ có cấu trúc như sau:

IF x A THEN y B = = (3.8) tức là khi giá trị x bằng A thì giá trị y sẽ bằng B.

Tuy nhiên một vấn đề đặt ra: Nếu khi giá trị x “xấp xỉ” bằng A thì giá trị y sẽ bằng bao nhiêu? Và với các giá trị x lân cận quanh giá trị A với độ “xấp xỉ” khác nhau thì có thể tính được giá trị của y hay không? Khái niệm “logic mờ” sẽ trả lời được câu hỏi trên thông qua quy tắc suy luận mờ

Một quy tắc suy luận mờ sẽ có cấu trúc như sau:

IF x A THEN y B≈ ≈ (3.9)

tức là nếu x xấp xỉ bằng A thì y sẽ xấp xỉ bằng B. Khi x bằng A thì sẽ có y bằng B.

Ở đõy khỏi niệm “xấp xỉ” sẽ được biểu diễn thụng qua hàm liờn thuộc à≈A( )x và thông qua giá trị của hàm liên thuộc. Với một giá trị đầu vào x bất kì, có thể đề xuất phương pháp tính được giá trị đầu ra y của quy tắc suy luận mờ như sau:

( )

. A

y B= à≈ x (3.10)

Trên thực tế, một hệ thống điều khiển hay nhận dạng không chỉ có duy nhất một quy tắc suy luận mờ mà thông thường sẽ bao gồm một tập hợp các quy tắc suy luận mờ.

Như vậy đáp ứng đầu vào của hệ thống trong cùng lúc sẽ chịu tác động của nhiều quy tắc suy luận mờ.

Ví dụ: hệ thống gồm có 4 quy tắc mờ R1, R2, R3, R4 như hình 3.6 R1: If x is small and x is small Then y = x1 2 3 1 +2x2 −4 R2: If x is small and x is big Then y = x1 2 2 1 −3x2 +5 R3: If x is big and x is big Then y1 2 = − −x1 4x2 +3 R4: If x is big and x is small Then y1 2 = −2x1 +5x2 −3

Giả sử vectơ đầu vào là: x = x ;x ( 1 2) (T = 10;0,5 )T , khi đó các giá trị liên thuộc tương ứng với các quy tắc sẽ được lần lượt tính toán bằng: 0,24; 0,8; 1,0; 0,3, tương ứng với các giá trị đầu ra là: yR1=27; yR2 =23,5; yR3 = −9; yR4 = −20,5.

Hình 3.6: Đồ thị hệ thống gồm có 4 quy tắc mờ

Trong trường hợp này độ mạnh của luật được chọn sẽ chính bằng giá trị liên thuộc của x trong từng quy tắc. Giỏ trị ài( ) x và giỏ trị đầu ra của toàn hệ thống đối với một giá trị x nào đó sẽ được tính dựa trên ảnh hưởng (độ mạnh) của các quy tắc đối với giá trị x đó và được tính như sau:

N1 μ (x).yi i y = N

μ (x)i 1

∑

∑

(3.11)

0,24.27 +0,8.23,5 + 1,0.(-9)+ 0,3.(-20,5)

y = = 4,33

0,24 + 0,8 + 0,1+ 0,3

trong nhiều trường hợp giỏ trị ∑àiđược quy chuẩn bằng 1 nờn ta cú:

1

( ) ( )

N

i i

y=∑à x y x (3.12)

Hàm liờn thuộc àF(x) như trờn với m1 = m2 và m3 = m4 chớnh là hàm phụ thuộc của một tập kinh điển.

3.1.4. Các phép toán trên tập mờ - Phép hợp:

Hợp của hai tập mờ A và B có cùng cơ sở M là một tập mờ cũng xác định trên cơ sở M với hàm liên thuộc:

àA∪B(x) = MAX{àA(x), àB(x)}

Hình 3.7: Hàm liên thuộc của hợp hai tập mờ có cùng cơ sở.

à

x àA(x) àB(x)

Cú nhiều cụng thức khỏc nhau được dựng để tớnh hàm liờn thuộc àA∪B(x) của hợp hai tập mờ như:

1. 

≠

= =

∪ 1 min{ ( ), ( )} 0

0 )}

( ), ( min{

)}

( ), ( ) max{

( x x

x x x

x x

B A

B A B

A B

A à à

à à à

à à

neáu

neáu

2. àA∪B(x) = min{1, àA(x) + à B(x)} (Phộp hợp Lukasiewicz),

3. 1 ( ) ( )

) ( ) ) (

( x x

x x x

B A

B A

B

A à à

à à à

+ +

= +

∪ (Tổng Einstein),

4. àA∪B(x) = àA(x) + àB(x) - àA(x).àB(x) (Tổng trực tiếp),..

a)

b)

c)

Hình 3.8: Phép hợp hai tập mờ không cùng cơ sở àA(x)

x

àB(y)

y

x àA(x, y)

y

M ì N

x àB(x, y)

y

M ì N

M ì N

x àA∪B(x, y)

y

Có hai tập mờ A (cơ sở M) và B (cơ sở N). Do hai cơ sở M và N độc lập với nhau nờn hàm liờn thuộc àA(x), x ∈ M của tập mờ A sẽ khụng phụ thuộc vào N và ngược lại àB(y), y ∈ N của tập mờ B cũng sẽ khụng phụ thuộc vào M. Điều này thể hiện ở chỗ trờn cơ sở mới là tập tớch M ì N hàm àA(x) phải là một mặt “cong” dọc theo trục y và àB(y) là một mặt “cong” dọc theo trục x. Tập mờ A được định nghĩa trờn hai cơ sở M và M ì N. Để phõn biệt được chỳng, ký hiệu A sẽ được dựng để chỉ tập mờ A trờn cơ sở M

ì N. Tương tự, ký hiệu B được dựng để chỉ tập mờ B trờn cơ sở M ì N, với những ký hiệu đó thì:

àA(x, y) = àA(x), với mọi y ∈ N và àB(x, y) = àB(y), với mọi x ∈ M.

Sau khi đó đưa được hai tập mờ A, B về chung một cơ sở là M ì N thành A và B thỡ hàm liờn thuộc àA∪B(x, y) của tập mờ A ∪ B được xỏc định theo cụng thức (4).

- Phép giao:

Hình 3.9: Giao hai tập mờ cùng cơ sở

Giao của hai tập mờ A và B có cùng cơ sở M là một tập mờ cũng xác định trên cơ sở M với hàm liên thuộc:

àA∩B(x) = MIN{àA(x), àB(x)}, a) Hàm liên thuộc của hai tập mờ A, B.

b) Đưa hai tập mờ về chung một cơ sở M ì N.

c) Hợp hai tập mờ trờn cơ sở M ì N.

Trong công thức trên ký hiệu min được viết hoa thành MIN chỉ để biểu hiện rằng phép tính lấy cực tiểu được thực hiện trên tập mờ. Bản chất phép tính không có gì thay đổi.

Cú nhiều cụng thức khỏc nhau được dựng để tớnh hàm liờn thuộc àA∩B(x) của giao hai tập mờ như:

1. 

≠

= =

∩ 0 max{ ( ), ( )} 1

1 )}

( ), ( max{

)}

( ), ( ) min{

( x x

x x x

x x

B A

B A B

A B

A à à

à à à

à à

neáu

neáu ,

2. àA∩B(x) = max{0, àA(x) + àB(x) - 1}(Phộp giao Lukasiewicz), 3. (x) 2 ( (x) (x()x))(x) (x) (x)

B A B

A

B A B

A à à à à

à à à

− +

= −

∩ (Tích Einstein),

4. àA∩B(x) =àA (x)àB(x) (Tớch đại số),...

Công thức trên cũng áp dụng được cho hợp hai tập mờ không cùng cơ sở bằng cách đưa cả hai tập mờ về chung một cơ sở là tích của hai cơ sở đã cho.

Chẳng hạn có hai tập mờ A định nghĩa trên cơ sở M và B định nghĩa trên cơ sở N.

Do hai cơ sở M và N độc lập với nhau nờn hàm liờn thuộc àA(x), x ∈ M của tập mờ A sẽ khụng phụ thuộc vào N và ngược lại àB(y), y ∈ N của tập mờ B cũng sẽ khụng phụ thuộc vào M. Trờn cơ sở mới là tập tớch M ì N hàm àA(x) là một mặt “cong” dọc theo trục y và àB(y) là một mặt “cong” dọc theo trục x. Tập mờ A (hoặc B) được định nghĩa trờn hai cơ sở M (hoặc N) và M ì N. Để phõn biệt, ký hiệu A (hoặc B) sẽ được dựng để chỉ tập mờ A (hoặc B) trờn cơ sở mới là M ì N. Với những ký hiệu đú thỡ

àA(x, y) = àA(x), với mọi y ∈ N và àB(x, y) = àB(y), với mọi x ∈ M.

Hình 3.10: Phép giao hai tập mờ không cùng cơ sở - Phép bù:

Bự của tập mờ A cú cơ sở M và hàm liờn thuộc àA(x) là một tập mờ AC xỏc định trờn cùng cơ sở M với hàm liên thuộc:

( ) x A( ) x

AC à

à =1− (3.13)

Hình 3.11: Tập bù AC của tập mờ A.

3.1.5. Các phương pháp giải mờ

Giải mờ là quỏ trỡnh xỏc định giỏ trị rừ ở đầu ra từ hàm thuộc àB’(y) của tập mờ B’.

Có 2 phương pháp giải mờ:

- Phương pháp cực đại: Các bước thực hiện:

x 1 àA(x)

a) x

1 àAc(x)

b)

a) Hàm liên thuộc của tập mờ A.

b) Hàm liên thuộc của tập mờ AC.

• Xỏc định miền chứa giỏ trị y’, y’ là giỏ trị mà tại đú àB’(y) đạt Max G = { y∈Y | àB’(y) = H }

• Xác định y’ theo một trong 3 cách sau:

+ Nguyên lý trung bình + Nguyên lý cận trái + Nguyên lý cận phải

Hình 3.12: Phương pháp cực đại hai tập mờ không cùng cơ sở.

 Nguyên lý trung bình: y’ = 2

2 1 y y +

 Nguyên lý cận trái : chọn y’ = y1

 Nguyên lý cận phải : chọn y’ = y2 - Phương pháp trọng tâm

Điểm y’ được xác định là hoành độ của điểm trọng tâm miền được bao bởi trục hoành và đường àB’(y). Cụng thức xỏc định:

∫

= ∫

S ' S

(y)dy ) ( à

à y dy y

y trong đó S là miền xác định của tập mờ B’

y1 y2

y

à

H

G

Giả sử có m luật điều khiển được triển khai, ký hiệu các giá trị mờ đầu ra của luật điều khiển thứ k là àB’k(y) thỡ với quy tắc Sum-Min hàm thuộc sẽ là:

( ) ( )

' 1 '

y m B k y

B k

à = ∑ à

= (3.14)

và y’ được xác định:

( )

( ) ( )

' '

' 1 1 1

( ) ( )

' '

1 1 S 1

m m m

yk B k y dy y B k y dy Mk

S k k

y Skm B k y dy km B y y dy km Ak

à à

à à

∑ ∑ ∑

∫ = = =

= = =

∑ ∑

∫ = ∑ ∫= =

 

 ÷

 

 

 ÷

 

(3.15)

trong đó Mi = ∫

S

' (y)dy

yàBk và Ai = ∫

S

'k(y)dy

àB i=1,2,…,m

Xét riêng cho trường hợp các hàm thuộc dạng hình thang như hình trên:

Mk = (3 3 3 3 )

6 2 1

2 2 2 1 2

2 m b a m b m a

H m − + − + +

Ak = 2

H (2m2 – 2m1 + a + b)

Chú ý hai công thức trên có thể áp dụng cả cho luật Max-Min

♦ Phương pháp độ cao

Từ công thức (3.14) nếu các hàm thuộc có dạng Singleton thì ta được:

y

m1 m2

a b

à

H

y’ =

∑

∑

=

= m

k k

m

k

k k

H H y

1

1 với Hk = àB’k(yk) (3.16)

Đây là công thức giải mờ theo phương pháp độ cao.

3.1.6. Mô hình mờ Tagaki-Sugeno

Mô hình mờ mà ta nói đến trong các phần trước là mô hình Mamdani. Ưu điểm của mô hình Mamdani là đơn giản, dễ thực hiện nhưng khả năng mô tả hệ thống không tốt.

Trong kỹ thuật điều khiển người ta thường sử dụng mô hình mờ Tagaki -Sugeno (TS).

Tagaki -Sugeno đưa ra mô hình mờ sử dụng cả không gian trạng thái mờ lẫn mô tả linh hoạt hệ thống. Theo Tagaki/Sugeno thì một vùng mờ LXk được mô tả bởi luật:

Rsk: If x = LXk Then x = A(xk)x+B(xk)u ) (3.17) Luật này có nghĩa là: nếu véctơ trạng thái x nằm trong vùng LXk thì hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân cục bộ x = A(xk)x+B(xk)u. Nếu toàn bộ các luật của hệ thống được xây dựng thì có thể mô tả toàn bộ trạng thái của hệ trong toàn cục.

Trong (3.16) ma trận A(xk) và B(xk) là những ma trận hằng của hệ thống ở trọng tâm của miền LXk được xác định từ các chương trình nhận dạng. Từ đó rút ra được:

∑ +

= w (A(x )x B(x )u)

x k k k (3.18)

với wk(x) ∈ [0, 1] là độ thoả mãn đã chuẩn hoá của x* đối với vùng mờ LXk Luật điều khiển tương ứng với (4.2) sẽ là:

Rck: If x = LXk Then u = K(xk)x Và luật điều khiển cho toàn bộ không gian trạng thái có dạng:

∑=

= N

k

k

kK x x

w u

1

)

( (3.19)

Từ (3.17) và (3.18) ta có phương trình động học cho hệ kín:

x x K x B x A x w x w

x =∑ k( ) l( )( ( k)+ ( k) ( l)) (3.20) Ví dụ: Một hệ TS gồm hai luật điều khiển với hai đầu vào x1,x2 và đầu ra y.

R1: If x1 = BIG and x2 = MEDIUM Then y1 = x1-3x2

R2: If x1 = SMALL and x2 = BIG Then y2 = 4+2x1

Đầu vào rừ đo được là x1* = 4 và x2* = 60. Từ hỡnh bờn dưới ta xỏc định được:

LXBIG(x1*) = 0.3 và LXBIG(x2*) = 0.35 LXSMALL(x1*) = 0.7 và LXMEDIUM(x2*) = 0.75 Từ đó xác định được:

Min(0.3; 0.75)=0.3 và Min(0.35; 0.7)=0.35 y1 = 4-3.60 = -176 và y2 = 4+2.4 = 12

Như vậy hai thành phần R1 và R2 là (0.3; -176) và (0.35; 12). Theo phương pháp tổng trọng số trung bình ta có:

74.77

35 . 0 3 . 0

12 35 . 0 ) 176 ( 3 .

0 =−

+

ì +

−

= ì y