3 Quỹ tích mở của mơđun phân bậc
3.4 Quỹ tích (Sk)
Trong mục này ta giả sử R =A0 là vành cơ sở của vành phân bậc Noether thuần nhấtA=Li≥0Ai và M làA−mơđun phân bậc hữu hạn sinh. Kí hiệu này
cũng bao hàm cả trường hợp M hữu hạn sinh trên vành Noether R. Khi đó ta
sẽ chứng tỏ rằng từ tính mở của quỹ tích Cn của M kéo theo tính mở của quỹ tích (Sk) của M.
Cho M là R−mơđun. Giả sử với mọi n ∈N tập
UCn(M) ={p∈Spec(R)|codepthRp(Mp)≤n}
là mở trongSpec(R). Ta đặtZn =V(bn) = Spec(R)\UCn(M),với bn là iđêan căn. Như đã biết với mọi n ∈ N, ta có UCn(M) ⊆ UCn+1(M), và do đó Zn+1 ⊆ Zn và
bn ⊆ bn+1. Vì R là vành Noether, nên tồn tại m ∈ N sao cho với mọi t ∈ N, ta có bm =bm+1 và Zm =Zm+t.
Bổ đề 3.4.1. Lấy m∈N như trên. Khi đó Zm =∅.
Chứng minh. Nếup∈Zm,thìp∈Zm+tvới mọit ∈N. Theo định nghĩa củaZn+t,
ta cócodepthRp(Mp)≥m+tvới mọi t∈N. NhưngcodepthRp(Mp)≤dim(Rp)<∞,
do đó có mâu thuẫn. Vậy Zm =∅.
Ta nhắc lại rằng R−môđun M thỏa mãn điều kiện Serre (Sk) nếu với mọi
p∈Spec(R) ta có
depthRp(Mp)≥min{dimRp(Mp), k}. (*) Từ bây giờ ta lấy m là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho Zm =∅.
Bổ đề 3.4.2. Với giả thiết như trên, đặt R=R/annR(M) và lấy k ∈N. Khi đó
R−mơđun M thỏa mãn (Sk) nếu và chỉ nếu ht(bnR)> n+k với mọi 0≤n < m.
Chứng minh. Giả sử M thỏa mãn (Sk), và cố định n với 0 ≤ n < m. Lấy p ∈
Spec(R) sao cho bn ⊆ p. Khi đó p ∈ Zn, và do đó codepthRp(Mp) > n, hay
dimRp(Mp)−depthRp(Mp)> n. Vì M thỏa mãn (Sk), nên ta thấy rằng mỗi khi dimRp(Mp)−depthRp(Mp)6= 0,
thì depthRp(Mp) ≥ k. Vì vậy, nếu p ∈ Zn, thì dimRp(Mp) ≥ n+k, do đó suy ra ht(bnR)≥n+k.
Ngược lại, cố định k và giả sử với mọi 0≤n < m, ta có ht(bnR)> n+k. Lấy
p∈Spec(R). NếuMp thìdepthRp(Mp) =∞, và do đó điều kiện (*) được thỏa mãn.
Bây giờ giả sửMp6= 0. Nếu Mplà mơđun Cohen-Macaulay, thì điều kiện (*) được thỏa mãn. Giả sửcodepthRp(Mp)>0,và lấy n∈Nsao chocodepthRp(Mp) = n+ 1. Vì vậy p∈Zn và bn ⊆p. Theo giả thiết, ta có
ht(bnR)> n+k⇒ht(bnRp)> n+k ⇒dim(Rp)> n+k.
Điều đó suy ra codepthRp(Mp) = n+ 1 = dim(Rp)−depthRp(Mp) ≥ n+ 1 +k −
depthRp(Mp), và do đó depthRp(Mp) ≥ k. Vậy Mp thỏa mãn điều kiện (*), và
Bổ đề 3.4.3. ([13, Định lý 3.3]) Cho M là R−môđun như trên. Giả sử, với mọi n∈N, quỹ tích Cn của M, tức là tập UCn(M), là mở trong Spec(R). Khi đó, với mọi k∈N, quỹ tích (Sk) của M,
USk(M) = {p∈Spec(R)|Mp thỏa mãn (Sk)} là mở trong Spec(R).
Chứng minh. Với mọi 0≤n < m, ta xét tập con đóng của Spec(R),
Yn,k ={q∈V(bn)|ht(bnRq)≤n+k},
và xét phần bù của nó Vn,k = Spec(R)\Yn,k một tập mở của Spec(R). Khi đó theo Bổ đề 3.4.2 ta thấy
USk(M) = \ 0≤n<m
Vn,k
là một tập con mở của Spec(R).
Trong trường hợp phân bậc ta có kết quả sau. Định lý 3.4.4. ([13, Hệ quả 3.4]) Cho A =Li∈
NAi là vành phân bậc Noether thuần nhất hoàn hảo, và M =Li∈
ZMi là A−mơđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi
đó với mọi k ∈N, tập
USk0 (M) ={p∈Spec(A0)|(A0)p−môđun Mp thỏa mãn (Sk)} là tập mở trong Spec(A0).
Chứng minh. Theo Định lý 3.3.4, ta có quỹ tích Cn của M là mở, tức là tập
UCn0 (M) = {p ∈ Spec(A0) | codepth(A0)p(Mp) ≤ n} là mở trong Spec(A0) với mọi
n∈N. Do đó áp dụng Bổ đề 3.4.3 ta suy ra rằng quỹ tích (Sk) củaM USk0 (M) = {p∈Spec(A0)|(A0)p−môđun Mp thỏa mãn (Sk)} là một tập mở.
Kết luận
Trong luận văn này chúng tơi đã trình bày và chứng minh lại chi tiết các kết quả sau:
• Định lý 2.1.2 về sáu mệnh đề tương đương của mơđun phẳng.
• Nêu tiêu chuẩn Nagata để chứng minh một tập là mở trong tơpơ Zariski, sau đó vận dụng để chứng minh quỹ tích phẳng (Định lý 2.2.5).
• Chứng minh tính mở của quỹ tích phẳng, quỹ tích codepth, quỹ tích Pro- jdim, được trình bày trong bài báo của Rotthaus-Sega" Open loci of graded modules " Transactions of the American Mathematical society (Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Định lý 3.2.4, Định lý 3.3.4, Định lý 3.4.4 trong luận văn).
Kết quả chính của luận văn gồm những nội dung sau:
(1) Hệ thống lại một số kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng minh các kết quả chính của luận văn, mơđun phẳng, môđun Cohen - Macaulay, vành và mơđun phân bậc, vành hồn hảo. Chiều, độ sâu, codepth, công thức Auslander - Buchsbaum mở rộng.
(2) Trình bày tính chất mơđun phẳng và quỹ tích phẳng (tham khảo sách [11], và bài báo [13]).
(3) Trình bày quỹ tích Projdim, codepth, (Sk) trong trường hợp mơđun phân bậc (tham khảo bài báo [13]).
Tài liệu tham khảo
[1] N. Bourbaki, Commutative algebra, chapters 1 - 7, 1989, Springer Verlag, New York.
[2] M. Brodmann and R. Sharp, Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, 1998, Cambridge University Press.
[3] W. Bruns and J. Herzog, Cohen - Macaulay rings, 1998, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, revised edition, Cambridge.
[4] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số hiện đại, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội.
[5] H. Foxby, Hyperhomological algebra and commutative rings, inpreparation. [6] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique IV, Inst. Hautes Études
Sci. Publ. Math. 24 (1965).
[7] M. Hochster and J. L. Roberts, Rings of invariants of reductive groups acting on regular rings are Cohen-Macaulay, Adv. Math. 13 (1974), 115 - 175.
[8] S. Iyengar, Depth of complexes, and intersection theorems, Math. Z. 230 (1999), 545 - 569.
[9] V. Kodiyalam, Homological invariants of powers of an ideal, Poc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 757 - 764.
[10] I. G. Macdonald and M. F. Atiyah, Commutative Algebra, 1969, Addison- Wesley Publishing Company.
[11] H. Matsumura, Commutative ring theory, 1986, Cambridge Studies in Ad- vanced Mathematics, Vol.8, Cambridge.
[12] J. Rotmann,An introduction to homological algebra, 1979, Academic Press. [13] C. Rotthaus and L. Sega,Open loci of grade modules, Trans. of Amer. Math.