Hướng dẫn: Mỗi bài tốn hoặc một phần chính của mỗi bài tốn được tính 5 điểm, như được chỉ ra, và tổng cộng là 90 điểm. Làm mỗi bài toán trên một tờ giấy riêng. Trừ khi có ghi chú khác, nên trình bày bài làm chi tiết và kiểm tra các khẳng định của bạn.
Bài 1. (10 điểm).
(1) Chứng minh rằng mỗi nhóm con của một nhóm cyclic cũng cyclic.
(2) Hãy xác định, sai khác một đẳng cấu, các nhóm abel hữu hạn sinh có tính chất là mỗi nhóm con thực sự đều cyclic.
Bài 2. (5 điểm). ChoGlà một nhóm. Định nghĩa một nhóm conH ∈Glà đặc trưng (charac- teristic) nếu với mỗi đẳng cấuϕ:G→Gta cóϕ(H)⊂H. Bây giờ giả sử rằngH ≤Glà một nhóm con chuẩn tắc vàK≤H là một nhóm con đặc trưng của H. Chứng minh rằngKlà một nhóm con chuẩn tắc củaG.
Bài 3. (5 điểm). ChoGlà một nhóm abel hữu hạn cấpn, trong đó tốn tử nhân giữa hai phần
tử được viết theo kiểu nhân. Giả sử rằng ánh xạf :x→xmlà một tự đẳng cấu củaG, với một số
nguyên dươngmcho trước. Chứng minh rằngmvànnguyên tố cùng nhau.
Bài 4.(10 điểm). ChoV là một không gian vector phức hữu hạn chiều, và L(V)là khơng gian phức các ánh xạ tuyến tínhV →V. Với mỗiA∈L(V), hàm sốTA:L(V)→L(V)định nghĩa bởi
TA(X) =AX−XA, ∀X ∈L(V)
là một ánh xạ tuyến tính.
(1) Giả sử rằng A, B ∈L(V) có cùng dạng chuẩn tắc Jordan (Jordan canonical form). Chứng minh rằngTA vàTB cũng có cùng dạng chuẩn tắc.
(2) Giả sử rằng số chiều củaV là 2. Chứng minh rằng với mỗiA∈L(V)thìrank(TA)là 0 hoặc 2.
Bài 5.(5 điểm). ChoV là một không gian vector thực vàT :V →V là một ánh xạ tuyến tính. Giả sử rằng mỗi vector khác0 trong V đều là một vector riêng của T. Chứng minh rằng T bằng ánh xạ đồng nhất nhân với một hằng số.
Bài 6. (10 điểm). Trong bài này ta chỉ xét các ma trận trên trường số thực. (1) ChoAlà một ma trận thực2×2sao cho
A2+ 1 0 0 1 = 0 0 0 0 . Chứng minh rằng Ađồng dạng với ma trậnB = 0 1 −1 0 .
Tạp chí Tốn học MathVn Số 03-2009
(2) ChoAlà một ma trận thựcn×nsao choA2+In = 0trong đóIn là ma trận vuông đơn vị cấpn. Chứng minh rằng nếun= 2m thìAđồng dạng với ma trậnB =
0 Im
−Im 0
.
Bài 7. (10 điểm). ChoRlà một vành giao hoán với đơn vị1và chứa đúng 3 ideals. (1) Chứng minh rằng mỗi phần tử khác 0củaR là khả nghịch hoặc là ước của0.
(2) Điều ngược lại có đúng khơng? Chứng minh câu trả lời.
Bài 8.(5 điểm). Cho một số nguyên tốp, vàFplà trường củapphần tử. Giả sử rằng ước chung lớn nhất của hai đa thức
f(x) = 6x3+ 10x2−110x+ 16vàg(x) = 6x2+ 10x−16
trongFp[x]là 1. Tìmp.
Bài 9.(10 điểm). ChoF3 là trường hữu hạn với 3 phần tử vàF3là bao đóng đại số. Cho Klà trường phân rã (splitting field) củag(x) =x21−1.
(1) Tìm số nghiệm của g(x)trênF3.
(2) (a) Tìm số phần tử của K. (b) Số phần tử của trường con thực sự cực đại của A là bao nhiêu? (một trường con củaK gọi là trường con thực sự nếu nó khơng bằngK)
Bài 10 (10 điểm).
(1) Giả sửγ là mội số phức sao choγ2 là một số đại số trênQ. Chứng minh rằngγ là một số đại số trênQ..
(2) Choα, βlà các số phức sao choαlà số siêu việt trênQ. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai sốα−β vàαβ là số siêu việt
Bài 11(10 điểm). Cho D là một miền nguyên (domain). Hai ideals khác khôngI, J ⊂D được gọi là comaximal nếuI+J =D, và hai ideals gọi là coprime nếu if I∩J =I·J.
(1) Chứng minh rằng nếu hai ideals I, J⊂Dlà comaximal thì chúng cũng coprime.
(2) Chứng minh rằng nếuDlà một vành chính (PID, tức là một miền nguyên mà mọi ideal đều sinh ra từ 1 phần tử) và hai idealsI, J⊂D là coprime, thì chúng là comaximal.