CHƢƠNG 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.3. Dạng tốn về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
2.3.1. Chú ý khi giải bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng và đường
cạnh của góc C tại A và B . Biết bán kính đường trịn này có độ dài R .
a) Tính độ dài đoạn thẳng OC .
b) Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi phần ngồi hình trịn tâm O với phần trong tam giác ngoài ABC.
Bài 3. Cho tam giác ABC có 0
A = 36 , AC = b , AB = c (với b > c ). Đường kính EF của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC tại M . Gọi I và J là chân đường vng góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC . Gọi H và K là chân đường vng góc hạ từ F xuống các đường thẳng
AB và AC .
a) Chứng minh các tứ giác AIEJ và CMJE nội tiếp.
b) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c .
c) Tính IH + JK theo b, c .
2.3. Dạng tốn về vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và đƣờng trịn
2.3.1. Chú ý khi giải bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn trịn
Những bài tốn liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn thường tổng hợp nhiều kiến thức. Vậy nên, đối với dạng bài tập này HS cần tổng hợp một lượng kiến thức bao quát, thấy được mối liên hệ giữa cái đã biết, cái đã cho với cái phải tìm và phải chứng minh.
2.3.2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1:
Cho đoạn thẳng AB dài 2a có trung điểm là O . Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng đường trịn (O) đường kính AB và đường trịn (O') đường kính AO . Trên (O') lấy một điểm M (khác A và O ), tia OM cắt C tại . Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O') .
a) Chứng minh ADM cân.
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E , xác định vị trí tương đối của đường thẳng EA đối với (O) và (O') .
c) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N . Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng.
d) Tại vị trí của M sao cho EM // AB , hãy tính độ dài đoạn thẳng OM theo a .
*) Phân tích, tìm lời giải (sử dụng sơ đồ phân tích đi lên):
D A E C M N B O H O' a) ADM cân ⇑ MOD = DOA ⇑
OAD cân tại O , OD CA (gt)
b) EA là tiếp tuyến chung của (O) và (O')
⇑ 0 EAO = ECO = 90 ⇑ AOE = COE (gt) c) Giả sử N' = AM (O) ⇓
⇓
N N' ⟹ Đpcm.
d) Dựng MK AO
⇓
AEMK là hcn
Áp dụng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giac vng AMO sẽ tính được MO.
*) Lời giải:
a) Ta có OAD cân tại O , có OD CA nên MOD = DOA Suy ra DM = AD hay ADM cân tại D .
b) Xét AOE và COE có: CO = OA (bán kính (O) , EOA = COE , EO
chung.Suy ra AOE = COE nên 0
EAO = ECO = 90 . Vậy EA là tiếp tuyến chung của (O) và (O') . c) Giả sử AM cắt đường trịn (O) tại N'. Vì AOC = 2AN'C nên COH = CN'H
Từ đó suy ra tứ giác CHON' là tứ giác nội tiếp. Do đó N N' hay A, M, N thẳng hàng.
d) Dựng MK AO. Vì EM // AB nên MEO cân tại M và tứ giác AEMK là hình chữ nhật.
Đặt ME = MO = x .
Áp dụng định lý Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vng AMO ta có:
2 2 2 2 2 MO = AO - AM = AO - AO.AK = AO - AO.ME 2 2 x = a - ax x = a ( 5-1)1 2 . Bài toán 2:
Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ đường trịn đường kính AM và đường trịn đường kính AD . Tiếp tuyến tại D của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của đường tròn lớn cắt nhau tại B . Lấy P bất kì trên cung nhỏ AC . Nối
DP , cắt đường tròn nhỏ tại K . Chứng minh rằng AP là phân giác của góc BAK .
*) Phân tích, tìm lời giải (sử dụng sơ đồ phân tích đi xuống):
Gọi Q = (D) AK. AP là phân giác BAK
⇓
BAP = KAP ⇓
AB = PQ
⇓
DP AQ tại K (hiển nhiên)
*) Lời giải:
Ta có: 0
AKD = 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn, đường kính AD) Vậy DP AQ tại K nên AB = PQ .
Từ đó suy ra BAP = KAP (cùng chắn 2 cung bằng nhau) Vậy AP là phân giác của BAK .
Bài toán 3:
Cho (O) và đường thẳng xy ở ngoài (O) . Kẻ OA vng góc với xy . Qua A kẻ một tiếp tuyến cắt (O) tại B và C . Tiếp tuyến tại B và C cắt xy lần lượt tại D và E . Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng DE .
*) Phân tích, tìm lời giải (sử dụng sơ đồ phân tích đi lên):
A là trung điểm DE ⇑ AE = AD P B C Q K M D A
⇑
OED cân tại O ⇑ OE = OD ⇑ OCE = OAD ⇑ COE = BOD ⇑
COE = CAE và CAE = BOD (cm được)
*) Lời giải:
Theo bài ra ta có OCE + EAO = 180 suy ra tứ giác 0 COAE nội tiếp đường trịn
Từ đó ta có COE = CAE (cùng chắn cung CE ) (1)
Lại có 0
OBD = OBD = 90 nên tứ giác ABOD nội tiếp đường tròn
Suy ra CAE = BOD (hai góc cùng bù với BAD ) (2)
Từ (1) và (2) ta có COE = BOD.
Xét OCE và OAD có : OCE = ODA = 90 0 OA = CE
COE = BOD (cmt)
Vậy OCE = OAD suy ra OE = OD nên OED cân tại O .
Trong tam giác cân OED có OA là đường cao cũng là đường trung tuyến. Vậy A là trung điểm của ED.
2.3.3. Một số bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B , tiếp tuyến
chung với hai đường tròn (O) và (O') về phía nửa mặt phẳng bờ OO' chứa
C O B E A D y x
điểm B có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O) , (O) thứ tự tại C, D . Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I .
a) Chứng minh IA vng góc với CD .
b) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF .
Bài 2. Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD song song với AC . Nối BK cắt AC ở I .
a) Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD song song với AC .
b) Cho góc 0
BAC = 60 . Chứng minh cát tuyến AKD đi qua O .
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R và M là một
điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C và D .