Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên (PTVPNN)
Xt = x0+ Z t 0 b(s, Xs)ds+ Z t 0 σ(s, Xs)dWs, x0 ∈ R, t ∈ [0, T], (2.1)
trong đó (Wt)0≤t≤T là chuyển động Brown tiêu chuẩn xác định trên không gian xác suất trang bị lọc (Ω,F,(Ft)t≥0,P).
Kết quả cổ điển cho biết khi b và σ liên tục Lipschitz, lược đồ xấp xỉ Euler-Maruyama cổ điển có tốc độ hội tụ mạnh 1/2 [41]. Gần đây, các kết quả tương tự trường hợp hệ số không Lipschitz được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Tốc độ hội tụ của lược đồ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ s khuych tỏn liờn tc Hăolder được đề cập trong [72], [21], [56] (cũng trong [1], [4], [11] là một số các lược đồ xấp xỉ cho mơ hình dạng Cox-Ingersoll-Ross). Haier, Hutzenthaler và Jentzen [23] đã chỉ ra một ví dụ về phương trình vi phân ngẫu nhiên với các hệ số trơn và bị chặn sao cho xấp xỉ Euler-Maruyama thông thường hội tụ đến nghiệm đúng theo cả nghĩa mạnh và nghĩa yếu nhưng không xác định được tốc độ hội tụ dạng đa thức. Hơn nữa, Haier, Hutzenthaler và Jentzen [33] cũng chỉ ra rằng nếu b
là tăng trên tuyến tính thì mơ men trị tuyệt đối của xấp xỉ Euler-Maruyama thơng thường có thể phân kỳ trong khi mơ men trị tuyệt đối của nghiệm lại hữu hạn. Do đó, lược đồ Euler-Maruyama thơng thường có thể khơng hội tụ
theo trong Lp. Có hai cách cơ bản để vượt qua điều này. Cách thứ nhất là sử dụng lược đồ Euler-Maruyama ẩn như phương pháp của Higham, Mao và Stuart [26] hay như phương pháp của Hu [29]. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, ở mỗi bước xấp xỉ ta cần giải một phương trình đại số mà khơng có biểu diễn nghiệm đúng. Gần đây, các nghiên cứu của Hutzenthaler, Jentzen, Kloeden [34] và Sabanis [63] giới thiệu thêm cách giải quyết khác được gọi là lược đồ Euler-Maruyama khống chế. Đây là lược đồ dạng hiển, trong đó hệ số dịch chuyển được khống chế sao cho nó bị chặn. Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng khi hệ số khuếch tán σ là liên tục Lipschitz và hệ số dịch chuyển b là tăng trên tuyến tính và Lipschitz một phía, lược đồ Euler-Maruyama khống chế có tốc độ hội tụ mạnh là 1/2.