1.3. NGUYÊN TẮC XỬ LÝ TÍN HIỆU OFDM 1. Mô tả toán học
1.3.4. Xử lý số tín hiệu OFDM 1. Biến đổi DFT
Cho dãy x[n], 0 ≤ n ≤ N-1, là dãy rời rạc theo thời gian. N điểm DFT của x[n] được định nghĩa:
DFT{x[n]} = X[i] ∑− [ ]
=
∆ 1 −
0
1 N 2 n
N j ni
e n N x
π
0 ≤ n ≤ N-1 (1.25)
DFT là biến đổi Fourier rời rạc, X[i] cho biết thành phần tần số chứa trong các mẫu tín hiệu x[n]. Chuỗi x[n] có thể được khôi phục từ DFT của nó bằng biến đổi ngược IDFT.
DFT{x[n]} = x[n] ∑− [ ]
=
∆ 1 −
0
1 N 2 i
N j ni
e i N X
π
0 ≤ n ≤ N-1 (1.26)
Chuỗi dữ liệu đầu vào x[n] được truyền qua kênh truyền bất biến theo thời gian có đáp ứng xung h[n] thì chuỗi số liệu đầu ra là tích chập rời rạc của tín hiệu đầu vào và đáp ứng xung của kênh truyền.
y[n] = h[n] * x[n] = x[n] * h[n] = ∑ [ ] [ − ]
k
k n x k
h (1.27)
Tích chập vòng N điểm của x[n] và h[n] được định nghĩa.
y[n] = x[n] ⊗ h[n] = h[n] ⊗ x[n] = ∑ [ ] [ − ]
k
k n x k
h N (1.28)
Với [n-k]N là [n-k] mod N, x[n-k]N là phiên bản tuần hoàn của x[n-k] với chu kỳ N. Dễ dàng nhận thấy rằng y[n] nhận được ở trên cũng tuần hoàn với chu kỳ N. Từ định nghĩa của DFT, phép tích chập vòng trong miền thời gian sẽ là phép trong miền tần số.
DFT {y[n] = x[n] ⊗ h[n]} = X[i]H[i] 0 ≤ n ≤ N-1 (1.29) 1.3.4.2. Tạo tín hiệu OFDM bằng DFT
Tín hiệu OFDM là tổng của N tín hiệu sóng mang trên các kênh con có biên độ khác nhau, nhưng tần số của các kênh con cách nhau một khoảng đều đặn f0 và tín hiệu OFDM thu được là tín hiệu được biểu diễn trên miền thời gian. Qua đó cho thấy có sự biến đổi tín hiệu từ miền tần số sang miền thời gian, điều này tương đương với chức năng của phép biến đổi IDFT, vậy có thể dùng biến đổi IDFT như một công cụ để thực hiện điều chế tín hiệu OFDM được không?
Xem xét kỹ hơn ta thấy các kênh con có khoảng cách đều đặn nhau, điều này giống với tập N điểm X[k] trong dãy N điểm trên miền tần số. Lập một tập gồm N điểm X[k] bằng cách thay X[k] = Xk,m với k = 1, 2,…, N và m có giá trị không đổi trong mỗi tập của X[k]. Nếu lấy mẫu tín hiệu đó với tần số lấy
mẫu. Tìm tập hợp x[n] gồm N điểm là kết quả của phép biến đổi IDFT của tập điểm X[k].
x[n] = IDFT{X[k]}= N [ ] jNkn
k
e k N X
π 1 2
0
1 ∑−
=
(1.30)
Tương ứng với mỗi tập X[k] này cho một ký hiệu OFDM (sm(t)) trong khoảng thời gian Ts.
sm(t) = ∑−
= 1 −
0
2
, ( ) 0
1 N
n
nt f j s m
n s
e mT t g T X
π với mTs ≤ t ≤ (m+1)Ts (1.31)
Lấy mẫu tín hiệu trên với tần số lấy mẫu fm = Nf0 với f0 = Ts
1 tương ứng ta
có chu kỳ lấy mẫu là tm = f TNs
m
1 =
, tín hiệu của một ký hiệu OFDM được biểu diễn bởi:
sm(ltm) = ∑−
= 1 + 0
) (
2
, ( ) 0
1 N
n
lt mT n f j m m n s
m
e s
lt g T X
π
= g(ltm)= ∑−
= =
1
0
2 1 2
, 0 0
1 N
n
nlt f j nmT f j m n s
m
se
e T X
π π
(1.32)
Thay tm = f TNs
m
1 =
vào biểu thức (1.32) chú ý Tsf0 = 1 ta được:
sm(ltm) = g(ltm) ∑−
= 1
0
2 ,
1 N 0
n
N Tnl f j m n s
e s
T X
π
= g(ltm) ∑−
= 1
0
2 ,
1 N
n
N j nl m n s
e T X
π (1.33)
Thay l =n, n = k và Xn,m = X[k].
sm(ntm) = g(ntm) [ ]
{ [ ]}
k X IDFT N k
N nk j s
e k T ∑− X
= 1
0
1 2π
(1.34)
Chúng ta thấy (1.34) gồm hai phần, phần thứ nhất là hằng số không phụ thuộc vào biến k, phần thứ hai có dạng giống biểu thức (1.31), biểu diễn IDFT của X[k]. Tín hiệu của một ký hiệu OFDM có thể thay thế bằng N mẫu sm(ktm) với k=1, 2,…, N. Việc khôi phục lại tín hiệu tương tự OFDM có thể được thực hiện bằng cách cho N mẫu đó qua bộ lọc có tần số cắt thích hợp. Như vậy là có thể thay thế phần tạo dao động và phần điều chế OFDM tương tự bằng khối thực hiện thuật toán IDFT (được thực hiện nhanh bằng IFFT) và bộ chuyển đổi A/D. Với sự thay thế trên ta có thể biểu diễn tín hiệu như sau:
sm(ntm) = g(ntm) ∑− [ ]
= 1
0
1 N 2 n
Nnk
ej
k N X
π
(1.35)
Biến đổi nối
tiếp - song song Định vị
tín hiệu
φ0(t) Xo,m
φ0(t) Xo,m
φ0(t) Xo,m
g(τ,t) S(t)
η(t) Input
Máy phát Kênh
(a)
Hình 1.14. Sơ đồ khối hệ thống OFDM với hai phương pháp xử lý:
(a) Phương pháp xử lý tín hiệu tương tự (b) Phương pháp xử lý tín hiệu số
Chèn tiền tố và biến đổi song song - nối tiếp Biến
đổi nối tiếp -
song song
Máy phát Điều
chế QAM
R bps x IFFT
D/A
Cos2πft x[0] x(t)
x[N-1]
x[2]
X[0]
X[1]
X[N-1]
(b)
Với kênh truyền dẫn vô tuyến, sẽ luôn biến đổi theo thời gian, hàm truyền đạt của kênh truyền dẫn vừa phụ thuộc vào thời gian nhận tín hiệu, và độ dài kênh truyền dẫn tại thời điểm đó. Nhưng trong mục 1.3.4.2, giả thiết rằng kênh truyền dẫn là không đổi trong khoảng thời gian của một ký hiệu OFDM, vì thế hàm truyền đạt của kênh truyền dẫn chỉ còn phụ thuộc vào độ dài kênh truyền. Nếu rời rạc hoá hàm truyền đạt của kênh truyền với tần số lấy mẫu fm
(chu kỳ lấy mẫu tm) thì các mẫu của kênh truyền không đổi trong khoảng thời gian giữa hai ký hiệu OFDM. Đáp ứng xung của kênh truyền khi rời rạc hoá là h[n] với n = 0, 1, 2,…, à với à + 1 =
tm
τ .
Tập hợp gồm N mẫu biểu diễn một ký hiệu OFDM theo thời gian là {x[0], x[1],… x[N-1]}. Giả sử chiều dài đoạn bảo vệ bằng chiều dài kênh truyền thỡ số mẫu của đoạn bảo vệ là à + 1 và được định nghĩa là tập {x[N- à],… x[N-1]} bao gồm à giỏ trị cuối của chuỗi x[n]. Mỗi chuỗi đầu ra x[n] thỡ à giỏ trị cuối cựng được copy lờn đầu để tạo bắt đầu của một chuỗi mới x~[n]
với - à ≤ n ≤ N-1, cấu trỳc của một ký hiệu OFDM cú đoạn bảo vệ trờn miền thời gian như hình 1.14.
Chuỗi tín hiệu x~[n] được truyền qua kênh truyền với đáp ứng xung được rời rạc hoá như trên, thì chuỗi số thu được tại đầu thu y[n] có chiều dài N-1 được định nghĩa là:
x[N-à] x[N-à+1]...x[N-1] x[0] x[1] ...x[N-à-1] x[N-à] x[N-à+1]...x[N-1]
Cyclic prefix Orginal length N sequence
Hỡnh 1.15. Đoạn bảo vệ chặn trước với chiều dài à
ence
y[n] = x~[n] * h[n] = ∑à− [ ] [ ]
= 1 −
0 k
k n x~
k h
= ∑à− [ ] [ ]
= 1 −
0 k
k n x k
h N = x[n] ⊗ h[n] (1.36)
Như vậy, bằng cách thêm vòng bảo vệ chặn trước cho chuỗi dữ liệu vào kênh truyền, mà tích chập tuyến tính để ước lượng chuỗi số liệu chuyển thành tích chập vòng. Như vậy, có thể thay thế phép tích chập tuyến tính với yêu cầu số điểm tính toán biến thiên tuỳ thuộc vào số lượng sóng mang sử dụng, nhiều khi bị tràn bởi số điểm tính toán được vượt quá khả năng biểu diễn của đầu ra gây mất dữ liệu. Nhưng khi có thể tính toán được qua tích chập vòng, thì hoàn toàn không bị mất dữ liệu, do số lượng điểm tính toán được bằng số đầu ra biểu diễn trong đầu ra của tích chập vòng và thời gian tính toán lâu hơn.
Y[i] = DFT {y[n] = x[n] ⊗ y[n]} = X[i] H[i] với 0 ≤ i ≤ N-1 (1.37) Từ biểu thức (1.34) rút X[i] ta được:
X[i]= [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] { [ ] }
[ ] { }
=
=
⇒ DFT hn
n y IDFT DFT
i H
i IDFT Y n
i x H
i
Y (1.38)
Chuỗi số chứa tin tức được phát có thể được khôi phục lại nếu đánh giá được kênh truyền, tức tìm được hàm truyền đạt của kênh truyền. Kênh truyền có thể được đánh giá thông qua nhiều phương pháp khác nhau như dùng tín hiệu dẫn đường Pilot, dùng phương pháp đánh giá mù…
Từ biểu thức (1.38) rút H[i] ta được:
H[i] = [ ] [ ]i
X i
Y (1.39)
Trong phương pháp dùng tín hiệu dẫn đường kênh truyền được giả sử là không thay đổi trong khoảng thời gian giữa hai lần phát Pilot. Tín hiệu Pilot chứa thông tin mà cả hai phía thu phát đều biết, từ biểu thức (1.39) ta có đánh giá được kênh truyền và coi đó là đại diện cho hàm truyền đạt của kênh truyền trong khoảng thời gian có Pilot tiếp theo.
Hình 1-16 minh hoạ khả năng chống nhiễu ISI của tín hiệu OFDM khi được thêm khoảng bảo vệ. Ngoài tác dụng chống nhiễu ISI, khoảng bảo vệ còn có tác dụng đồng bộ ký hiệu, tức là xác định thời điểm ký hiệu bắt đầu. Tư tưởng cơ bản của phương pháp này là xét hiệu hai mẫu cách nhau N bước:
d(m) = r(m) - r(m+N) (1.40)
Nếu r(m) và r(m+N) tương ứng với các mẫu tín hiệu phát cùng nằm trong khoảng của cùng một ký hiệu OFDM, thì chúng là bản sao của nhau nên công suất của d (m) thấp. Nếu r(m) và r(m+N) không tương ứng với các mẫu tín hiệu phát nằm trong khoảng của cùng một ký hiệu, d(m) là hiệu của hai biến ngẫu nhiên không tương quan. Công suất trung bình của d(m) trong trường hợp này, bằng hai lần công suất trung bình của mỗi ký hiệu OFDM. Nếu sử dụng “cửa sổ” trượt cú độ rộng bằng à (tức là điểm cuối của cửa sổ trựng vào thời điểm bắt đầu của ký hiệu OFDM), thì khi cửa số này hoàn toàn trùng với thành phần đoạn chặn trước của ký hiệu OFDM, nên có một cực tiểu về công suất trung bình của các mẫu d(m) trong cửa sổ này. Từ đó có thể ước lượng được thời điểm bắt đầu của ký hiệu OFDM, từ đó đồng bộ về thời gian được thực hiện.