3 Quỹ tích mở của mơđun phân bậc
3.2 Quỹ tích codepth
Giả thiết A = Ln≥0An là vành phân bậc Noether thuần nhất và M =
L
i∈ZMi là A−môđun phân bậc hữu hạn sinh. Mục đích của mục này là tổng
qt hóa hoặc cải tiến một số định lý từ trường hợp môđun hữu hạn sinh trên vành Noether tới trường hợp môđun M được xem như môđun trên A0. Ta bắt đầu với một kết quả về quỹ tích phẳng củaA0−mơđunM nó là một cải tiến cho Định lý 2.2.5.
Định lý 3.2.1. ([13, Mệnh đề 2.1]) Cho vành A và môđun M như ở trên. Khi đó quỹ đạo phẳng của M (xét như một A0−môđun)
U0(M) ={p∈SpecA0 |Mp là phẳng trên A0}
là một tập mở trong SpecA0.
Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Nagata (xem Định lý 2.2.4), ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
a) Nếu p,q∈SpecA0 với p∈U0(M) và q⊆p, thì q∈U0(M).
b) Nếu p∈U0(M), thì U0(M) chứa một tập con mở khác rỗng của
Xét (a): giả sử p ∈ U0(M) suy ra Mp là phẳng trên A0 và q ⊆ p ta cần chứng minh Mq là phẳng trên A0. Áp dụng Định lý 1.2.6 cho môđun Mp, đồng cấu
A0 → (A0)p, và iđêan nguyên tố q(A0)p. Khi đó vì q(A0)p∩A0 = q, nên suy ra
(Mp)q(A0)
p là môđun phẳng trên (A0)q. Suy ra Mq là môđun phẳng trên (A0)q, mà (A0)q là phẳng trên A0 nên Mq là môđun phẳng trên A0. Vậy q∈U0(M). Xét (b): p∈ U0(M) suy ra Mp là phẳng trên A0, đặt A0 = A0/p. Theo Định lý
2.1.2, với mọi q ∈ V(p), môđun Mq là phẳng trên A0 nếu và chỉ nếu (M/pM)q là phẳng trên A0 và TorA01 (Mq, A0) = 0. Bằng cách tính mơđun Tor qua giải tự do của A0 trên A0 ta suy ra được TorA0(M, A0) là A−môđun hữu hạn sinh. Do
đó có một phần tử a ∈ A0\p sao cho (TorA01 (M, A0))a = 0. Mặt khác, áp dụng Bổ đề 2.2.3 cho A0−mơđunM/pM, ta suy ra có một phần tử b∈A0\p, sao cho
(M/pM)b là một môđun tự do trên (A0)b. Ta đặt
Dab ={q∈Spec(A0)|ab /∈q}.
Khi đó với mọi q ∈ V0(p)∩Dab, ta có TorA01 (Mq, A0) = 0 và (M/pM)q là phẳng trên (A0)q. Từ đó, theo Định lý 2.1.2, ta suy ra và Mq là phẳng trên A0.
Tiếp theo là một kết quả về tính mở của quỹ tích chiều xạ ảnh nhỏ hơn một số cho trước.
Định lý 3.2.2. ([13, Mệnh đề 2.2] Quỹ tích chiều xạ ảnh) ChoA và M giả thiết như trên. Khi đó hàm số γ : Spec(A0)→N xác định bởi γ(p) = Projdim(A0)p(Mp) với mọi p∈Spec(A0) là hàm nửa liên tục trên. Tức là, với mọi n∈N, tập
Un0(M) = {p∈Spec(A0)|Projdim(A0)p(Mp)≤n}
là một tập mở trong Spec(A0).
Chứng minh. Chú ý rằng A là ảnh đồng cấu của vành đa thức B =A0[x1, ..., xt] (xét B với phân bậc chuẩn). Khi đó M cũng là một B−mơđun phân bậc hữu
phân bậc trên A0. Lấy p ∈ Spec(A0) sao cho Projdim(A0)p(Mp) 6 n. Ta xét một
dải tự do của A−môđun M gồm các môđun tự do hữu hạn sinh.
Fn −→fn Fn−1 −−−→fn−1 ...−→f2 F1 −→f1 F0 −→f0 M →0,
trong đó cácFilà các A−môđun tự do phân bậc hữu hạn sinh vàfi là cácA−ánh
xạ tuyến tính thuần nhất (tức ánh xạ tuyến tính biến thành phần thuần nhất thứ t vào thành phần thuần nhất thứ t). Lấy T là môđun syzyzy thứ n của M, tức là T = Ker(fn−1), khi đó ta có một dãy khớp của A−mơđun phân bậc
0→T −→g Fn−1 −−−→fn−1 ...−→f2 F1−→f1 F0 −→f0 M →0 (CT5) Vì mọi thành phần thuần nhất của Fi là các A0−môđun tự do và vì T là
A−mơđun phân bậc; nên từ dãy (CT5), với k ∈ Z tùy ý, ta thu được một dãy khớp của các A0−môđun.
0→Tk −−→(g)k (Fn−1)k −−−−→(fn−1)k ...−−−→(f2)k (F1)k −−−→(f1)k (F0)k −−−→(f0)k (M)k →0
trong đó các (Fi)k là các A0−mơđun tự do. Bằng việc xem xét (CT5) như một
dãy khớp của các A0−môđun, ta suy ra rằng mọi Fi là tự do trên A0 và T là một môđun syzyzy thứ n của A0−mơđun M. Lấy địa phương hóa tại p vào dãy (CT5) ta được dãy khớp
0→Tp −→gp (Fn−1)p−−−−→(fn−1)p ...−−−→(f2)p (F1)p−−−→(f1)p (F0)p −−−→(f0)p (M)p →0.
Vì Projdim(A0)p(Mp) 6 n kéo theo Tp là mơđun xạ ảnh trên (A0)p. Vì vậy Tp là mơđun tự do trên (A0)p. (*)
Vì T là A−mơđun phân bậc hữu hạn sinh, nên từ Định lý 3.2.1 ta thấy rằng
tập
U0(T) = {q∈Spec(A0)|Tq là phẳng trên (A0)q}
là một tập mở trongSpec(A0). Cũng vì T là một mơđun phân bậc hữu hạn sinh trên A, nên T =Li∈
ZTi; do đó với mọi q∈Spec(A0) ta có Tq=Li∈
Z(Ti)q. Lưu ý rằng nếu Tq là phẳng trên (A0)q, thì (Ti)q phẳng trên (A0)q với mọi i ∈Z. Vì
mọi (Ti)q là mơđun hữu hạn sinh trên (A0)q, nên suy ra (Ti)q là môđun tự do trên (A0)q, và do đó Tq là tự do trên (A0)q. Điều đó có nghĩa là tập U0(T) ở trên trùng với tập {q∈Spec(A0) | Tq là tự do trên (A0)q}, nói cách khác ta có
U0(T) ={q∈Spec(A0) | Tq là tự do trên (A0)q}.
Điều này kết hợp với kết luận (*), nó chỉ ra rằng p∈U0(T) và
U0(T)⊆ {q∈Spec(A0) | Projdim(A0)q(Mq)6n}.
Và vì vậy tập{q∈SpecA0| Projdim(A0)q(Mq)6n}là tập mở trong Spec(A0). Mệnh đề 3.2.3. ([13, Mệnh đề 2.3]) Cho A và M giả thiết như trên. Giả thiết thêm A0 là vành cactenary, và lấy p ∈ Spec(A0) với p ∈ SuppA0(M). Khi đó có một tập con mở U trong Spec(A0) sao cho p∈U, và với mọi q∈U ∩V0(p) ta có
dim(Mq) = dim(Mp) + dim((A0/p)q).
Chứng minh. Đặt S = A0/annA0(M) và chọn một phần tử a ∈ S \ p sao cho Min(Sp) = Min(Sa). Giả sử rằng dimMp = ht(pS) = t và chọn các phần tử
y1, ..., yt ∈S sao cho
y1 không nằm trong mọi iđêan nguyên tố cực tiểu của Sp, y2 không nằm trong mọi iđêan nguyên tố cực tiểu của y1Sp,
...
yt không nằm trong mọi iđêan nguyên tố cực tiểu của (y1, .., yt−1)Sp. Khi đó có một phần tử b ∈S\p sao cho
y1 không nằm trong mọi iđêan nguyên tố cực tiểu của Sb,
y2 không nằm trong mọi iđêan nguyên tố cực tiểu của y1Sb, ...
yt không nằm trong mọi iđêan nguyên tố cực tiểu của (y1, .., yt−1)Sb.
Ta cũng lấy a, b để kí hiệu cho nghịch ảnh của a, b trong A0 và đặt U = Dab =
có thể mở rộng thành một hệ tham số của Sq. Vì Sp và Sq có cùng tập các phần tử cực tiểu và vì S là cactenary, nên ta được dim(Sq) = dim(Sp) + dim((S/p)q). Đẳng thức đó chính đẳng thức dim(Mq) = dim(Mp) + dim((A0/p)q).
Cho (R,m) là vành địa phương Noether và M là R−môđun. Ta định nghĩa
codepthR(M) = dimR(M)−depthR(M).
Như thường lệ quy ước depth môđun 0 là ∞ và chiều của mơđun khơng là −∞.
Do đó codepth của mơđun khơng là −∞. Mệnh đề dưới đây mở rộng của một
kết quả của Auslander ([7, 6.11.2]) tới trường hợp môđun phân bậc.
Định lý 3.2.4. ([13, Mệnh đề 2.4] Định lý quỹ tích codepth) LấyA và M như ở trên và giả thiết thêm A0 là ảnh đồng cấu của một vành chính quy. Khi đó hàm
ϕ: Spec(A0) →N, xác định bởi ϕ(p) = codepth(A0)p(Mp) với mọi p∈ Spec(A0) là hàm nửa liên tục trên. Tức là, với mọi n∈N, tập
UCn0 (M) ={p∈Spec(A0)|codepth(A0)p(Mp)≤n}
là mở trong Spec(A0).
Chứng minh. Nếu A0 là ảnh đồng cấu của vành chính quy R0, thì chiều và độ
sâu của A0−môđun M là đồng nhất với chiều và độ sâu của môđun M khi xem như môđun trên R0. Nếu ta chỉ ra được rằng tập
e
UCn0 (M) = {q∈Spec(R0)|codepth(R0)q(Mq)≤n}
là tập mở trong Spec(R0) (với M được xem như R0−mơđun), thì tập
UCn0 (M) = UeCn0 (M)∩V(J)
cũng là mở, trong đó A0 = R0/J. Vì vậy ta có thể giả thiết A0 là vành chính quy. Lúc đó ta cũng có thể giả sử A là vành đa thức trên A0 được trang bị một phân bậc chuẩn. Lấy p ∈ Spec(A0), khi đó theo Định lý 3.1.8, cơng thức Auslander-Buchsbaum cho ta
Lấy I = annA0(M). Theo Bổ đề 3.1.4 ta có Ip = ann(A0)p(Mp) và do đó dim(A0)p(Mp) = dim((A0)p)−ht(I(A0)p).
Giả sử p∈Spec(A0) sao cho depth(A0)p(Mp)≤n. Nếu Mp= 0 thì I 6⊆p (vì giả sử
M = (ω1, ..., ωs) trên A ta có ωi1 = 0 trong Mp suy ra tồn tại ti ∈/ p để tiωi = 0 lấy t = t1...ts do đó tωi = 0 với mọi i nên t ∈ I mà t /∈ p suy ra I 6⊆ p ). Lấy
a∈ I∩(A0\p). Khi đó với mọi q∈ Da ={ν ∈ SpecA0 | a /∈ν}, ta có Mq = 0 và codepth(A0)q(Mq) =−∞6n. Vì a /∈q⇒a∈A0\q ta có ωi1a= ωiaa = 0 (do a∈I)
suy ra Mq = 0.
Nếu Mp 6= 0, ta lấy một phần tử a ∈ A0\p sao cho (A0)p và (A0)a có cùng tập iđêan nguyên tố cực tiểu, và đặt U1=Da ={ν ∈Spec(A0)|a /∈ν}. Khi đó với mọi q ∈U1∩V0(I) ta có ht(I(A0)q) > ht(I(A0)p). Đặt t = Projdim(A0)p(Mp). Khi đó theo Định lý 3.2.2 có một tập mở U2 trong SpecA0 sao cho
Projdim(A0)q(Mq)6t với mọi q∈U2.
Sử dụng công thức Aulander-Buchsbaum và giả thiết A0 chính quy, ta suy ra rằng với mọi q∈U1∩U2∩V0(I) ta có
codepth(A0)qMq = dim(A0)qMq−depth(A0)qMq
= dim((A0)q)−ht(I(A0)q)−depth(A0)q+ Projdim(A0)q(Mq) = Projdim(A0)q(Mq)−ht(I(A0)q).
Điều đó kéo theo rằng với mọi q∈U =U1∩U2, ta có codepth(A0)qMq ≤codepth(A0)pMp,
và từ đó suy ra UCn0 là mở trong SpecA0.