ở một hệ thống điều chế BPSK (Binary phase shift keying) nhất quán cặp các tín hiệu s1(t), s2(t) đợc sử dụng để trình bầy các ký hiệu nhị phân 0 và 1 đ- ợc định nghĩa nh sau:
si(t) =
b b
T E
2 cos[2πfct+θ(t)+θ], θ(t)= (i-1)π, 0≤t≤Tb , i=1,2 (3.30) hay:
s1(t)=
b b
T E
2 cos(2πfct+θ) (4.1)
s2(t)=
b b
T E
2 cos(2πfct+θ+π)=-
b b
T E
2 cos(2πfct+θ). (3.31)
trong đó :
Tb là độ rộng của một bit , Eb là năng lợng của một bit, θ(t) là góc pha thay đổi theo tín hiệu điều chế, θ là góc pha ban đầu có giá trị không đổi từ 0 đến 2π và không ảnh hởng lên quá trình phân tích nên ta đặt bằng không, i=1 t-
ơng ứng với phát đi ký hiệu 0 và i=2 tơng ứng với phát đi ký hiệu 1.
Một cặp sóng mang hàm sin đối pha 1800 nh trình bầy ở trên đợc gọi là các tín hiệu đối cực.
Từ các phơng trình (3.29) và (3.30) ta thấy rằng chỉ có một hàm đơn vị năng lợng cơ sở là:
φ1(t) = 2
Tb cos(2πfct) 0≤t<Tb (3.32) Khi này ta có thể khai triển các tín hiệu s1(t), s2(t) theo Φ1(t) nh sau:
s1(t) = Eb φ1(t) 0≤t<Tb (3.33) s2(t) = - Eb φ1(t) 0≤t<Tb (3.34)
Vậy hệ thống PSK nhị phân đợc đặc trng bởi một không gian tín hiệu một chiều (N=1) với hai điểm bản tin (M=2) nh đợc vẽ ở hình 3.6. Tọa độ của các
điểm bản tin bằng:
S11= 1 1 0
( ) ( )
Tb
s t φ t dt
∫ = Eb (3.35) và:
s21 = 2 1 0
( ) ( )
Tb
s t φ t dt
∫ = - Eb (3.36)
Điểm bản tin "0" tơng ứng s1(t) đợc đặt ở s11=+ Eb và điểm bản tin "1" t-
ơng ứng với s2(t) đợc đặt ở s21=- Eb .
Hình 3.6. Biểu đồ không gian tín hiệu cho hệ thống điều chế PSK cơ số hai
Để quyết định tín hiệu thu đợc là 0 hay 1 ta chia không gian tín hiệu thành hai vùng:
1. Tập hợp các điểm gần điểm bản tin + Eb nhất (tơng ứng với "0"): Z1. 2. Tập các điểm gần điểm bản tin - Eb nhất (tơng ứng với "1" :Z2 .
Ta thực hiện điều nói trên bằng cách dựng một điểm nằm giữa đờng nối hai điểm bản tin nói trên, sau đó đánh dấu vùng quyết định. Trên hình 4.2 các vùng quyết định đợc đánh dấu bằng Z1 và Z2.
Bây giờ quy tắc quyết định là dự đoán tín hiệu là s1(t) hay "0" đợc phát nếu tín hiệu thu rơi vào vùng Z1 và là s2(t) hay "1" nếu tín hiệu thu rơi vào vùng Z2. Tuy nhiên có thể xẩy ra hai quyết định sai. Tín hiệu s2(t) đợc phát, tuy nhiên do tác dụng của tạp âm tín hiệu thu rơi vào vùng Z1 và vì thế máy thu quyết định thiên về s1(t). Ngợc lại tín hiệu s1(t) đợc phát, nhng do tác dụng của tạp âm tín hiệu thu rơi vào vùng Z2 và vì thế máy thu quyết định thiên về s2(t).
Để tính toán xác suất gây ra một lỗi của loại 1 ta nhận thấy rằng ở hình 1.4 vùng quyết định liên quan tới s1(t) hay "0" đợc trình bầy nh sau:
Z1 : 0<y1<∞
trong đó y1 là đại lợng vô hớng quan trắc nh sau:
y1 = 1
0
( ) ( )
Tb
y t φ t dt
∫ (3.37)
trong đó y(t) là tín hiệu thu. Ta có thể rút ra hàm xác suất phân bố xác suất khi ký hiệu 1 hay tín hiệu s2(t) đợc truyền nh sau:
fY1(y1|1) = ( 1 21)2
0 0
y s 1 exp
N N
é - ù
ê- ú
ê ú
p ờở ỳỷ
exp[-
0
1
N (y1-s21)2]
( )
− +
= π 1 2
0 0
1 1
Eb
N y
N exp (3.38) trong đó:
fY1(y1|1) là hàm mật độ xác suất có điều kiện khi phát 1 qua một kênh tạp âm trắng cộng Gaussơ lý tởng (AWGN) thu đợc x1 , s21 tơng ứng với tín hiệu phát (điều chế) của bit 1.
Xác suất có điều kiện mà máy thu quyết định thiên về ký hiệu 0 khi ký hiệu 1 đợc phát sẽ là:
Pe(0|1) = ∞∫
0
1 1|1)
1(y dy
fY
= 1 πN0 ∞∫
0
exp[-
0
1
N (y1+ Eb )2] dy1 (3.39)
Đặt :
z= 1 0
2 (y Eb)
N + (3.40)
và thay đổi biến tích phân x1 thành z ta có thể viết lại phơng trình (3.39) ở dạng sau:
Pe(0|1) =
2 / 2
0
2
1
2 b
z E N
e dz π
∞ −
∫
= Q
0
2 N
Eb
(3.41) trong đó : Q(.) là hàm Q thờng đợc cho ở dạng bảng.
Tơng tự ta có thể chỉ ra rằng Pe(1|0), xác suất có điều kiện mà máy thu quyết định thiên về 1 khi ký hiệu 0 đợc phát cũng sẽ có cùng giá trị nh ở ptr (1.38) . Vậy sau khi lấy trung bình cộng các xác suất Pe(0|1) và Pe(1|0) ta đợc xác suất lỗi ký hiêu trung bình đối với điều chế nhị phân là :
Pe=Q
0
2 N
Eb
(3.42)
Cần lu ý rằng ở các trờng hợp mà không gian tín hiệu đợc phân chia đối xứng nh ở hình 1.4 thì các xác suất lỗi ký hiệu có điều kiện và xác suất lỗi ký hiệu trung bình sẽ có cùng giá trị.
Để tạo ra sóng điều chế BPSK chuỗi bit b(t) đầu vào đơn cực đợc chuyển
đổi vào dạng lỡng cực với 1 tơng ứng -√E và 0 tơng ứng +√E bằng cách đa chuỗi này qua bộ biến đổi mức (hình 3.7 a). Dạng tín hiệu nhị phân này cùng với
sóng mang hàm sin đa đến từ bộ dao động nội phát (TLO: Transmitter local oscillator) (φ1(t) tần số fc ) đợc đa đến bộ điều chế nhân . ở đầu ra của bộ điều chế ta nhận đợc sóng BPSK mong muốn.
Để lấy ra chuỗi bit ban đầu bao gồm các số '1' và '0' (chuỗi này đợc gọi là chuỗi ớc tính và đựơc ký hiệu là b tˆ( )), ta đa sóng BPSK bị tạp âm y(t) (ở đầu ra của kênh) đến một bộ tơng quan, đồng thời đến bộ này cũng đợc đa tín hiệu