Để nghiên cứu các quá trình vật lý, người ta thường phải sử dụng toán học như một công cụ hữu hiệu, một loại mô hình đôi khi không thể thay thế được có tính vạn năng. Tuy nhiên, toán học chỉ là một sản phẩm của tư duy trừu tượng – nó không thể thay thế được thực tại khách quan.
Ví dụ 1. Vận tốc tức thời và gia tốc tức thời. Để mô tả chuyển động của một
vật thể, ta có thể viết phương trình chuyển động của nó:
F dt t x d m dt t dV m t ma = = 2 = 2 ( ) ) ( ) ( (P24.1) ở đây x(t) – là một hàm trong HTĐ x0t biểu diễn quãng đường mà vật đi được;
dt t dx t V () ) ( = và dt t dV t a () ) ( = (P24.2) là vận tốc tức thời và gia tốc tức thời tương ứng cũng trong HTĐ đó. Giải phương trình (P24.1) ra ta được hàm x(t). Nếu xét từ phương diện toán học thuần tuý thì
V(t) là độ dốc của đường x(t) tại điểm ứng với hoành độ là t trong mặt phẳng toạ
độ x0t so với trục hoành 0t, còn a(t) là độ dốc của đường V(t) cũng tại điểm đó. Nhưng từ phương diện vật lý, khái niệm “vận tốc tức thời” được mô phỏng bởi hàm V(t) lại không có nghĩa bởi vì đơn giản là nếu chỉ mới nói tới một “thời điểm” t nào đó thôi thì vật chưa “dịch chuyển” đi đâu cả thì làm gì có khái niệm “vận tốc”? Ở đây chỉ có khái niệm “vận tốc trung bình” được hiểu như là “quãng đường” mà vật đi được sau một “khoảng thời gian” mới có ý nghĩa vật lý. Tương tự như vậy đối với “gia tốc tức thời”.
Ví dụ 2. Tần số tức thời. Đối với các quá trình dao động, có sự lặp đi, lặp lại
một trạng thái nhất định gọi là chu kỳ T, người ta sử dụng khái niệm tần số dao
động f được định nghĩa là “số chu kỳ dao động trong một đơn vị thời gian”:
T
f 1
= . (P24.3) Ở đây cả chu kỳ lẫn tần số đều là các khái niệm chỉ thuộc về một quá trình diễn biến theo thời gian ở dạng hiển chứ không thể có khái niệm ở tại một thời điểm và, hơn thế nữa, lại không thể liên tục theo thời gian. Thí dụ như Trái đất quay xung quanh Mặt trời với chu kỳ bằng 365 ngày, đối với nó, không thể nói là tại “thời điểm” 0h00’ngày 1/1/2007 chu kỳ của nó là 365 ngày bởi vì chỉ khi đã trải qua 365 ngày, Trái đất mới có thể hoàn thành xong 1 chu kỳ và rồi nhờ vào công thức (P24.3) để tính ra tần số quay của nó. Vậy thì làm sao có thể biểu diễn T hay
f như một hàm của thời gian tại các thời điểm 1h00’, 2h00’ v.v.. cùng ngày 1/1/2007 được đây? Nói cách khác, những đại lượng này chỉ có nghĩa trong một
được hiểu với nghĩa ở mục 1.1.3. Chính vì vậy, không thể có khái niệm “chu kỳ tức thời” hay “tần số tức thời”, cũng như coi chúng là một “hàm liên tục của thời gian” để rồi áp dụng các phép tính vi phân hay tích phân một cách tùy tiện.
Ví dụ 3. Cường độ điện trường. Trong lý thuyết trường điện từ, người ta gán cho mỗi điểm của trường một đại lượng đặc trưng được gọi là “véc tơ cường độ điện trường” xác định theo biểu thức (3.7), về thực chất là đem chia lực tương tác cho giá trị điện tích của vật thể đang tồn tại ở điểm đó, kết quả là biểu thức (3.7) không còn phụ thuộc vào điện tích của vật thể đó nữa. Trên cơ sở đó, người ta tiến hành khảo sát cái gọi là điện trường hoàn toàn độc lập với các điện tích tồn tại trong đó – lý thuyết trường điện từ ra đời. Tuy nhiên, người ta lại quên đi mất một chi tiết là phép chia đó, về thực chất chỉ là một thao tác toán học thuần túy, không vì thế mà vật thể cùng với điện tích của nó biến mất khỏi điểm đó – nó vẫn tồn tại ở đó bất luận anh “chia chác” thế nào! Vậy một câu hỏi đặt ra là điều gì sẽ xẩy ra khi cùng với thao tác chia đó, ta vứt bỏ luôn vật thể tích điện đó ra khỏi điện trường? Tại điểm đó sẽ chỉ còn chơ vơ lại cái gọi là “véc tơ cường độ điện trường
E”? Thật đáng tiếc là không phải như vậy. Từ quan điểm duy vật biện chứng đã
nói tới ở Chương I, mỗi thực thể vật lý phải bao gồm 2 thành phần: vật thể và trường, và hơn thế nữa, nó chỉ có thể được coi là tồn tại khi nó tương tác với một thực thể vật lý khác; khi chỉ còn lại một mình – khái niệm không gian “ngoại vi” là vô nghĩa, tức là khái niệm trường cũng vô nghĩa theo, và kết quả cái gọi là “chỉ còn lại một mình” cũng vô nghĩa nốt! Nó cách khác, nếu vứt bỏ vật thể tích điện ra khỏi điểm đang xét đồng nghĩa với “không còn gì để nói”. Có thể làm một động tác ngược lại, ta sẽ thấy rõ hơn điều đó. Cụ thể là tại điểm đang xét đó, ta đặt một vật thể có điện tích lớn hơn rất nhiều điện tích của vật thể có điện trường đang cần khảo sát, khi đó, bất luận anh có thực hiện phép chia điện tích hay không chia điện tích, cái được gọi là điện trường ban đầu đã không còn nữa – nó đã bị biến dạng, và không chỉ ở riêng tại điểm đó mà là toàn bộ các điểm khác nữa. Phép chia đó
về mặt toán học rõ ràng không hề sai nhưng nó có giới hạn của nó. Giới hạn đó cần phải được tính đến.
Ngoài ra, còn phải kể đến không-thời gian 4 chiều Mincopsky, Riemann... trong thuyết tương đối – đều chỉ là những không gian thuần túy toán học chứ không không liên quan gì tới không gian vật chất như đã được đề cập tới ở mục
1.1.2, hay như việc áp dụng giải tích véc tơ ở mục 1.3.3. Như vậy, cho dù là thuận
tiện đến đâu đi chăng nữa, vẫn cần phải biết “điểm dừng” khi chuyển tải những khái niệm trừu tượng của tư duy sang những khái niệm vật lý, nếu không, sẽ vô tình tạo điều kiện để “siêu hình” len lỏi vào vật lý lúc nào không biết. Trường hợp tương tự như vậy đã xẩy ra đối với “sóng điện từ” - một nghiệm của phương trình Maxwell như ở Phụ lục 4.