trình vi phân ngẫu nhiên
1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
ngẫu nhiên với hệ số khơng chính qui
Trước hết, về lịch sử của sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Xét X = (Xt)0≤t≤T là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên
dXt = b(Xt)dt+σ(Xt)dWt
trong đó W = (Wt)0≤t<T là chuyển động Brown d-chiều tiêu chuẩn xác định
trên không gian xác suất (Ω,F,P) và b = b(1), . . . , b(d)∗
: Rd → Rd và
σ = (σi,j)1≤i,j≤d : Rd → Rd×d. Phương pháp để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm thường được sử dụng làdãy xấp xỉ Picard [47], hoặc nguyên lý ánh xạ co. Khi các hệ số của phương trình thoả mãn điều kiện Lipschitz
tồn cục, có thể xây dựng được ánh xạ co trên không gianL2 để chứng minh sự hội tụ của dãy xấp xỉ và tính duy nhất theo quỹ đạo của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên [70]. Khi các hệ số của phương trình khơng thoả mãn điều kiện Lipschitz tồn cục người ta cần phải sử dụng các phương pháp tinh vi hơn. Các kết quả cổ điển về bài toán martingale của Stroock và Varadhan [66] đóng vai trị cốt lõi trong chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm theo phân phối xác suất cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số dịch chuyển b đo được, bị chặn và hệ số khuếch tán σ bị chặn, elliptic đều và liên tục. Krylov [42] sau đó đã mở rộng kết quả cho trường hợp hệ số khuếch tán đo được. Veretennikov [68] chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên nhiều chiều với hệ số dịch chuyển b là bị chặn và hệ số σ là Lipschitz và elliptic đều. Trong trường hợp phương trình có dạngdXt = σ(Xt)dWt, bằng cách sử dụng phương pháp đổi thời gian, Engelbert và Schmidt đã đưa ra các điều kiện cần và đủ cho sự
tồn tại và duy nhất theo phân phối của nghiệm phương trình vi phân một chiều (xem [38]). Yamada và Watanabe [71] đã chứng minh rằng nếu phương trình vi phân ngẫu nhiên có duy nhất nghiệm theo nghĩa quỹ đạo thì nó cũng có duy nhất nghiệm theo nghĩa phân phối xác suất và nếu phương trình vi phân ngẫu nhiên có duy nhất nghiệm theo nghĩa quỹ đạo thì nghiệm yếu của phương trình cũng chính là nghiệm mạnh. Hơn nữa, Yamada và Watanabe
cũng chứng minh được rằng nếu hệ số dịch chuyển liên tục Lipschitz và hệ s khuch tỏn liờn tc 1/2-Hăolder thì sự tồn tại nghiệm yếu và tính duy nhất theo quỹ đạo được thỏa mãn, do đó nó có nghiệm mạnh duy nhất. Bài tốn về tính duy nhất theo quỹ đạo cũng là đề tài quan tâm của rất nhiều nhà nghiên cứu, đặc biệt cho lớp phương trình hệ số khơng Lipschitz ([44], [68], [74]). Ở đây, cần chú ý rằng Girsanov đã đưa ra phản ví dụ về phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khuếch tán liên tục α-Hăolder vi α ∈ (0; 1/2)
mà ở đó, phương trình khơng thỏa mãn tính duy nhất nhiệm theo quỹ đạo ([9]). Tanaka cũng đưa ra ví dụ về phương trình vi phân ngẫu nhiên Tanaka có hệ số khuếch tán là hàm dấu, trong đó phương trình khơng có nghiệm mạnh nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện duy nhất theo phân phối ([38]).
Giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khơng chính qui
Maruyama [50] là một trong những người khởi xướng việc xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên bởi một dãy các q trình có cấu trúc đơn giản hơn. Nghiên cứu của ông đã thúc đẩy sự ra đời của một trong những phương pháp xấp xỉ phổ biến nhất hiện nay và được đặt tên là phương pháp Euler-Maruyama. Phương pháp này được chứng minh có tốc độ hội tụ 1/2
trong L2 nếu các hệ số của phương trình liên tục Lipschitz tồn cục [41]. Các phương pháp xấp xỉ bậc cao nhằm tăng tốc độ hội tụ cũng được phát triển mạnh mẽ ngay sau đó. Milstein [52] là người đầu tiên đưa ra phương pháp xấp xỉ bậc cao cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khả vi liên tục cấp hai, phương pháp này ngày nay được gọi là lược đồ Milstein. Lược đồ Milstein có tốc độ hội tụ 1trong L2. Rất nhiều tác giả đã phát triển các lược đồ có cấp cao hơn khi các hệ số của phương trình đủ trơn ([41],[53], [43])
Khi các hệ số của phương trình khơng chính qui, tức là khơng thoả mãn điều kiện Lipschitz, thì việc áp dụng các lược đồ bậc cao ở trên là rất khó khăn. Trong trường hợp đó, người ta chỉ có thể xây dựng các lược đồ xấp xỉ đơn giản dạng Euler-Maruyama. Có ba lớp hệ số khơng chính qui được quan tâm đặc biệt: 1) hệ số khơng đủ trơn, tức là nó chỉ liờn tc Hăolder hoc khụng liên tục; 2) hệ số tăng trên tuyến tính; 3) hệ số khơng xác định tại một số điểm hữu hạn.
Về lớp hệ số thứ nhất, Hairer, Hutzenthaler và Jentzen [23] đưa ra ví dụ về một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ sốb bị chặn và khả vi vô hạn, hệ số σ là hằng số nhưng xấp xỉ EM của nó khơng hội tụ tới nghiệm theo cả nghĩa mạnh và nghĩa yếu với bất cứ tốc độ dương nào. Ý tưởng của họ là chọn b bị chặn, khả vi vô hạn nhưng đạo hàm của b có độ biến động rất cao, tức là b khơng thoả mãn điều kiện Lipschitz tồn cục. Trong [31], Hefter và Jentzen chỉ ra rằng đối với phương trình mơ tả q trình Cox–Ingersoll–Ross,
Xt = x+ Z t 0 (a−bXs) ds+ Z t 0 σpXsdWs,
tốc độ hội tụ của mọi phương pháp xấp xỉ rời rạc đều trở nên rất chậm khi tham số σ lớn. Lưu ý rằng hệ số khuếch tán của phương trình này liên
tc Hăolder cấp 1/2. Mt khỏc, Gyăongy và Rásonyi [21] đã chứng minh rằng nếu phương trình có hệ số dịch chuyển Lipschitz và hệ số khuếch tán liờn tc Hăolder cấp(1/2+α)thì lược đồ Euler có tốc độ hội tụ làα trongL1. Phương pháp xấp xỉ Yamada-Watanabe [21] đã mở đường cho rất nhiều nghiên cứu về phép xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khuếch tán liờn tc Hăolder ([55], [56], [3]). Cũng cần lưu ý rằng các kết quả trên đều chỉ được áp dụng cho lớp các phương trình có hệ số tăng khơng q tuyến tính. Về lớp hệ số thứ hai, Hutzenthaler, Jentzen và Kloeden [33] xét phương trình dXt = − 1 2σ¯ 2Xt−Xt3 dt+ ¯σXtdWt và X0 = 1.
Các tác giả đã chỉ ra rằng đối với các phương trình có hệ số b là tăng trên tuyến tính và hệ số σ bị chặn tuyến tính như phương trình trên thì mơ men của nghiệm xấp xỉ Euler-Maruyama cổ điển phân kỳ trong khi mô men của nghiệm đúng lại hữu hạn. Điều này chứng tỏ lược đồ Euler-Maruyama cổ điển không hội tụ trong Lp và do đó đặt ra yêu cầu cải tiến lược đồ này. Hu [29] và Higham, Mao và Stuart [26] đưa ra lược đồ Euler-Maruyama dạng ẩn và chứng minh lược đồ này hội tụ nếu hệ số khuyếch tán là Lipschitz và hệ số dịch chuyển là Lipschitz một phía. Ưu điểm của lược đồ dạng ẩn là nghiệm xấp xỉ thường bảo tồn được nhiều tính chất của nghiệm đúng, tuy nhiên ở mỗi bước xấp xỉ ta đều phải giải phương trình hoặc hệ phương trình đại số, điều này dẫn tới mất nhiều thời gian tính tốn hơn. Gần đây một loạt các phương pháp "khống chế" dạng hiển ra đời để giải quyết vấn đề này. Hutzenthaler, Jentzen và Kloeden [34] và Sabanis [63] giới thiệu một lược đồ dạng hiển là lược đồ Euler khống chế cho phương trình với các hệ số tăng trên tuyến tính và Lipschitz địa phương. Wang và Gan [69] giới thiệu lược đồ Milstein khống chế cho trường hợp hệ số dịch chuyển tăng trên tuyến tính và hệ số khuếch tán có đạo hàm liên tục Lipschitz. Mao [48] giới thiệu lược đồ Euler-Maruyama chặt cho phương trình có các hệ số là Lipschitz địa phương. Điểm cốt lõi của các phương pháp khống chế này là xấp xỉ các hệ số của phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng các hàm bị chặn. Cần lưu ý rằng các kết quả trên đều được áp dụng cho lớp các phương trình có hệ số khuếch tán
Ví dụ tiêu biểu về các phương trình có hệ số thuộc lớp thứ ba là quá trình Bessel và chuyển động Dyson-Brown. Quá trình Bessel là nghiệm của phương trình
dXt = dWt + n−1 2Xt dt.
Hệ số dịch chuyển b của phương trình này nổ tại 0. Mặc dù vậy, bằng cách
đổi biến Yt = Xt2, kết quả thu được Yt là quá trình Cox-Ingersoll-Ross và do đó bài tốn xấp xỉ được đưa về trường hợp đầu tiên. Tuy nhiên trong trường hợp nhiều chiều, ví dụ như với chuyển động Dyson-Brown thì khơng tồn tại phép biến đổi như vậy. Cụ thể, với mỗi d ≥ 2 và T > 0, chuyển động
Dyson-Brown dchiều X = nX(t) = (X1(t), . . . , Xd(t))>o
0≤t≤T với tham số
β ≥ 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
dXi(t) = β2 P k;k6=i dt Xi(t)−Xk(t) +dWi(t), i = 1, . . . , d, X(0) = ¯x,
trong đó x¯ là điều kiện ban đầu thuộc miền∆d = {(x1, . . . , xd)> ∈ Rd;x1 < . . . < xd} và W = nW(t) = (W1(t), . . . , Wd(t))>o
0≤t≤T là chuyển động Brown tiêu chuẩn d chiều xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P) với lọc {F(t)}0≤t≤T. Khi β = 1,2,4 thì X là quá trình giá trị riêng của chuyển động Brown nhận giá trị ma trận [12]. Các lý thuyết sau đó được phát triển bởi Bru ([6], [7]), trong đó tác giả chứng minh các giá trị riêng của quá trình Wishart cũng thỏa mãn hệ dạng Dyson
Xi(t) =Xi(0) + Z t 0 X j6=i γij Xi(s)−Xj(s) +bi(Xi(s)) ! ds + Z t 0 σi(Xi(s))dWi(s), 1 ≤i ≤d.
Các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình dạng Dyson được chứng minh bởi Cépa và Lépingle [8], Graczyk và Malecki [15], Lépingle [45], Rogers và Shi [61], Naganuma và Taguchi [54]. Phương pháp giải số lần đầu tiên được đưa bởi Li và Menon [46], trong đó các tác giả sử dụng lược đồ Euler-Maruyama khống chế. Tuy nhiên lược đồ này khơng đảm bảo tính chất ln nằm trong miền∆d của nghiệm. Nói chung, bài tốn xây dựng nghiệm xấp xỉ bảo tồn tính chất hình học của nghiệm đúng trong
trường hợp nhiều chiều là bài tốn khó. Jentzen, Kloeden và Neuenkirch [37] giới thiệu phép xấp xỉ Euler-Maruyama hình chiếu cho phương trình vi phân ngẫu nhiên nhiều chiều nhận giá trị trong một miền và xác định được tốc độ hội tụ của phương pháp theo nghĩa quỹ đạo. Tuy nhiên phương pháp Euler- Maruyama hình chiếu khơng thể áp dụng cho chuyển động Dyson-Brown vì hệ số của phương trình này nổ trên biên của miền giá trị của nghiệm. Gần đây, Ngơ Hồng Long và Taguchi [58] đã đưa ra phương pháp Euler-Maruyama nửa ẩn để xấp xỉ nghiệm, đồng thời bảo tồn tính chất nằm trong miền ∆d
của nghiệm. Các tác giả đã chứng minh nghiệm xấp xỉ của lược đồ Euler- Maruyama nửa ẩn hội tụ tới nghiệm đúng với tốc độ 1/2. Hơn nữa nếu hệ số khuếch tán σ là hằng số và hệ số dịch chuyển b là khả vi đến cấp 2 thì lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn có tốc độ hội tụ là 1. Chú ý rằng, cho đến nay vẫn chưa có nghiên cứu nào về lược đồ xấp xỉ cấp cao khi hệ số σ trơn.
1.3.2 Tính ổn định của nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ
Dáng điệu của nghiệm trong tương lai xa đóng vai trị quan trọng trong nhiều lĩnh vực như lý thuyết quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết điều khiển và tối ưu [40]. Higham, Mao và Yuan [28] đã chỉ ra phản ví dụ về phương trình vi phân ngẫu nhiên có nghiệm đúng ổn định mơ men nhưng nghiệm xấp xỉ Euler-Maruyama cổ điển thì khơng. Do đó việc xây dựng nghiệm xấp xỉ bảo tồn tính chất tiệm cận của nghiệm đúng có ý nghĩa về cả phương diện lý thuyết và ứng dụng. Phương pháp cổ điển để nghiên cứu tính bị chặn của mô men của nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ là sử dụng hàm Lyapunov, điển hình là hàm | · |p với p ≥ 2. Gần đây kết quả về tính V-khả tích tổng qt hóa các hàm Lyapunov được thiết lập cho các lược đồ Euler-Maruyama và các biến thể của nó [32]. Szpruch và Zhang [67] chứng minh tính V-khả tích cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với điều kiện giảm nhẹ hơn. Gou, Mao và Yue [17] đã chứng minh tính ổn định mũ trung bình bậc hai cho lược đồ Euler-Maruyama chặt từng phần bảo tồn. Liu và Mao [30] chứng minh tính ổn định hầu chắc chắn cho lược đồ Euler-Maruyama với bước nhảy là biến ngẫu nhiên. Szpruch và Zhang [67] thiết lập tính ổn định tiệm cận cho lược đồ Euler-Maruyama khống chế và lược đồ chiếu. Cần lưu ý rằng các kết quả
trên chỉ áp dụng cho phương trình với hệ số liên tục Lipschitz địa phương.
1.4 Kết luận Chương 1
Như vậy, các kết quả cơ bản về việc giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số chính quy đã được luận án trình bày sơ lược trong chương này. Ở phần còn lại, luận án đặt ra mục tiêu hướng tới là giải quyết các câu hỏi còn mở trong lĩnh vực giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên như:
• Xây dựng và đánh giá tốc độ hội tụ của lược xấp xỉ nghiệm cho phương trình vi phân với hệ số tăng trên tuyến tính v h s liờn tc Hăolder. • Thiết lập một lược đồ xấp xỉ mới cho lớp các phương trình có hệ số
Hăolder va m bo tớnh hội tụ, vừa đảm bảo tính ổn định tương đồng với nghiệm đúng.
LƯỢC ĐỒ EULER – MARUYAMA KHỐNG CHẾ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
Trong chương này, Luận án xây dựng và đánh giá tốc độ hội tụ cho lược đồ xấp xỉ Euler - Maruyama khống chế cho lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có các hệ số tăng a thc, Lipschitz v Hăolder địa phương.
2.1 Giới thiệu bài tốn
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên (PTVPNN)
Xt = x0+ Z t 0 b(s, Xs)ds+ Z t 0 σ(s, Xs)dWs, x0 ∈ R, t ∈ [0, T], (2.1)
trong đó (Wt)0≤t≤T là chuyển động Brown tiêu chuẩn xác định trên không gian xác suất trang bị lọc (Ω,F,(Ft)t≥0,P).
Kết quả cổ điển cho biết khi b và σ liên tục Lipschitz, lược đồ xấp xỉ Euler-Maruyama cổ điển có tốc độ hội tụ mạnh 1/2 [41]. Gần đây, các kết quả tương tự trường hợp hệ số không Lipschitz được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Tốc độ hội tụ của lược đồ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ s khuych tỏn liờn tc Hăolder được đề cập trong [72], [21], [56] (cũng trong [1], [4], [11] là một số các lược đồ xấp xỉ cho mơ hình dạng Cox-Ingersoll-Ross). Haier, Hutzenthaler và Jentzen [23] đã chỉ ra một ví dụ về phương trình vi phân ngẫu nhiên với các hệ số trơn và bị chặn sao cho xấp xỉ Euler-Maruyama thông thường hội tụ đến nghiệm đúng theo cả nghĩa mạnh và nghĩa yếu nhưng không xác định được tốc độ hội tụ dạng đa thức. Hơn nữa, Haier, Hutzenthaler và Jentzen [33] cũng chỉ ra rằng nếu b
là tăng trên tuyến tính thì mơ men trị tuyệt đối của xấp xỉ Euler-Maruyama thơng thường có thể phân kỳ trong khi mơ men trị tuyệt đối của nghiệm lại hữu hạn. Do đó, lược đồ Euler-Maruyama thơng thường có thể khơng hội tụ
theo trong Lp. Có hai cách cơ bản để vượt qua điều này. Cách thứ nhất là sử dụng lược đồ Euler-Maruyama ẩn như phương pháp của Higham, Mao và Stuart [26] hay như phương pháp của Hu [29]. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, ở mỗi bước xấp xỉ ta cần giải một phương trình đại số mà khơng có biểu diễn nghiệm đúng. Gần đây, các nghiên cứu của Hutzenthaler, Jentzen, Kloeden [34] và Sabanis [63] giới thiệu thêm cách giải quyết khác được gọi là lược đồ Euler-Maruyama khống chế. Đây là lược đồ dạng hiển, trong đó hệ số dịch chuyển được khống chế sao cho nó bị chặn. Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng khi hệ số khuếch tán σ là liên tục Lipschitz và hệ số dịch chuyển b là tăng trên tuyến tính và Lipschitz một phía, lược đồ Euler-Maruyama khống