Vớ dụ 6: Hai người cựng chơi một trũ chơi. Ban đầu trờn bảng cú cỏc số là 1,2,3,4. Mỗi
lần thực hiện người thứ nhất cộng vào 2 số cạnh nhau một đơn vị, người thứ hai cú thể đổi chỗ 2 số cạnh nhau. Hai người thay phiờn nhau thực hiện, khi nào cỏc số bằng nhau thỡ người thứ nhất thắng. Hỏi người thứ hai cú cỏch nào ngăn người thứ nhất thắng hay khụng?
Giải:
Cõu trả lời là ngƣời thứ hai cú thể ngăn cản ngƣời thứ nhất chiến thắng.Ta thấy sau thao tỏc đầu tiờn ngƣời thứ nhất thực hiện thỡ khoảng cỏch giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất
thấp nhất là 2. Và số nhỏ nhất chắc chắn phải là số 1 (cú thể sau lần đầu nõng lờn 2), số lớn nhất là 4(cú thể nõng lờn 5) ngƣời thứ hai chỉ cần để số 1 ngoài cựng và sắp số 4 cạnh số 1, cỏc lần sau chỉ dịch chuyển 2 số ở vị trớ cũn lại trỏo đổi cho nhau thỡ vỡ khoảng cỏch 2 số đầu chờnh nhau ớt nhất 2 đơn vị và chỳng cựng tăng hoặc chỉ số lớn tăng nờn khụng thể bằng nhau.
Vớ dụ 7: Trờn bảng cú số 2. Hai người chơi trũ chơi, nếu trờn bảng cú số n thỡ người
tiếp theo xúa đi số này và viết vào số n+d với d là ước của n và bộ hơn n. Ai là người viết lờn bảng số lớn hơn 2011 trước thỡ người đú thua. Hỏi ai là người cú chiến thuật thắng?
Giải:
Đầu tiờn trờn bảng cú số 2 thỡ ngƣời thứ nhất chỉ việc cộng thờm vào số 1 để đƣợc 1 số lẻ. Do đú sau khi ngƣời thứ hai thực hiện thỡ trờn bảng cũn lại một số chẵn. Cứ nhƣ thế thỡ sau khi ngƣời thứ hai thực hiện thỡ số trờn bảng khụng thể đạt đến 2011 và ngƣời thứ nhất chỉ viết vào số n+1 nờn số đú khụng thể quỏ 2011 và nhƣ vậy ngƣời thứ nhất luụn chiến thắng.
Vớ dụ 8: Hai người cựng chơi trũ chơi tụ màu lờn một bảng hỡnh chữ nhật mìn. Đỏnh
số cỏc cột là từ 1 đến m và cỏc hàng là từ 1 đến n. Hai người cựng lần lượt thay phiờn tụ màu cỏc ụ sao cho đến lượt tụ của một người thỡ họ khụng được tụ ụ cựng hàng,cựng cột hoặc cựng đường chộo với ụ người kia đó tụ liền trước đú . Hai người chỉ dựng đỳng 2 màu là trắng và đen. Giả sử rằng họ luụn cú thể tụ kớn bảng.Nếu sau khi tụ, tồn tại một hỡnh vuống 2ì2 thuộc hỡnh chữ nhật cú số ụ trắng là lẻ thỡ người thứ nhất thắng. Hỏi người thứ hai cú ngăn người thứ nhất thắng được khụng?
Giải:
Trong vớ dụ này thỡ ngƣời thứ nhất luụn thắng. Chỳ ý là nếu ngƣời thứ nhất lần đầu tụ (1;1) thỡ ngƣời thứ nhất sẽ đƣợc tụ cả 4 ụ ở đỉnh hỉnh chữ nhật. Và một điều thật thỳ vị là chỉ dựa vào 4 ụ đỉnh thỡ ngƣời thứ nhất cú thể thắng mà khụng cần quan tõm đến cỏch tụ cỏc ụ khỏc. Thật vậy nếu nhƣ ngƣời thứ nhất tụ 4 ụ ở đỉnh trong đú cú 3 ụ màu trắng một ụ màu đen thỡ luụn tồn tại một hỡnh vuụng thỏa món đề bài.
í tƣởng rừ ràng là ta sẽ phản chứng giả sử tất cả cỏc ụ 2x2 đều cú số chẵn ụ màu trắng. Đỏnh số cỏc cột là 1 đến m và cỏc hàng là 1 đến n.
Xột 2 ụ (1;i) (tức hàng 1 cột i) và ụ (1;i+1) thỡ tổng số ụ trắng của 2 ụ này với 2 ụ (2;i) và (2;i+1) là số chẵn, ụ (2;i)+(2;i+1)+(3;i)+(3;i+1) cũng là số chẵn nờn suy ra
(1;i)+(1;i+1)+(3;i)+(3;i+1) là số chẵn và cứ nhƣ thế thỡ ta suy ra (1;i)+(1;i+1)+(n;i)+(n;i+1) là số chẵn.
Xột 2 đỉnh màu trắng cựng nằm trờn 1 cột thỡ 2 ụ này vs 2 ụ bờn cạnh của mỗi ụ này cú tổng ụ trắng là số chẵn suy ra 2 ụ cạnh mỗi ụ này cựng màu, tiếp tục nhƣ thế 2 ụ cạnh 2 ụ đú lại cựng màu,... dẫn đến 2 ụ cuối cựng của 2 hàng cựng màu, điều này vụ lớ vỡ 2 ụ đú là 1 trắng 1 đen.
Bài toỏn trờn rất thỳ vị ở chỗ nú khụng cần một quỏ trỡnh nhất định mang tớnh bất biến nhƣ những bài toỏn trờn mà chỉ cần quan tõm đến một vài vị trớ đặc biệt quyết định. Trờn thực tế nếu suy nghĩ tỡm một lời giải cho cỏch tụ ngay từ giả thiết là một điều rất khú!!