1. Thuật Toán Source-Model Technique (SMT)
1.3.11 Số lượng và vị trí nguồn điểm điện từ
Số lượng các nguồn điện từ là N và vị trí các nguồn điện từ (hình 2.4). Số lượng và vị trí của nguồn điện ảnh hưởng đến hình dạng của hàm E()
Hình 2.7: Sự thay đổi hình dạng của sai số theo N và . (a) = 1.5, (b) N =30 Theo Hình 2.7a thì với một vị trí xác định ( = 1.5), khi số lượng các nguồn điện từ N = 30 thì ta thấy mặc dù có cực tiểu nhưng hai bên cực tiểu là hàm đơn điệu, do đó ta không thể tìm được giá trị cực tiểu của E
Theo Hình 2.7b thì với một số lượng nguồn điện từ xác định (N = 30), khi vị trí các nguồn điện từ = 1.6 thì ta thấy mặc dù có cực tiểu nhưng hai bên cực tiểu là hàm đơn điệu, do đó ta không thể tìm được giá trị cực tiểu của E
Trong thực tế chạy chương trình thì ta dùng N và càng nhỏ càng tốt, sau đó từ từ tăng lên để tìm các mốt của trường điện từ trong sợi quang.
1.4 Thuật toán SMT cho sợi tinh thể quang tử
1.4.1 Các nguồn điện từ tương đương cho sợi tinh thể PCF
Đối với thuật toán SMT thì sợi tinh thể quang tử (PCF) (Chương 1) có thể coi là tổ hợp của nhiều sợi quang Step-index. Cấu trúc tổng quát của sợi tinh thể quang tử có dạng ở hình 2.8
Hình 2.8: Hình dạng tổng quát của sợi tinh thể quang tử PCF
Hình 2.8 cho ta thấy mặt cắt tổng quát của sợi tinh thể quang tử PCF. Sợi tinh thể quang tử PCF gồm có vùng vật chất có hằng số điện môi là d
r
(thường là silica) xen lẫn với các vùng vật chất có hằng số điện môi là th
r
(thường là không khí). Đường biên S(j) được tạo thành bởi ranh giới giữa hai vùng vật chất có hằng số điện môi khác nhau này. Cacù nguồn phát ra sóng điện từ (sources) cho mỗi vùng S(j) cũng được làm tương tự như cho sợi quang step-index. Như vậy trường điện từ trong sợi tinh thể quang tử PCF sẽ là tổng trường điện từ của các vùng S(j)
Bây giờ ta sẽ bố trí các nguồn sóng điện từ cho vùng vật chất có hằng số điện môi là d
r
. Các nguồn sóng điện từ này nằm phía ngoài cách biên S(j) một đoạn (Hình 2.9).
Hình 2.9: Bố trí các nguồn điện từ tương đương cho các vùng d r
Tương tự ta sẽ bố trí các nguồn sóng điện từ cho các vùng vật chất có hằng số điện môi là th
r
. Các nguồn sóng điện từ này nằm phía trong cách biên S(j) một đoạn (Hình 2.10).
Hình 2.10: Bố trí các nguồn điện từ tương đương cho các vùng th r
1.4.2 Ma trận trở kháng cho sợi tinh thể quang tử PCF
Cách hình thành ma trận trở kháng [Z] cho sợi tinh thể quang tử PCF giống như cho sợi quang Step-index nhưng trong trường hợp này nó sẽ là tổng của các vùng S(j). Ta gọi vùng vật chất có hằng số điện môi d
r
là vùng d, vùng vật chất có hằng số điện môi th
r
là vùng th.
Với cách bố trí các nguồn điểm điện từ như hình 2.9 và hình 2.10 thì
trường điện từ trong vùng d (Ed và Hd) và trường điện từ trong vùng th (Eth và Hth) bằng: Ed = N i i z i t i z i t I d E I d E K d E K d E 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( (2.103) Hd = N i i z i t i z i t I d H I d H K d H K d H 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( (2.104) Eth = N i i z i t i z i t I th E I th E K th E K th E 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( (2.105) Hth = N i i z i t i z i t I th H I th H K th H K th H 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( (2.106)
Các thành phần Et(I), Et(K), Ht(I), Ht(K), Ez(I), Ez(K), Hz(I), Hz(K) được tính theo các công thức (2.49), (2.50), (2.43) và (2.46). (Cần chú ý là Ez(K) = 0 và Hz(I) = 0)
Để trường điện từ truyền được trong sợi tinh thể quang tử PCF thì thành phần tiếp tuyến của trường điện từ phải liên tục tại đường biên giữa vùng d và vùng th. Điều kiện biên này được diễn đạt bằng hai biểu thức sau:
nˆ(Ed – Eth) = 0 (Tại biên) (2.107)
nˆ(Hd – Hth) = 0 (Tại biên) (2.108) Với:
nˆ: Vectơ đơn vị pháp tuyến tại biên
Phương trình (2.107) và (2.108) dẫn đến bốn phương trình sau: Et(d) - Et(th) = 0 (2.109)
Ez(d) – Ez(th) = 0 (2.110) Ht(d) - Ht(th) = 0 (2.111) Hz(d) – Hz(th) = 0 (2.112) Phương trình (2.109) đến (2.112) được phân tích ra như sau:
N i N i N i N i 1 1 i t 1 1 i t i t i t(K(th)) E (I(th)) E (K(d)) E (I(d)) 0 E (2.113) N i N i N i N i 1 1 i z 1 i z i z 1 i z(K (th)) E (I (th)) E (K (d)) E (I(d)) 0 E (2.114) N i N i N i N i 1 1 i t 1 i t 1 i t i t(K(th)) H (I(th)) H (K(d)) H (I(d)) 0 H (2.115) N i N i N i N i 1 1 i z 1 i z 1 i z i z(K (th)) H (I(th)) H (I(d)) H (K (d)) 0 H (2.116)
Từ (2.113) đến (2.116) ta thành lập được phương trình ma trận sau:
[Z] ) ( ) ( ) ( ) ( d I d K th I th K = 0 (2.117)
Phương trình ma trận (2.117) được hình thành bằng cách tách I và K trong (2.113) đến (2.116) thành một cột.
Ma trận [Z] ở (2.117) được gọi là ma trận trở kháng trong sợi tinh thể quang thể PCF. Đến đây để tìm các mốt của trường điện từ trong sợi tinh thể quang tử PCF thì các bước còn lại tương tự như trong phần sợi quang Step-index.
2. Phần Mềm Source-Model Technique Package (SMTP)
2.1 Giới thiệu phần mềm SMTP
Phần mềm SMTP được viết bởi PhD.Amit Hochman và Prof.Yehuda Leviatan thuộc khoa điện tử Technion tại trường đại học kỹ thuật Israel, là một phần mềm miễn phí với mã nguồn mở. SMTP là một tập các hàm (function) được viết bằng Matlab. SMTP sử dụng thuật toán Source-Model Technique để tính toán và mô phỏng trường điện từ trong sợi quang (bao gồm cả sợi tinh thể quang tử PCF). Ngoài ra tác giả còn xây dựng giao diện đồ (gui) để thuật tiện cho việc thao tác sử dụng phần mềm.
2.2 Giao diện phần mềm SMTP
Hình 2.11: Giao diện của phần mềm SMTP
Để tìm các mốt của trường điện từ trong sợi quang ta dùng các hàm đã được viết sẵn trong Matlab hoặc dùng giao diện đồ họa như Hình 2.11. Để chạy giao diện như hình 2.11 trong Matlab ta đánh smtgui.
2.3 Các hàm trong SMTP
Để sử dụng được SMTP ta phải lập trình một tập tin có đuôi .gd
(Geometry Description), đây là tập tin chứa thông về mặt cắt của sợi quang. Tập tin này được lập trình bằng Matlab. Tập tin có đuôi .gd thực ra là tập tin chứa dữ liệu của Matlab (.mat) được lưu lại với đuôi .gd. SMTP cũng cung cấp một số hàm để thuận tiện hơn trong việc tạo ra tập tin có đuôi .gd. Các hàm để tạo ra tập tin gd là:
Curve = primitive(shape,....). Nếu shape là ‘circle’ (Hình tròn) thì thông số tiếp theo sẽ là bán kính của hình tròn. Ta có thể dùng hàm primitive để tạo ra hình ellip và một số hình khác tùy vào hình dạng của mặt cắt sợi quang.
Curvearray = clone(xs,ys,curve). Hàm clone dùng để phân bố đường cong curve (được tạo ra bằng hàm primitive) tại tọa độ (xs,ys). (xs,ys) có thể là một dãy các tọa độ, khi đó ta sẽ tạo ra được một dãy các đường cong curve theo ý muốn.
Trong tập tin gd sẽ có chứa các thông số sau:
nSouces : Số các điểm nguồn điện từ (sources) (hình 2.4 và 2.6) nTestingPoints : Số các điểm testing (hình 2.4 và 2.6)
alphaIn, alphaOut : Ví trí của các nguồn điện từ length : Độ dài của đường cong curve
iCurve : Số thứ tự của đường cong curve xc,yc : Ví trí trung tâm của đường cong curve v.v...
SMTP còn sử dụng tập tin có đuôi .se (session). Đây là tập tin dữ liệu chứa cả tập tin gd và các thông số và kết quả tìm được trong quá trình tính toán và mô phỏng trường điện từ như: chiết suất hiệu dụng (neff), bước sóng ánh sáng (), sai số E v.v....
Cách thức tìm các mốt của trường điện từ cũng như lưu lại các thông số trong các tập tin .gd hay .se sẽ đơn giản nhiều nếu ta sử dụng phần giao diện đồ họa của SMTP thay cho các hàm.
2.4 Sử dụng giao diện đồ họa của SMTP
Trong chương trình Matlab tại thư mục hiện hành của SMTP (smtp_release) ta đánh smtgui thì sẽ có được giao diện như Hình 2.11.
Để mở một hình mặt cắt của sợi quang ta chọn File -> Open Session/Geometry...(Hình 2.12)
Hình 2.12: Giao diện để tập tin .gd (hoặc .se)
Chọn một tập tin .gd (hoặc .se) chương trình sẽ mở mặt cắt của một sợi quang (Hình 2.11).
Để đặt hằng số điện môi cho vùng vật liệu chọn Properties -> Set Material Parameters ta sẽ được giao diện như Hình 2.13
Hình 2.13: Giao diện xác định hằng số điện môi tương đối của vật liệu Để đặt hằng số điện môi tương đối (r) cho một vùng vật liệu thì cho chọn vùng vật liệu đó và đánh giá trị hằng số điện môi tương đối (r) vào ô Relative Permittivity (Hình 2.13). Nếu ta điền vào ô Relative Permittivity chữ sellmeier thì vùng vật liệu được chọn là silica có hằng số điện môi được tính theo công thức sellmeier.
Để đặt các nguồn (sources) và các điểm testing (Hình 2.4 và 2.6) ta chọn Properties -> Set Source Parameters, ta sẽ được hình 2.14.
Tại hình 2.14 ô No. of Sources ta điền vào số các điểm nguồn, tại ô No. of Testing Points ta điền vào số các điểm testing. Tại khung Distances from
Boundaries ta sẽ điền vào vị trí của các nguồn điện từ. Giả sử các điểm testing được phân bố trên biên của đường tròn có bán kính R, nếu ta điền vào ô Inner Sources là in thì các điểm nguồn sẽ được phân bố bên trong cách biên một đoạn inR, tương tự nếu ta điền vào ô Outer Sources là out thì các điểm nguồn sẽ được phân bố bên ngoài cách biên một đoạn outR. Ta nhấn nút Distribute... các điểm nguồn và testing sẽ được phân theo các thông số đã xác định.
Để tìm các mốt của trường điện từ ta chọn Solve -> Find Modes ta sẽ được giao diện như hình 2.15
Hình 2.15: Giao diện tìm các mốt trường điện từ
Tại hình 2.15 ta điền vào ô Wavelength bước sóng của ánh sáng truyền trong sợi quang. Ta điền vào khung Effective index range giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chiết suất hiệu dụng (neff), ta điền vào ô Max. Points in monotonic interval (Nmax) số điểm tính trong một đoạn chiết suất hiệu dụng. Tại khung Eigenvalue detemination nếu ta chọn “Direct”, trị riêng sẽ được tính theo phương pháp IRAM, nếu ta chọn “Indirect”, trị riêng sẽ được tính theo phương pháp GSVD. Nhấn nút Calculate chương sẽ bắt đầu tìm các mốt. Kết quả giá trị chiết suất hiệu dụng (neff) của các mốt được hiện trong hình 2.16
Hình 2.16: Hình ảnh thể hiện kết quả chiết suất hiệu dụng (neff) của các mốt trường điện từ
Để vẽ các mốt của trường điện từ ta chọn Solve -> Plot Fields sẽ được giao diện như Hình 2.17
Hình 2.17: Giao diện để vẽ các mốt của trường điện từ Trong hình 2.17 tại khung Mode parameters ta đánh vào bước sóng (Wavelength) và chiết suất hiệu dụng (Effective Index) của trường điện từ, ta cũng có thể chọn các giá trị này từ các giá trị đã tìm được và lưu tại khung Select from recent results. Tại ô Component ta chọn thành phần của mốt trường điện từ mà mình muốn vẽ. Nhấn nút Plot chương trình sẽ vẽ mốt của trường điện từ theo các thông số đã được xác định.
CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ VAØ THẢO LUẬN
Các thành phần của trường điện từ trong sợi tinh thể quang tử PCF phụ thuộc vào vật liệu và cấu trúc của sợi tinh thể quang tử PCF. Đề tài này chủ yếu nghiên cứu các sợi tinh thể quang tử PCF được làm bằng Silica (SiO2) xen giữa với các đường tròn không khí. Cấu trúc của sợi tinh thể quang tử PCF được hình thành là do sự sắp xếp lớp tinh thể quang tử (các đường tròn xung quanh lõi) thành những hình dạng (được gọi là mạng) khác nhau. Trong phần này đề tài sẽ đưa ra kết quả của sợi tinh thể quang tử PCF thuộc các mạng sau:
+ Mạng hình vuông + Mạng lục giác
+ Mạng bát giác + Mạng thập giác
Các thành phần của trường điện từ, vectơ Poynting và đường cong tán sắc của tinh thể quang tử PCF thuộc các mạng trên sẽ được tính toán và mô phỏng dựa trên thuật toán SMT. Kết quả sẽ được so sánh với các phương pháp mô phỏng khác cũng như một số kết quả thực nghiệm.
1. Mạng Hình Vuông
1.1 Giới thiệu
Sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông (square-lattice) là sợi tinh thể quang tử PCF có lớp tinh thể quang tử bao quanh lõi (core) theo hình vuông (Hình 3.1)
Hình 3.1: Mặt cắt của sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông có 2 vòng tinh thể quang tử
Trong hình 3.1 các đường tròn có đường kính d thường là không khí. Khoảng cách giữa hai đường tròn kế cận nhau được gọi là hằng số mạng (A). Xen giữa các đường tròn là một loại vật liệu (thường là Silica) có chiết suất cao hơn chiết suất của vật liệu bên trong đường tròn.
1.2 Trường điện từ
Các thành phần của trường điện từ trong tinh thể quang tử PCF phụ thuộc vào đường kính d của các đường tròn, hằng số mạng và bước sóng . Tùy thuộc vào các thông số cũng như bước sóng ánh sáng mà trường điện từ có hình dạng khác nhau
Hình 3.2 Các thành phần điện trường của sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông với d/ = 0.57 , / = 0.127.
Hình 3.3 Các thành phần từ trường của sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông với d/ = 0.57 , / = 0.127.
Hình 3.2 và 3.3 cho ta thấy hình ảnh các thành phần của trường điện từ trong hệ tọa độ Đề các của một sợi tinh thể mạng hình vuông. Các thành phần của trường điện từ được tính toán và mô phỏng bằng thuật toán SMT với các thông số như sau: Số điểm nguồn N = 150, số điểm testing M = 300, in = 0.5 và out = 1.1.
Hình 3.4 [14]là điện trường của sợi tinh thể mạng hình vuông được mô phỏng bằng phương pháp FEM kết hợp với điều kiện biên PML, so sánh với hình 3.2 ta thấy kết quả của hai phương pháp khá giống nhau. Hình ảnh của trường điện từ bị ảnh hưởng bởi tính đối xứng của mạng hình vuông đặc biệt là vòng thứ nhất, từ vòng thứ hai trở đi chỉ có tác dụng làm giảm tổn hao năng lượng chứ không ảnh hưởng đến hình dạng của trường điện từ trong sợi tinh thể quang tử PCF.
Hình 3.4 Các thành phần của điện trường (a) Hx, (b) Hy, (c) Hz, (d) Sz được tính toán và mô phỏng bằng phương pháp FEM (Finite Element Method)
Hình 3.5 Giá trị tuyệt đối của các thành phần điện trường của sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông với d/ = 0.9
Hình 3.6 Giá trị tuyệt đối của các thành phần từ trường của sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông với d/ = 0.9
1.3 Vectơ Poynting
Vectơ Poynting chính là đại lượng đặc trưng cho năng lượng của trường điện từ thoát ra khỏi sợi tinh thể quang tử PCF.
Hình 3.7 Vectơ Poynting của sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông với d/ = 0.57 , / = 0.127.
Hình 3.7 là vectơ Poynting của sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông được tính toán bằng phương pháp SMT. So sánh hình 3.7 và hình 3.4 (d) [14]ta thấy kết quả của hai phương pháp (SMT và FEM) tương tự nhau. Đối với mốt này trong sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông như hình 3.7 thì năng lượng truyền trong sợi quang tập trung ở 4 góc (hình 3.7)
(a) (b)
Hình 3.8 Vectơ Poynting của sợi tinh thể PCF mạng hình vuông (a) d/ = 0.5 và (b) d/ = 0.9
Hình 3.9 Sự phân bố năng lượng trong sợi tinh thể quang tử PCF mạng hình vuông với (a) d/ = 0.5, (b) d/ = 0.9 được mô phỏng bằng phương pháp FEM
Hình 3.8 mô tả năng lượng của trường điện từ truyền trong 2 sợi tinh thể quang tử PCF bằng thuật toán SMT với thông số d/ khác nhau. So sánh với hình 3.9 [17]cũng mô phỏng năng lượng của 2 sợi tinh tử PCF có cùng thông số với hình 3.8 nhưng bằng thuật toán FEM kết hợp với phương pháp số Galerkin,