3 Quỹ tích mở của mơđun phân bậc
3.3 Quỹ tích Cohen-Macaulay
Định lý 3.3.1. ([13, Bổ đề 2.5] Công thức địa phương) ChoA là một vành phân bậc Noether thuần nhất và M là một A−môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó
thì mọi iđêan ngun tố p,q∈SpecA0 mà p⊆q ta có bất đẳng thức, codepth(A0)
qMq >codepth(A0) pMp
Chứng minh. Bằng cách thay thế A0 bởi vành (A0)q (và vành A bởi Aq), ta có
thể giả thiết rằng(A0,m0) là vành địa phương. Khi đó ta phải chứng minh rằng codepthA0(M)≥codepth(A0)
p(Mp).
Lấy bp ∈ SpecAc0 là iđêan nguyên tố cực tiểu trên pcA0 (nghĩa là cực tiểu chứa
pcA0). Khi đó bp∩A0 =pvà (Ab0) b
p là mơđun phẳng trên (A0)p có thớ tầm thường. Hơn nữa Mp⊗(A0) p(Ab0) bp= M i∈N (Mi)p⊗(A0) p(Ab0) bp =M i∈N (Mi)p⊗(A0) p (Ab0) b p =M i∈N (Mbi) b p, với Mbi ∼=M i⊗A0 Ab0 với mọi i∈N. Ta có depthA0M = inf{depthA0Mi | Mi6= 0, i∈N},
dimA0M = sup{dimA0Mi, i∈N}.
Theo Định lý 2.1.5, với mọi i∈Z ta có depth( b A0) bp (Mbi) b p = depth(A0) p(Mi)p+ depth((Ab0) b p/p(Ab0) bp) = depth(A0)p((Mi)p),
và theo Bổ đề 2.1.1 ta có dim( b A0) b p (Mbi) b p = dim(A0) p(Mi)p+ dim(Ab0) b p/p(Ab0) bp = dim(A0) p(Mi)p. Đặt ∼ M =M i∈Z b Mi ∼=M ⊗ A0 Ab0
và chú ý rằng M∼ là mộđun phân bậc hữu hạn sinh trên vành phân bậc Noether thuần nhất A∼ =A⊗A0 Ab0. Theo tính tốn ở trên đã chứng tỏ rằng
codepth( b A0) b p ( ∼ M bp) = codepth(A0)pMp=n.
VìAb0 là ảnh đồng cấu của vành chính quy địa phương, nên UCn−10 (M∼)là tập mở trong SpecAb0 (theo Định lý 3.2.4). Điều này suy ra rằng
codepth b A0( ∼ M)≥codepth( b A0) b p ( ∼ M bp). Bằng lập luận như trên ta cũng chỉ ra rằng codepth
b
A0(M∼) = codepthA0(M). Điều đó đã chứng minh được codepthA0M >codepth(A0)
p(Mp).
Bổ đề 3.3.2. ([13, Mệnh đề 2.6.1]) Cho vành A, môđun M như ở trên, và giả sử thêm A là vành hồn hảo. Khi đó với mọi p ∈ SpecA0 ta có một tập mở
U0⊆SpecA0 với p∈U0 sao cho với mọi q ∈U0∩V0(p) thì depth(A0)
qMq = depth(A0)
pMp+ depth((A0)q/p(A0)q)
Chứng minh. Cho p ∈Spec(A0). Khi đó theo Bổ đề 3.3.1, với mọi q∈ V0(p), ta có
codepth(A0)q(Mq)≥codepth(A0)p(Mp), hay tương đương với
dim(A0)q(Mq)−depth(A0)q(Mq)≥dim(A0)p(Mp)−depth(A0)p(Mp). (CT6) Theo Mệnh đề 3.2.3, tồn tại tập mở U1 ⊆ Spec(A0) với p ∈ U1 sao cho với mọi
q∈U1∩V0(p), ta có
dim(A0)q(Mq) = dim(A0)p(Mp) + depth((A0/p)q).
Vì A là hồn hảo nên tồn tại tập mở U2 ⊆ Spec(A0) với p∈ U2 sao cho với mọi
q∈U2∩V0(p), ta có vành địa phương
Do đó có một tập mở U3 ⊆ Spec(A0) sao cho p∈ U3, và với mọi q∈ U3∩V0(p), ta có đẳng thức về tập các iđêan nguyên tố tối tiểu:
Min(A0)q(I(A0)q) = Min(A0)p(I(A0)p), với I = annA0(M). Đặc biệt, với mọi q∈U3∩V0(p), ta có
ht(I(A0)q) = ht(I(A0)p).
Đặt U1∼ =U1∩U2∩U3, khi đó với mọi q∈U1∼ ∩V0(p), ta có
dim(A0)q(Mq) = dim((A0/I)q) và dim(A0)p(Mp) = dim((A0/I)p).
VìA là hồn hảo, nên vành A0 là catenary phổ dụng, và với mọi q∈U∼1∩V0(p), ta có
dim((A0/I)q)−dim((A0/I)p) = dim((A0/p)q) = depth((A0/p)q). Từ (CT6) ta được
depth(A0)q(Mq)−depth(A0)p(Mp)≤depth((A0/p)q) với mọi q∈U∼1∩V0(p).
Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại
depth(A0)q(Mq)−depth(A0)p(Mp)≥depth((A0/p)q),
ta giả sử rằng depth(A0)p(Mp) = t và lấy f1, . . . , ft ∈ p sao cho f1, . . . , ft là dãy chính quy của Mp. Theo định lý tránh nguyên tố, tồn tại a ∈ A0\p sao cho
f1, . . . , ft là dãy chính quy của Ma.
Đặt M =M/(f1, . . . , ft)M, và xét vành phân bậc liên kết
Gp(M) =M
i∈N
piM /pi+1M .
Môđun M hữu hạn sinh trên A, và Gp(M) là Gp(A)−môđun hữu hạn sinh. Ta
hạn sinh trên A0/p. Vì vậy Gp(A) là A0/p−đại số hữu hạn sinh. Từ đó theo Bổ
đề 2.2.3, tồn tại b ∈A0\p sao cho (A0/p)b−môđun
Gp(M)b =M
i∈N
(piM /pi+1M)b
là tự do. Đặt U∼2 = Db = {q ∈ Spec(A0) | b /∈ q} và cố định một phần tử
q∈ U∼2∩V0(p). Giả sử rằng depth((A0/p)q) = s, và lấy g1, ..., gs ∈ q là dãy chính quy của (A0/p)q.
Yêu cầu 1: g1 là phần tử chính quy trên Mq. Yêu cầu 2: Đặt N1 =Mq/g1Mq; khi đó Gp(N1)∼=G
p(Mq)/g1Gp(Mq).
Giả sử hai yêu cầu trên đã được chứng minh. Từ Yêu cầu 2 suy ra rằngGp(N1) là mơđun tự do trên (A0/(g1,p)A0)q. Vìg2 là chính quy trên (A0/(g1,p)A0)q, nên ta lại áp dụng Yêu cầu 1 và 2 cho N1. Chú ý rằng N1 cũng là Aq−môđun hữu
hạn sinh. Điều đó suy ra rằng g2 là phần tử chính quy trên N1, và nếu ta đặt
N2 =N1/g2N1, thì
Gp(N2)∼=G
p(N1)/g2Gp(N1).
Bằng cách quy nạp ta suy ra đượcg1, . . . , gs là dãy chính quy trên Mq), và ta có
depth(A0)q(Mq)≥depth(A0)p(Mp) + depth((A0/p)q).
Bất đẳng thức này đúng với mọi q∈ U2∼ ∩V0(p). Như vậy nếu các yêu cầu mà đúng thì mệnh đề được chứng minh với U0=
∼
U1∩U2.∼
Để chứng minh các yêu cầu, ta đặt g =g1 và N =N1.
Chứng minh Yêu cầu 1. Lấy z ∈Mq với gz = 0. Xét ảnh z của z trong Mq/pMq.
VìMq/pMq là mơđun tự do trên (A0/p)q, và vì g là chính quy trên (A0/p)q, nên ta thấyz = 0, suy ra z ∈pMq. Bây giờ xét ảnh của z trong pMq/p2Mq và lặp lại lập luận tương tự. Ta thu được rằng z ∈T∞j=0pjMq. Chú ý rằng
Mq =M
i∈Z
Đặc biệt, suy ra
pjMq=M
i∈Z
pj(Mi)q,
và mọi (Mi)q là (A0)q−môđun hữu hạn sinh. Chứng tỏ z = 0.
Chứng minh Yêu cầu 2. Theo giả thiết, ta có Gp(Mq) là (A0/p)q−mơđun tự
do, và pjMq/pj+1Mq) là hạng tử trực tiếp của Gp(Mq). Vì vậy pjMq/pj+1Mq là (A0/p)q−mơđun tự do và g là chính quy trên (A0/p)q. Do đó
pjMq∩gMq =gpjMq và do đó pjMq/gpjMq∼=pj Mq/(pjMq∩gMq) ∼= (pjMq+gMq)/gMq ∼=pj (Mq/gMq).
Từ biểu đồ giao hoán
0 −→pj+1N −→pjN −→pjN/pj+1N →0 || y || y || y 0 →pj+1(Mq/gMq) →pj(Mq/gMq)→pj(Mq/gMq)/pj+1(Mq/gMq)→0 ∼ = y ∼ = y ∼ = y 0→pj+1Mq/gpj+1Mq→pjMq/gpjMq →pjMq/(gpjMq+pj+1Mq) →0 ta thu được rằng Gp(N) = M j∈N pjN/pj+1N ∼ =M j∈N pjMq/(gpjMq+pj+1Mq) ∼ =M j∈N (pjMq/pj+1Mq)/g(pjMq/pj+1Mq) ∼ =Gp(Mq)/g(Gp(Mq)).
Hệ quả 3.3.3. ([13, Hệ quả 2.6.2]) Cho A, M như trên và giả thiết A là vành hồn hảo. Khi đó với mọip∈SpecA0 có một tập con mở U0 ⊆SpecA0 mà p∈U0
sao cho với mọi q∈U0∩V0(p) ta có codepth(A0)
q(Mq) = codepth(A0)
p(Mp) + codepth((A0)q/p(A0)q).
Chứng minh. Lấy p ∈ SpecA0 và U1 như ở Bổ đề 3.3.2 do đó p ∈ U1 và q ∈
U1∩V0(p) ta có
depth(A0)
qMq= depth(A0)
pMp+ depth (A0)q/p(A0)q
Theo Mệnh đề 3.2.3 có một tập con mở U2 ⊆SpecA0 sao cho p∈U2 và với mọi
q∈U2∩V0(p) ta có
dimMq= dimMp+ dim (A0/p)q
Vì vậy với U0 =U1∩U2 ta thấy rằng p∈U0 và với mọi q∈U0∩V0(p) ta có codepth(A0)
qMq= codepth(A0)
pMp+ codepth (A0)q/p(A0)q
Định lý 3.3.4. ([13, Định lý 2.6.3] Định lý quỹ tích codepth) Cho A =Li∈
NAi
là phân bậc thuần nhất hồn hảo và với M = Li∈
ZMi là một A−mơđun phân
bậc hữu hạn sinh. Khi đó với mọi n ∈N, tập hợp
UCn0 (M) = {p∈Spec(A0)|codepth(A0)
p(Mp)≤n}
là một tập mở trong Spec(A0).
Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Nagata về tính mở (xem Định lý 2.2.4), ta cần phải chỉ ra:
(1) Nếu p,q∈Spec(A0) sao cho q⊆p và p∈UCn0 (M) thì q∈UCn0 (M).
(2). Nếu p∈UCn0 (M) thì UCn0 (M) chứa một tập con mở khác rỗng của V(p). Xét (1). Cho p,q∈SpecA0 sao cho q⊆p. Theo Định lý 3.3.1 ta có
codepth(A0)
qMq 6codepth(A0) pMp
Xét (2). Chop∈UCn0 (M). Theo Hệ quả 3.3.3 có một tập mở U ∈SpecA0 sao cho
p∈U, và với mọi q∈U ∩V0(p) ta có codepth(A0)
qMq= codepth(A0)
pMp+ codepth (A0)q/p(A0)q
VìAvàA0 là vành hồn hảo, có một tập con mởV trongSpecA0sao chop∈V và với mọiq∈V ∩V0(p), vành (A0/p)q là Cohen-Macaulay. Vì vậy chọnU0 =U∩V
ta có p∈U0 và với mọi q∈U0∩V0(p) ta có codepth(A0)
qMq= codepth(A0) pMp
Kéo theo U0∩V0(p) ⊆UCn0 (M), và định lý được chứng minh.
Định lý 3.3.5. ([13, Hệ quả 2.6.4] Quỹ tích Cohen-Macaulay) Cho A và M như trong Định lý 3.3.4. Khi đó quỹ tích Cohen-Macaulay của A0−mơđun M,
UCM0 (M) =UC00 (M)
={p∈Spec(A0)|Mp là môđun Cohen-Macaulay trên (A0)p}
là một tập mở trong Spec(A0).