Trong cỏc bài toỏn trũ chơi thường yờu cầu chỳng ta xỏc định chiến thuật để một trong cỏc người chơi luụn thắng. Đụi khi chiến thuật cú thể ỏp dụng cho mọi trường hợp nhưng cũng cú những trường hợp riờng và cú người thắng khỏc nhau. Trờn thực tế thỡ cỏc bài toỏn trũ chơi là một phần của lĩnh vực bất biến , tức ta cần một chiến thuật để một đại lượng khụng thay đổi để đi đến chiến thắng.
Bốc kẹo
Vớ dụ 1: Trờn bàn cú 2 đống kẹo gồm 2011 và 2012 viờn kẹo 2 người cựng chơi một trũ
chơi. Họ được bốc một số kẹo bất kỡ từ mỗi đống và ai là người bốc được viờn kẹo cuối cựng trờn bàn người đú thắng.
Giải:
Ta thấy để chiến thắng thỡ trạng thỏi số kẹo trờn bàn của mỗi đống là (0;0) 2 đống cõn bằng nhau. Và trạng thỏi hiện tại trờn bàn là (2011;2012), ta sẽ tỡm ra một chiến thuật mà ngƣời thắng tạo ra đƣợc trạng thỏi a, đối thủ của mỡnh phỏ vỡ trạng thỏi đú và ngƣời thắng lại đƣa đƣợc về trạng thỏi a. Nhƣ đó núi ở trờn trạng thỏi thắng khi 2 đống là 0;0 cõn bằng nhau do đú ngƣời 1 cú thể bốc 1 viờn để trạng thỏi số kẹo trờn bàn là (2011;2011), đến lƣợt ngƣời thứ 2 bốc thỡ dĩ nhiờn trạng thỏi này cõn bằng sẽ phỏ vỡ. Sau đú ngƣời thứ nhất cú thể đƣa số kẹo 2 đống bằng nhau. Vậy sau khi ngƣời 2 bốc thỡ số kẹo 2 đống khụng bao giờ bằng nhau nờn chắc chắn anh ta phải thua.
Tƣơng tự nhƣ trờn thỡ nếu số kẹo ban đầu trờn bàn ở 2 đống bằng nhau thỡ ngƣời 2 là ngƣời cú chiến thuật thắng.
Vớ dụ 2: Trờn bàn cú 100 viờn kẹo và 2 người chơi cú thể bốc (1;2;k) viờn kẹo. Hai
người cựng bốc kẹo, ai là người bốc viờn kẹo cuối cựng người đú thua.
Giải:
Ban đầu cú 100 viờn kẹo thỡ ngƣời thứ nhất cú thể đảm bảo “an toàn” cho mỡnh trỏnh bị thua bằng cỏch bốc 1 để cũn lại 99 viờn là một số lẻ. Sau khi ngƣời thứ 2 bốc thỡ ngƣời thứ nhất luụn cú chiến thuật để bốc sao cho số kẹo sau khi mỡnh bốc là số lẻ nờn khụng thể thua.
Vai trũ của k trong bài toỏn này chỉ mang tớnh chất phụ họa nhƣng với bài toỏn sau thỡ bài toỏn trở nờn khỏc hẳn cà khú hơn nhiều.
Vớ dụ 3: Cho 2011 viờn kẹo trờn bàn. Hai người chơi trũ chơi họ được bốc số kẹo là
(1;2;6). Hỏi ai là người cú chiến thuật thắng?
Giải: Thật ra đõy là những bài bất biến , khụng phải tự dƣng ta tỡm ra những cỏch giải
bất ngờ nhƣ thế. Với những bài toỏn nhƣ thế này , một cỏch giải cú thể “khụng hay” nhƣng “ hiệu quả” cú thể giải những bài khụng thể tỡm ra đƣợc đại lƣợng bất biến ở đõu
Bài này ban đõu ta sẽ khụng bắt đầu từ 2011 viờn kẹo mà sẽ bắt đầu với số kẹo nhỏ hơn. Giả sử ban đầu trờn bàn cú n viờn kẹo . Nếu n=1,2,3 thỡ rừ ràng ngƣời thứ nhất cú chiến thuật thắng ( ta gọi đơn giản là “ngƣời thứ nhất thắng”). Với n =3 thỡ ngƣời thứ hai thắng bởi ngƣời thứ nhất chỉ cú thể bộc 1 hoặc 2 viờn tƣơng ứng với ngƣời thứ hai bốc 2 hoặc 1 viờn để thắng. Với n = 4 ngƣời thứ nhất thắn bằng cỏch bốc 1 viờn kẹo và đẩy ngƣời thứ hai vào thế thua. Tƣơng tự với n= 5 ngƣời thứ nhất thắng. Với n=7 ngƣời thứ hai thắng vỡ cả ba cỏch bốc của ngƣời thứ nhất (1,2,6) đều dẫn đến thế thắng cho ngƣời thứ hai ( tƣơng ứng cỡn 6,5,1 viờn kẹo trờn bàn), n=8 ngƣời thứ nhất thắng…
Bằng cỏch lớ luận tƣơng tự ta cú bảng sau:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
KQ 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2
Từ kết quả của bảng này ta cú thher dự đoỏn đƣợc người thứ nhất sẽ thắng nếu n cú
số dư là 1 ,2 ,4 ,5 ,6 trong phộp chia cho 7 , và người thứ hai sẽ thắng nếu n cú số dư là 0 ,3 trong phộp chia cho 7
Sau khi dự đoỏn ta tỡm cỏch chứng minh chặt chẽ dự đoỏn của mỡnh bằng quy nạp toỏn học. Đặt n7krvới r1, 2,..., 6, 7ta chứng minh dự đoỏn trờn bằng quy nạp
theok . Với k0 mệnh đề đó đƣợc kiểm chứng qua bảng trờn
Xột n7(k 1) r với r1, 2,..., 6, 7
Nếu r1, 2, 6 ngƣời thứ nhất bốc 1,2,6 viờn để đƣa về trƣờng hợp trờn bàn cũn
7k7viờn kẹo là thế thua cho ngƣời thứ hai theo giả thiết quy nạp vỡ thế ngƣời thứ
nhất thắng
Nếu r3 ngƣời thứ nhất cú 3 cỏch bốc
+ Bốc 1 viờn ,cũn 7(k 1) 2 viờn là thế thắng cho ngƣời thứ hai ( ta vừa
chứng minh trờn)
+ Bốc 2 viờn , cũn 7(k 1) 1 viờn là thế thắng cho ngƣời thứ hai ( chứng
minh trờn)
+ Bốc 6 viờn, cũn 7k4viờn là thế thắng cho ngƣời thứ hai ( theo giả thiết
quy nạp)
Nhƣ vậy trƣờng hợp này ngƣời thứ nhất thua
Nếu r4,5, ngƣời thứ nhất bốc tƣơng ứng 1 ,2 viến để đƣa về trƣờng hợp
7(k 1) 3là thế thua cho ngƣời thứ hai và vỡ vậy ngƣời thứ nhất thắng
Cuối cựng , tƣờng hợp r7, ngƣời thứ nhất cú 3 cỏch bốc
+Bốc 1 viờn ,cũn 7(k 1) 6 là thế thắng cho ngƣời thứ hai, (chứng minh ở
+ Bốc 6 viờn , cũn 7(k 1) 1 là thế thắng cho ngƣời thứ hai ( chứng minh trờn)
Vậy trƣờng hợp này ngƣời thứ nhất thua
Nhƣ thế dự đoỏn của ta đó đƣợc chứng minh hồn toàn
2011 chia 7 dƣ 2 nờn theo lớ luận trờn ngƣời thứ nhất cú chiến thuật thắng
Vớ dụ 4: Trờn bàn cú 2 đống kẹo gồm 2010 và 2011 cõy kẹo. 2 người cựng nhau bốc
kẹo sao cho nếu chọn một đống bốc thỡ họ phải bốc số kẹo là ước của đống kia. Ai là người bốc viờn kẹo cuối cựng thỡ người đú thắng.
Giải:
Ngƣời thứ nhất bốc 1 cõy ở đống 2010 thỡ số kẹo 2 bờn là một số lẻ. Do đú dự ngƣời thứ hai bốc thế nào đi nữa thỡ số kẹo 2 bờn sẽ khỏc tớnh chẵn lẻ. Và ngƣời thứ nhất tiếp tục bốc 1 cõy kẹo ở đống chẵn đƣa về trạng thỏi (lẻ;lẻ). Nhƣ vậy sau khi ngƣời thứ nhất bốc thỡ sẽ khụng cú đống nào hết cả. Do đú phải đến một thời điểm ngƣời thứ 2 bốc hết số kẹo ở một đống và ngƣời thứ nhất chỉ việc bốc số kẹo cũn lại của đống cũn lại là chiến thắng.
Ở bài này chỳng ta lại đến với đại lƣợng bất biến là chẵn lẻ và ta cú thể tổng quỏt bài toỏn với 2 đống kẹo là chẵn và lẻ. Cỏc bạn cú thể dựa vào bài trờn để giải bài toỏn với 2 đống kẹo (4k+2;4l+2).
Vớ dụ 5: Cú 2010 viờn sỏi. Hai người chơi thay phiờn nhau bốc sỏi, mỗi lượt đi người
chơi được qyền bốc một lượng sỏi là lũy thừa với số mũ tự nhiờn bất kỡ của 2(1;2;3;...). Ai bốc được viờn sỏi cuối cựng là người chiến thỏng. Giả sử cả 2 người chới đều là người thụng minh. Hỏi ai là người chiến thắng?
Giải: ta cú 2010 chia hết cho 6 và để ý rằng nếu số kẹo sau một số lần bốc là một bội
của 6 nhƣ 6,12,18,24 thỡ ngƣời thứ 2 luụn thắng vỡ vậy nếu ngƣời thứ 2 bốc số kẹo sao cho tổng số kẹo của ngƣời thứ 2 và ngƣời thứ nhất sau mỗi lƣợt là một bội của 6 thỡ sau một số lần bốc số kẹo cũn lại sẽ là bội "nhỏ" của 6 tức là nằm trong 2 số 24,18,12,6. Vậy ngƣời thứ 2 sẽ cú chiến thật thắng
Nếu ngƣời thứ 1 bốc số kẹo là lũy thừa chẵn chả 2 thỡ ngƣời thứ 2 sẽ bốc số kẹo lũy thừa lẻ ( hoặc ngƣợc lại) để bảo toàn số kẹo là bội của 6