Bài 1: Cho đa giỏc n cạnh trờn mặt phẳng tọa độ với cỏc đỉnh nguyờn và độ dài cỏc cạnh
nguyờn. Chứng minh chu vi đa giỏc là một số chẵn.
Bài 2: (Olympic 30/4 2010 lớp 10) Trong một mụn thi đấu thể thao cú x tấm HCV đƣợc phỏt
trong n ngày. Ngày thứ nhất ngƣời ta phỏt 1 HCV và 1
10 số HC cũn lại. Ngày thứ hai, ngƣời
ta phỏt 2 tấm HC và 1
10số HC cũn lại. Tƣơng tự, ngày thứ k ngƣời ta phỏt k tấm HC với
3 k n. Vào ngày cuối cựng, cũn đỳng n$n$ tấm HC để phỏt. Hỏi mụn thể thao đú cú bao
nhiờu tấm HC và đƣợc phỏt trong bao nhiờu ngày?
Bài 3: Cho hỡnh (T) nhƣ sau:
Hỏi cú thể phủ kớn một hỡnh vuụng 10x10 bởi cỏc hỡnh này khụng?
Bài 4: Trờn mặt phẳng cú n điểm (n>3) mà khụng cú bất cứ 3 điểm nào thẳng hàng và khụng
cú 4 điểm nào cựng nằm trờn một đƣờng trũn. Chứng minh tồn tại một đƣờng trũn đi qua 3 điểm trong n điểm đú mà chứa bất kỡ điểm nào trong cỏc điểm cũn lại?
Bài 5: Trờn mỗi ụ của bảng kẻ ụ vuụng 8x8 cú ghi một số , số này là tớch của chỉ số hàng và
chỉ số cột của ụ ấy. Lấy ra 8 ụ bất kỡ và trong 8 ụ ấy khụng cú 2 ụ nào cựng nằm trong cựng một hàng hoặc nằm trong cựng một cột . Chứng minh rằng tớch của cỏc số nằm trong cỏc ụ này là khụng đổi
Bài 6:Cho một bộ số lƣợng 2k cỏc số +1 và -1. Từ đú ta nhận đƣợc bộ số mới bằng cỏch :
Mỗi số nhõn với số tiếp theo , số cuối cựng nhõn với số đầu tiờn. Với bộ số mới lặp lại thao tỏc trờn liờn tục. Chứng minh rằng cuối cựng ta cú nhận đƣợc chỉ cú số +1 đƣợc khụng?
Bài 7: Cho một số điểm màu đỏ và màu xanh . Một số trong chỳng nối với nhau thành một
đọa thẳng. Ta núi rằng một điểm gọi là đặc biệt nếu hơn một nửa cỏc điểm cũn lại nối với nú và cú màu khỏc với màu của nú .Nếu tồn tại điểm đặc biệt ta chọn điểm đặc biệt này và tụ lờn nú một màu khỏc . Chứng minh sau một hữu hạn bƣớc khụng cũn một điểm đặc biệt nào
Bài 8: Trờn mặt phẳng cho N điểm , từ chỳng cú thể nối với nhau thành những đoạn thẳng.
Biết từ 1 điểm bất kỡ khụng xuất phỏt quỏ 11 đoạn thẳng. Chứng minh những điểm này cú thể tụ bằng 4 màu sao cho những đoạn thẳng cú 2 đầu mỳt cựng màu khụng vƣợt quỏ N
Bài 9: Cho n ( n ≥ 2) học sinh đứng thành một hàng dọc để tập thể dục. sau mỗi lần thầy giỏo
thổi cũi cú 2 học sinh đổi chỗ cho nhau. Hỏi sau một số lẻ lần thầy giỏo thổi cũi cỏc học sinh cú trở lại trạng thỏi ban đầu khụng?
Bài 10: (Nam Tƣ, 75) Trong một hội nghị nọ cứ 2 ngƣời quen nhau bất kỡ thỡ khụng cú ngƣời
quen chung , cũn cú 2 ngƣời khụng quen nhau nhau bất kỡ thỡ cú đỳng 2 ngƣời quen chung. Chứng minh rằng trong hội này, tất cả mọi ngƣời đều cú số ngƣời quen chung
Bài 11: (Bungari,79) Trờn một tờ giấy kẻ ụ vuụng đỏnh dấu n ụ. Chứng minh rằng từ chỳng
luụn cú thể nhận đƣợc khụng ớt hơn
4
n
ụ vuụng đụi một khụng tiếp xỳc với nhau ( ụ vuụng đƣợc coi là tiếp xỳc với nhau nếu cú ớt nhất 1 đỉnh chung)
Bài 12: (Nam từ , 74) Trờn một bàn cờ kớch thƣớc 8 ì 8 cú 8 qũn cờ trắng đứng trờn hàng
ngang thứ nhất và 8 quõn cờ đen nằm trờn hàng ngang thứ tỏm. Cỏc đấu thủ lần lƣợt đi ( trắng đi trƣớc) bằng cỏch di chuyển một quõn cờ theo hàng dọc một hoặc vài ụ về phớa trƣớc hay phớa sau. Khụng đƣợc phộp bỏ quõn ra khỏi bàn, hay đi vào ụ đó cú qũn của đối phƣơng đứng , hoặc nhảy qua nú. Ngƣời thua cuộc là ngƣời khụng cú nƣớc đi nào nữa
Bài 13 Một tấm bảng ụ vuụng vụ hạn và cú cỏc quõn cờ đứng thành hàng tạo thành hỡnh chữ
nhật 3k ì n. Cú một trũ chơi theo cỏc nguyờn tắc sau: mỗi quõn cờ cú thể nhay qua quõn cờ bất kỡ bờn cạnh mỡnh ( theo chiều dọc hoặc chiều ngang ) vào ụ trống , sau đú quõn cờ bị nhảy qua ta lấy ra khỏi bàn cờ. Chứng minh rằng trờn bảng khụng bao giờ cũn lại đỳng một quõn cờ
Bài 14: Cho trƣớc một đa diện lồi với n ≥ 5 mặt, mà từ mỗi đỉnh của no cú đỳng 3 cạnh. Hai
ngƣời chơi một trũ chơi nhƣ sau: Mỗi ngƣời lần lƣợt viết tờn mỡnh lờn một từ cỏc mặt cũn trống. Để thắng ngƣời chơi cần viết tờn mỡnh lờn 3 mặt cú cựng đỉnh chung. Chứng minh rằng tồn tại một cỏch chơi mà ngƣời thứ nhất luụn thắng
Bài 15* : Số lơn nhất cỏc con xe cú thể đặt trờn cỏc bàn cờ 3n ì 3n cú thể là bao nhiờu để sao
cho mỗi con xe chỉ bị ăn khụng nhiều hơn một trong cỏc con xe cũn lại
Bài 16: Trong một thành phố “ Hữu Nghị” cú tất cả 10.000 cụng dõn . Cứ bất kỡ 2 ngƣời dõn
thỡ hoặc là bạn của nhau, hoặc là kẻ thự của nhau. Hằng ngày khụng nhiều hơn 1 ngƣời cói nhau với cỏc bạn của mỡnh và làm lành với kẻ thự của mỡnh . Mặt khỏc 3 ngƣời dõn nào cũng cú thể làm bạn với nhau. Chứng minh rằng sau một số ngày nào đú tất cả mọi ngƣời sẽ là bạn của nhau . Hỏi số ngày ớt nhất cần phải cú là bao nhiờu ?
Bài 17: ( HSG lớp 9- Vĩnh Phỳc ,2010) Mỗi ụ vuụng đơn vị của bảng kớch thƣớc 10x10 (10
dũng, 10 cột) đƣợc ghi một số nguyờn dƣơng khụng vƣợt quỏ 10 sao cho bất kỡ hai số nào ghi trong hai ụ chung một cạnh hoặc hai ụ chung một đỉnh của bảng là hai số nguyờn tố cựng nhau. Chứng minh rằng cú số đƣợc ghi ớt nhất 17 lần.
Bài 18: CMR:n2 luụn tồn tại 1 tập hợp gồm n số nguyờn dƣơng sao cho tổng 2 số bất kỡ
chia hết hiệu của chỳng.
Bài 19: Chứng minh rằng với bất kỡ cỏch chia tập {1,2,3,...,3n} thành 3 lớp 3 phần tử, chỳng
ta luụn chọn đƣợc từ mỗi lớp 1 số sao cho 1 trong 3 số chọn ra là tổng 2 số cũn lại.
Bài 20: Giả sử cú 1 cỏch chia cỏc số 1, 2,3,.., 100 thành 7 lớp . CMR: Tồn tại 1 vài lớp mà
trong mỗi lớp cú 4 số phõn biệt a, b, c, d mà a b c d hoặc 3 số phõn biệt e f g, , sao cho
2
Bài 21: Trong một cuộc lấy ý kiến về 7 vấn đề, ngƣời đƣợc hỏi ghi vào một phiếu trả lời sẵn
bằng cỏch để nguyờn hoặc phủ định cỏc cõu trả lời tƣơng ứng với 7 vấn đề đó nờu.Chứng minh rằng với 1153 ngƣời đƣợc hỏi luụn tỡm đƣợc 10 ngƣời trả lời giống hệt nhau.
Bài 22: Cho 36 số nguyờn, trong đú tớch của 5 số bất kỳ trong cỏc số đú là một số nguyờn õm.
Chứng tỏ rằng tớch của 36 số đó cho là một số nguyờn dƣơng
Bài 23: (VMO-2010) Cho bảng 3ì3 , n là một số nguyờn dƣơng cho trƣớc, tỡm số cỏch tụ màu
khụng nhƣ nhau khi tụ mỗi ụ bởi 1 trong n màu
Hai cỏch tụ đƣợc gọi là nhƣ nhau nếu mỗi 1 cỏch nhận đƣợc từ cỏch kia bằng phộp quay tõm
Bài 24: Ngƣời ta dựng 4 màu để tụ tất cả cỏc đỉnh của một thất giỏc đều sao cho mỗi đỉnh
đƣợc tụ bởi một màu và hai đỉnh kề nhau đƣợc tụ bằng 2 màu khỏc nhau. Hai cỏch tụ thỏa món cỏc điều kiện trờn đƣợc gọi là nhƣ nhau nếu cỏch tụ màu này cú thể nhận đƣợc từ cỏch tụ màu kia qua phộp quay tõm của thất giỏc. Hỏi cú bao nhiờu cỏch quay đụi một khụng nhƣ nhau?
Bài 25: Cho 12 đa giỏc đều. Tại A12 , ngƣời ta ghi một dấu " " , cũn ở tất cả cỏc đỉnh cũn lại, ở mỗi đỉnh ngƣời ta ghi một dấu " " . Cho phộp thay đổi cỏc dấu theo quy tắc sau: Mỗi lần lấy 3 dấu của một ta giỏc cõn, khụng cõn rồi thay mỗi dấu bằng dấu ngƣợc lại. Hỏi nhờ việc thực hiện liờn tiếp một số hữu hạn lần phộp thay dấu núi trờn đối với đa giỏc ban đầu, ta cú thể nhận đƣợc đa giỏc A A1 2...A12mà tại đỉnh A1 ghi dấu " " , cũn tất cả cỏc đỉnh khỏc ghi dấu " "
Tài liệu tham khảo:
w.w.w.diendantoanhoc.net
w.w.w.mathscope.org
Lớ thuyết tổ hợp ( Ngụ Thế Phiệt)
Tuyển tập cỏc bài toỏn từ những cuộc thi tại Trung Quốc
Cỏc đề thi vụ địch Toỏn 19 nước ( trong đú cú Việt Nam)
Vietnamese IMO Team Training camp 2010 ( Trần Nam Dũng)
Nguyờn lớ Dirichlet và ứng dụng ( Tài liệu Mathscope)