Luật hợp thành mờ

CHƯƠNG 2: NHẬN DẠNG ĐỐI TƯỢNG PHI TUYẾN BẰNG HỆ MỜ

2.1 LÝ THUYẾT TẬP MỜ

2.1.4 Luật hợp thành mờ

2.1.4.1 Mệnh đề hợp thành mờ

Mộtmệnh đề hợp thành mờ (suy diễn mờ) là một mệnh đề được biểu diễn dưới dạng NẾU  A THÌ  Bhay A x B x ,với  A, B0,1hay AB (từA suy ra B )

Trong đó  và  là hai biến ngôn ngữ và A , B là các giá trị mờ với các hàm liên thuộc tương ứng là A x và B y xác định trên các tập nền X và Y .

Biểu thức  A được gọi là mệnh đề điều kiện và Blà mệnh đề kết luận

Mệnh đề hợp thành trên cho phép từ một giá trị đầu vào x hay cụ thể hơn là độ phụ0 thuộc A x0 đối với tập mờ A của giá trị đầu vào x0 xác định được hệ số thoả mãn mệnh đề kết luận ( B) của giá trị đầu ra y . Hệ số thỏa mãn mệnh đề kết luận này được gọi là giá trị của mệnh đề hợp thành khi đầu vào bằng A và giá trị của mệnh đề hợp thành trên là một giá trị mờ. Biểu diễn giá trị mờ đó là một tập mờ C thì mệnh đề hợp thành trên chính là ánh xạ:A x0 C y

Vậy giá trị của mệnh đề hợp thành mờ trên là một tập mờ định nghĩa trên tập nền Y (tập nền của tập mờ B ) và có hàm liên thuộc:AB y Y: 0,1 thoả mãn các tính chất cơ bản của mệnh đề logic kinh điển.

Ký hiệu tập mờ kết quả là B thì B A B

Do hàm liên thuộc AB y của tập mờ kết quả chỉ phụ thuộc vào A x và B y , nên có thể coi như AB y là một hàm của hai biến A và B, tức là:

   , B

A B y A

     (2.5)

Như vậy định nghĩa trên về mệnh đề hợp thành mờ có thể phát biểu nh ư sau: Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ nói trên là một tập mờ B định nghĩa trên cùng tập nền Y với tập mờ B và có hàm liên thuộc:

 A, B: 0,1 2 0,1

       (2.6)

Để có được các định nghĩa trên, ta đã sử dụng các nguyên tắc do Mamdani đề ra. Từ các nguyên tắc đó, ta có thể tính đ ược hàm liên thuộc của mệnh đề hợp thành mờ

B A B nhờ áp dụng một số công thức sau:

   , B  , B

A B y A min A

        hoặc AB y    A, B A B (2.7) Các công thức trên là hai công thức hay được sử dụng nhiều nhất trong kỹ thuật điều khiển mờ để mô tả mệnh đề hợp thành B A B. Chúng có tên gọi chung là quy tắc hợp thành. Từ đó ta đi đến việc phát biểu hai quy tắc hợp thành rất quan trọng sau:

Quy tắc hợp thành MIN

Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ AB là một tập mờ B định nghĩa trên cùng tập nền Y với tập mờ B và có hàm liên thuộc:B y minA x ,B y 

Quy tắc hợp thành PROD (quy tắc hợp thành DOT)

Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ AB là một tập mờ B định nghĩa trên cùng tập nền Y với tập mờ B và có hàm liên thuộc: B y A   x B y

Như vậy ứng với một giỏ trị rừ x tại đầu vào thỡ hàm liờn thuộc của tập mờ0 B với quy tắc hợp thành MIN sẽ là: B y minA x0 ,B y 

Gọi H A x0 làđộ thỏa mãn mệnh đề điềukiện thì B y minH,B y 

Với quy tắc hợp thành PROD thì B y HB y 2.1.4.2 Luật hợp thành mờ

Hàm liên thuộc AB y của mệnh đề hợp thành AB bây giờ sẽ được ký hiệu ngắn gọn lại thành R .

Luật hợp thành là tên chung gọi mô hình biểu diễn một hay nhiều hàm liên thuộc cho một hay nhiều mệnh đề hợp thành, nói cách khác luật hợp thành được hiểu là một tập hợp của nhiều mệnh đề hợp thành.

Một luật hợp thành chỉ có một mệnh đề hợp thành được gọi là luật hợp thành đơn.

Ngược lại nếu nó có nhiều h ơn một mệnh đề hợp thành thì được gọi là luật hợp thành kép.

Một luật hợp thành có các mệnh đề điều kiện và kết luận là những mệnh đề đơn, ví dụ như:

1:

R NẾU A1 THÌ  C1 hoặc

2:

R NẾU  A2 THÌ  C2 hoặc



N:

R NẾU  AN THÌ  CN

MAI VĂN SỸ, NGUYỄN NGỌC LINH – ĐKTĐ – KSTN– K48 23 thìđược gọi là luật hợp thành có cấu trúc SISO (một vào, một ra- single input, single output).

Một luật hợp thành có mệnh đề điều kiện là mệnh đề kép và mệnh đề kết luận là mệnh đề đơn, ví dụ như:

1:

R NẾU 1A1 VÀ 2B1 THÌ  C1 hoặc

2:

R NẾU 1A2 VÀ 2B2 THÌ  C2 hoặc



N:

R NẾU 1AN VÀ 2BN THÌ  CN

thì được gọi là luật hợp thành có cấu trúc MISO (nhiều vào, một ra - multi input, single output).

Trong các luật hợp thành có cấu trúc như trên, thì giá trị của luật hợp thành R ứng với giỏ trị rừ x0 được hiểu là tập mờ R thu được qua phộp hợp cỏc tập mờ kết luận của từng mệnh đề hợp thành thành phần:

1 2 N

RCC  C (*)

Tuỳ theo việc tính các hàm liên thuộc của các mệnh đề hợp thành thành phần và của phép hợp trên theo các quy tắc nào mà ta có các tên gọi sau cho luật hợp thành R như:

Luật hợp thành max-MIN, nếu các hàm liên thuộc C1 y ,C2 y ,,CN  y được xác định theo quy tắc MIN và phép hợp (*) được xác định theo luật max.

Luật hợp thành max-PROD, nếu các hàm liên thuộc C1 y ,C2 y ,,CN  y được xác định theo quy tắc PROD và phép hợp (*) được xác định theo luật max.

Luật hợp thành sum-MIN, nếu các hàm liên thuộc C1 y ,C2  y ,,CN  y được xác định theo quy tắc MIN và phép hợp (*) được xác định theo luật sum (phép hợp Lukasiewicz).

Luật hợp thành sum- PROD, nếu các hàm liên thuộc C1 y ,C2 y ,,CN  y được xác định theo quy tắc PROD và phép hợp (*) được xác định theo luật sum (phép hợp Lukasiewicz).

Bây giờ ta đi nghiên cứu thuật toán xây dựng luật hợp thành R theo các loại như trên.

Luật hợp thành đơn có cấu trúc SISO

Xét luật hợp thành SISO sau: R: NẾU  A THÌ  B

Trước tiên hai hàm liên thuộc A x và B y phải được rời rạc hoá với tần số rời rạc đủ nhỏ để không bị mất thông tin. Chẳng hạn với n điểm mẫu của x x1, 2,,xn của tập nền A và m điểm mầu y y1, 2,ym của tập nền B thì ta định nghĩa hai vector:

     

 1 , 2 , , 

T

n

A A x A x A x

      và TB B y1 ,B y2 ,,B ym  (2.8) trong đó ký hiệu "T" là ký hiệu chuyển vị một vector.

Khi đó luật hợp thành R được biểu diễn như một ma trận n m được xác định bởi phép nhân hai vector như sau:

T B

R A (2.9)

trong đó nếu áp dụng quy tắc max-MIN thì phép nhân phải được thay bằng phép lấy cực tiểu (min), còn nếu áp dụng quy tắc max-PROD thì thực hiện phép nhân nh ư bình thường.

Luật hợp thành đơn có cấu trúc MISO

Xét luật hợp thành MISO có d mệnh đề điều kiện sau:

:

R NẾU 1A1 VÀ 2 A2 VÀ VÀ d Ad THÌ  B

Nó gồm có d biến ngôn ngữ đầu vào  1, 2,,d và một biến ngôn ngữ đầu ra  . Việc mô hình nó cũng giống như việc mô hình hoá mệnh đề hợp thành có một điều kiện, trong đó liên kết VÀ giữa các mệnh đề điều kiện (hay các giá trị mờ) đ ược thực hiện bằng phép giao các tập mờ A A1, 2,,Ad với nhau. Kết quả của phép giao đó chính l à độ thoả mãn H . Thuật toán xây dựng luật hợp thành R đó như sau:

Rời rạc hoá miền xác định các hàm liên thuộc 1 1 , 2 2 , ,  ,

A x A x Ad xd

    B y của các mệnh đề điều kiện và mệnh đề kết luận.

Xỏc định độ thoả món H cho từng vector giỏ trị rừ đầu vào là vector tổ hợp d điểm mẫu thuộc miền xác định của các hàm liên thuộc Ai xi , với i = 1, 2, ..., d.

Lập R gồm các hàm liên thuộc giá trị mờ đầu ra cho từng vector các giá trị đầu vào theo nguyên tắc:

   ,   

B y min H B y

    nếu sử dụng quy tắc max-MIN hoặc

   

B y H B y

    nếu sử dụng quy tắc max-PROD

Không giống như luật hợp thành có cấu trúc SISO, luật hợp thành R có cấu trúc MISO như trên vớid mệnh đề điều kiện không thể biểu diễn d ưới dạng ma trận được, mà biểu diễn dưới dạng lưới trong không gian d + 1 chiều. Nguyên nhân ở chỗ các tập mờ đầu vào A A1, 2,,Ad nói chung không cùng một tập nền, nên qua phép giao các tập mờ

MAI VĂN SỸ, NGUYỄN NGỌC LINH – ĐKTĐ – KSTN– K48 25 thì tập mờ thu được sẽ phải được định nghĩa trên tập nên mới là tích Đềcác của d tập nền đã cho.

Luật hợp thành kép có cấu trúc SISO

Xét luật hợp thành SISO có p mệnh đề hợp thành sau:

1:

R NẾU  A1 THÌ  B1 hoặc

2:

R NẾU  A2 THÌ  B2 hoặc



p:

R NẾU  Ap THÌ  Bp

trong đó các giá trị mờ Ak có cùng tập nền X và các tập mờ Bkcó cùng tập nền Y , vớik = 1, 2, ..., p.

Gọi hàm liên thuộc của Ak và Bk lần lượt là Ak x và Bk y , với k = 1, 2, ..., p.

Thuật toán xây dựng luật hợp thành R R1 R2  Rp trên như sau:

 Rời rạc hoá X tạin điểm x x1, 2,xn và Y tạim điểm y y1, 2,ym

 Xác định các vector

Ak

 và

Bk

 , vớik = 1, 2, ..., p theo công thức sau:

     

 1 , 2 , , 

k k k k

T

n

A A x A x A x

     

     

 1 , 2 , , 

k k k k

T

m

B B y B y B y

      (2.10)

Tức là Fuzzy hoá các điểm rời rạc của hai tập nền X và Y .

 Xác định luật hợp thành cho các mệnh đề hợp thành thành phần:

 

k k

T k

ij A B

Rk    r vớii = 1, 2, ..., n và j = 1, 2, ..., m

trong đó phép nhân s ẽ được thay bằng phép lấy cực tiểu nếu ta sử dụng quy tắc max- MIN.

 Xác định luật hợp thành của mô hình:

 1 2     

1 2 p max R R, , ,Rp max rijk

R R R   R    (2.11)

Khi xây dựng luật hợp thành mờ ta cần chú ý: từng mệnh đề n ên được mô hình hoá thống nhất theo một quy tắc chung, chẳng hạn theo quy tắc max-MIN hay max-PROD ....Khi đó các luật hợp thành (luật điều khiển) Rk sẽ có tên chung là luật hợp thành max- MIN hay luật hợp thành max-PROD. Tên chung này cung là tên gọi của luật hợp thành

R của mô hình.

Luật hợp thành sum-MIN và sum-PROD

Phần trên đã mô tả phương pháp xây dựng luật hợp thành chung R cho một tập gồm nhiều mệnh đề hợp thành thành phần Rk bằng phép HOẶC (phép hợp):

1 2 p

RR R   R

Công thức trên khi sử dụng phép lấy max thì luật hợp thành R có tên gọi là luậthợp thành max-MIN hay max-PROD.

Việc sử dụng phép lấy max nói trên sẽ không có tính chất thống kê. Chẳng hạn như khi đa số các mệnh đề hợp thành R có cùng một giá trị đầu ra nhưng vì không phải làk giá trị lớn nhất nên sẽ bị mất trong kết quả chung.

Một trong các cách khắc phục nh ược điểm trên là thay bằng việc sử dụng phép lấy max, ta sẽ sử dụng phép sum (phép hợp Lukasiewicz) để tính phép hợp trên:

1 1

1,

p p

k k

k k

R min R R

 

 

 

 

 

 

   (2.12)

Do trong công thức trên lấy tổng tất cả các R của các mệnh đề hợp thành nên luậtk hợp thành theo liên kết Lukasiewicz nói trên sẽ có tên gọi là luật hợp thành sum-MIN hay sum-PROD thay vì max-MIN hay max-PROD.

Thuật toán triển khai luật hợp thành R theo quy tắc sum-MIN hay sum-PROD cũng bao gồm các bước như khi triển khai R theo quy tắc max-MIN hay max-PROD mà ta đã đề cập ở trên.