Một số kỹ năng giải một bài toán hình học

1.6.1. Kỹ năng vẽ hình

Đây là kỹ năng cần thiết, quan trọng và phải rèn cho học sinh một cách cẩn thận. Học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước, vẽ cẩn thận, đẹp.

1.6.2. Kỹ năng tìm hướng giải

Sau khi vẽ xong hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã thể hiện đầy đủ giả thiết trên hình vẽ chưa (hướng dẫn học sinh chú ý kí hiệu theo quy ước). Trên cơ sở phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có để học sinh định hướng được việc giải bài toán (giáo viên dẫn dắt học sinh bằng hệ thống câu hỏi)

Trong các phương pháp thực hiện trong chương trình THPT, giải bài toán hình học bằng phương phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo

tập từ dễ đến khó thì sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và kết quả sẽ cao hơn.

1.6.3. Kỹ năng trình bày lời giải

Trong Toán học việc rèn cho học sinh kỹ năng trình bày lời giải một cách logic, khoa học và chặt chẽ là rất cần thiết. Quan trọng hơn qua việc rèn luyện đó học sinh dần có thói quen nghiêm túc, cẩn thận và tác phong làm việc khoa học. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh còn mắc sai lầm trong cách trình bày rất nhiều. Chẳng hạn như phân tích sai, hiểu sai khái niệm định lý hoặc trình bày lủng củng thiếu lôgic. Cũng có nhiều học sinh trình bày xong không kiểm tra lại xem đã đúng chưa, lập luận chặt chẽ chưa, có sai chỗ nào không, sửa chúng như thế nào. Muốn vậy người giáo viên có thể đưa ra các biện pháp như: trình bày bài mẫu, đưa ra lời giải nhưng sắp xếp chưa hợp lý, đưa ra gợi ý giải hoặc đưa ra lời giải có chứa sai lầm yêu cầu học sinh sửa lại cho đúng.

1.6.4. Kỹ năng nghiên cứu lời giải bài toán (phát hiện lỗi sai, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa). khái quát hóa, tương tự hóa).

Ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để mở rộng, khai thác thêm bài toán là cần thiết, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Mặt khác, từ kinh nghiệm giải quyết một bài toán, ta thường phải hình thành những mối liên hệ từ những điều chưa biết đến những điều đã biết, những bài toán đã có cách giải. Nên việc thường xuyên khai thác, phân tích một bài toán là một cách nâng cao khả năng suy luận, tư duy sâu cho học sinh.

1.7. Dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán thể tích khối da diện

1.7.1. Phân tích CT – SGK

Chương trình SGK hình học 12 gồm:

 Khái niệm về khối đa diện. Đa diện lồi và đa diện đều. Khái niệm về thể tích của khối đa diện.

 Khái niệm, sự tạo thành mặt tròn xoay. Mặt cầu : khái niệm, giao mặt cầu và mặt phẳng, giao mặt cầu và đường thẳng, công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

 Hệ tọa độ trong không gian : tọa độ của một điểm, một véc tơ, tích vô hướng của 2 véc tơ, phương trình mặt cầu.

 Phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt phẳng. Vị trí tương đối của mặt phẳng và đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

1.7.2.Các dạng toán thể tích khối đa diện

Dạng 1: Thể tích khối chóp Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ

Dạng 3 : Ứng dụng thể tích khối đa diện để tính khoảng cách Dạng 4 : Ứng dụng thể tích khối đa diện để tính diện tích

Dạng 5 : Ứng dụng thể tích khối đa diện để chứng minh đẳng thức

1.7.3. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán thể tích khối đa diện ở

THPT Trần Hưng Đạo và trường THPT Phụ Dực - Thái Bình. Đối với giáo viên

+ Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chuyên đề và ôn luyện đan xen vào các tiết tự chọn trên lớp.

+ Số tiết hình theo phân phối chương trình ít, nội dung kiến thức nhiều. Thời gian học sinh được luyện tập ít.

+ Học sinh lười suy nghĩ, khả năng suy luận hình học còn hạn chế. + Nội dung bài tập trong sách giáo khoa chưa cô đọng, thiếu nhiều bài tập tổng hợp

+ Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lý thuyết và xây dựng hệ thống bài tập.

+ Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví dụ ứng dụng.

+ Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học sinh.

+ Đối với giáo viên không chủ chốt trong tổ chuyên môn ít có cơ hội dạy đội tuyển và dạy luyện thi Đại học thì việc phân loại bài tập, trình bày lời giải còn hạn chế và đôi lúc còn mắc sai lầm.

Đối với học sinh

Khó khăn trong vẽ hình bài toán: Một trong những yếu tố quyết định đến việc giải một bài toán hình học là vẽ hình chính xác. Qua thực tế dạy học, học sinh vẽ hình thiếu chính xác, không biết kí hiệu hình một cách hợp lí trên hình để hỗ trợ trong việc chứng minh, đôi khi vẽ hình học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt dẫn đến ngộ nhận làm cho hướng chứng minh sai lầm.

Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài toán hình học còn khó khăn. Khi đã vẽ xong hình thì việc tìm ra hướng giải là khó khăn nhất. Thực tế cho thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân là do các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc huy động những kiến thức đã học để chứng minh còn hạn chế. Khả năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn chưa tốt. Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì học sinh vẫn còn khó khăn khi giải.

Việc trình bày lời giải của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ chặt chẽ. Tất cả những sai lầm trên đều xuất phát từ nguyên nhân học sinh chưa hiểu rõ các khái niệm, các định lý, các ví dụ mẫu . Sau đây là ví dụ minh họa.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông góc tại A và B, AB = BC = a, AD = SA = 2a, SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng (P) qua CD và trung điểm M của SA. Tính tỷ số thể tích 2 phần của hình chóp được chia bởi mp (P).

Lời giải :

Trong mp(ABCD) kéo dài AB cắt CD tại B’. Nối MB’ cắt SB tại N. Tứ giác MNCD là thiết diện cần dựng.

Áp dụng bài toán tỷ số thể tích với hình chóp S.ABCD ta có:

. . . . . S MNCD S ABCD V SM SN SC SD V  SA SB SC SD.

Vì AD = 2. BC và AD song song nên B’ là trung điểm của AB’.

Vì M, B là trung điểm của SA, AB’ nên N là trọng tâm của tam giác SAB’. Do đó: 2 3 SN  SB. Suy ra: . . . 1 2 1 1 1 2 . . . 2 3 1 1 3 3 S MNCD ABCDMN S ABCD S ABCD V V V    V  .

Vậy mp (P ) chia khối chóp thành 2 phần có tỷ số thể tích là 1 2.

Với lời giải trên thoạt nhìn thấy hợp lý, nhưng đây là lời giải sai vì đã vận dụng tùy tiện phương pháp tỷ số thể tích. Thực ra phương pháp này chỉ áp dụng cho tứ diện ( chóp tam giác), muốn áp dụng phương pháp này cho bài toán trên ta phải chia thành các hình chóp tam giác. Cụ thể là:

. 1 . . 2 S MCD SACD V SM SC SD V  SA SC SD  .

. . 1 2 1 1 . . . . 2 3 1 3 S MNC S ABC V SM SN SC V  SA SB SC   . . . . . 2 1 ; 3 3

S ACD S ABCD S ABC S ABCD

V  V V  V . Suy ra : . . . . 1 1 3 3 S MCD S MCD S ABCD S ABCD V V V V    . . . . . 1 1 9 9 S MNC S MNC S ABCD S ABCD V V V V    . Ta có: . . . 4 . 9 S MNCD S MCD S MNC S ABCD V V V  V . suy ra . 4 5 S MNCD ABCDMN V V  .

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a , ABC, mặt phẳng (A’BC) tạo với (ABC) góc . Tính thể tích lăng trụ.

Góc giữa mp (A’BC) và mp (ABC) là góc A’BA A BA'  Trong ABC ta có: AC a. tan.

Suy ra 2 1 1 .tan . . .tan 2 2 2 ABC a S AB AC a a      .

Trong A AB' có: AA' = a.tan.

3 ' ' ' ABC

1

AA'.S .tan .tan 2

ABCA B C

V a  

Lời giải trên sai vì góc giữa mp (A’BC) và mp (ABC) là không phải góc A’BA. Học sinh đã hiểu sai góc giữa hai mặt phẳng. Lời giải đúng là:

Kẻ AI BC tại I Vì AA' (ABC) ' AI BC A I BC        (định lý 3 đường vuông góc).

Suy ra : Góc giữa mp (A’BC) và mp (ABC) là góc A’IA  A IA' . Trong ABC ta có: ACa.tan.

Suy ra 2 1 1 .tan . . .tan 2 2 2 ABC a S AB AC a a      .

Trong A AI' vuông tại A. Ta có: AA' = AI.tan a.sin .tan .

3 ' ' ' ABC

1

AA'.S .sin .tan .tan 2

ABCA B C

V a   

Kết luận chương 1

Trong các nội dung dạy học thì rèn luyện kỹ năng có vai trò hết sức quan trọng trong việc giải quyết một số bài tập, nhất là bài tập hình học.

Chương này trình bày các khái niệm về kỹ năng, kỹ năng giải toán, rèn luyện kỹ năng trong dạy học toán nhằm góp phần phát triển và bồi dưỡng kỹ năng giải toán cho người học. Nêu các bước giải toán, dạy học chứng minh và chứng minh toán học.

Nhiệm vụ của mỗi giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông là phải luôn có ý thức suy nghĩ, tìm tòi các biện pháp thích hợp để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải các bài tập toán, cụ thể là các bài toán hình học. Từ đó tạo niềm say mê, hứng thú trong học tập cho học sinh

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

2. 1. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán thể tích khối đa diện

2.1.1. Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ đúng hình theo yêu cầu đề bài

Một trong những yếu tố quyết định đến giải toán thể tích khối đa diện là vẽ hình chính xác. Có vẽ hình đúng chính xác học sinh mới đưa ra hướng giải đúng. Muốn vậy giáo viên cần rèn cho học sinh thói quen đọc hiểu đề bài và vẽ đúng hình. Học sinh cần nắm chắc giải thiết cho gì, yêu cầu làm gì, khi vẽ cần xem xét vẽ gì trước,vẽ như thế nào, những gì giả thiết cho cần thể hiện qui ước lên hình vẽ.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD=2a, SC tạo với mặt đáy góc 600; SA vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn vẽ hình

? Ta nên vẽ gì trước?(Vẽ đáy ABCD là hình thang,AD đáy lớn quay lên)

? Tiếp theo vẽ gì?(Vẽ đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A.Trên đường thẳng đó lấy điểm S.Nối S với A,B,C,D ta đươc hình chóp SABCD)

Kí hiệu: AD=2a; AB=BC=a

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là O tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC, AA’ tạo với đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. Hướng dẫn vẽ hình:

? Ta nên vẽ gì trước?( Vẽ đáy là tam giác ABC)

? Xác định loại hình lăng trụ bởi học sinh thường vẽ lăng trụ đứng.

? Tiếp theo vẽ gì?(vẽ hình bình hành ABB’A’; BCC’B’; ACC’A’)

? Nêu cách xác định tâm O (lấy I là trung điểm của BC; lấy O thuộc AI sao cho O là trọng tâm của tam giác ABC.

Kí hiệu cạnh a và góc 600.

Học sinh phải phân tích giả thiết mới xác định được góc.

Trong chương trình hình học nhiều bài toán có thể vẽ hình chính xác ngay khi đọc đề bài. Song có những bài học sinh phải đọc hết toàn bộ bài thậm chí dựa vào cả kết luận mới vẽ chính xác, khi vẽ lần đầu chỉ là phác họa, từ hình phác họa đó tiến hành phân tích các số liệu đã cho rồi từ đó vẽ hình lần sau trọn vẹn.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Cạnh bên SA=SC, SB=SD,BAD 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn vẽ hình: - Vẽ phác họa hình chóp S.ABCD - Kí hiệu SA=SC,SB=SD, 0 60 BAD . - Ta thấy SOBD, SOAC SO(ABCD) ta vẽ lại hình.

Đây là một trong kỹ năng quan trọng nhất để giải bài tập thể tích đa diện. Để làm tốt kỹ năng này học sinh cần nắm vững các khái niệm,định nghĩa, định lý hình học và chuyển được từ ngôn ngữ sang kí hiệu toán học. Biểu diễn các yếu tố đó bằng kí hiệu trên hình vẽ.

Cụ thể : + Khái niệm hình chóp, lăng trụ, tứ diện, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa mp và mp…

+ Định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng, khoảng cách…

Người giáo viên cần khai thác tốt hướng dẫn tỉ mỉ, chính xác kỹ năng này trong các giờ bài tập. Cần tạo cho học sinh thói quen muốn vẽ hình chính xác thì phải nắm chắc giả thiết và kết luận, vẽ cần vẽ gì trước và kí hiệu giả thiết lên hình vẽ.

2.1.2. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đã biết để phân tích bài toán

Sau khi vẽ hình chính xác cần quan sát xem hình vẽ đã thể hiện hết giả thiết hay chưa.Trên cơ sở đó phân tích giả thiết và huy động vốn kiến thức đã có học sinh định hướng được giải toán dưới sự dẫn dắt của giáo viên. Trong các phương pháp giải toán hình học thì phương pháp suy lùi là phương pháp giúp học sinh dễ hiểu, chặt chẽ nhất. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì tôi tin rằng sẽ làm cho

pháp phân tích đi lên? Có thể nói rằng, đây là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài toán. Thường thì chứng minh trong một bài toán ta phải suy xuôi theo sơ đồ:A = A0

 A1  A2  ... An = B. Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên có thể được khái quát như sau: Cần chứng minh vấn đề A= A0  A1 A2  ...  An.Trong mỗi bước suy luận (1), (2), (3), ...(n) đều được suy luận ra từ cơ sở luận chứng trước nó, cụ thể có được A đúng thì phải có A1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2đúng... đến An là một điều đã biết, đã được chứng minh là đúng hoặc đã có từ giả thiết. Học sinh vận dụng linh hoạt, không dập khuôn, máy móc những kiến thức đã có, từ đó lập sơ đồ. Muốn lập sơ đồ học sinh cần thiết lập được mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận. Việc lập sơ đồ đúng là đã thành công một nửa, nửa còn lại bằng phương pháp tổng hợp trình bày theo một trình tự logic sẽ đạt hiệu quả cao. Dưới đây là ví dụ giáo viên hướng dẫn phân tích bài toán theo hướng đi lên.

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, AC= a, SA vuông góc với mặt đáy. SB tạo với mặt đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

- Vẽ hình

- Phân tích bài toán:

+ABC vuông cân tại B AB=BC;

Bˆ= 900

+ SB tạo với đáy góc 300. Không xác định ngay trên hình mà huy động kiến