Bài 1.Đại lượng ngẫu nhiênX có phương sai hữu hạn và không đồng nhất bằng 0. Chứng minh rằngP(X= 0)≤(E(X2))−1D(X)
Bài 2.Các tập hợpA1, A2, ..., A2000⊂A, mỗi tập chứa tối thiểu là 6 phần tử và khơng có 2 tập
nào trùng nhau. Chứng minh tồn tại 100 phân hoạch của tậpA, mỗi phân hoạch tạo bởi 5 tập con
đôi một không giao nhauE1, E2, E3, E4, E5 sao cho mỗi tập Ai chứa ít nhất hai tậpEi.
Bài 3. Từ container A mà trong đó có 1000 quả táo xanh và 3000 quả táo đỏ người ta lấy ra một nửa số táo và chuyển sang containerB mà trong đó đã có 3000 quả táo xanh và 1000 quả táo đỏ. Sau đó từ containerB người ta lấy ra một quả táo. Tính xác suất để quả táo đó là quả táo xanh.
Bài 4.Cư dân thành phốN sau khi tan sở yêu thích đi câu cá. Giờ tan sở của họ là ngẫu nhiên. Ở trong hồ có cá chép và cá rơ. Tỷ lệ các chép làp. Trong thành phố có một đạo luật cấm 1 người
không được bắt quá 1 con cá chép trong một ngày, và cư dân thành phố thì rất tuân thủ pháp luật, do đó cứ sau khi câu được cá chép đầu tiên là họ sẽ ra về. Hãy tính tỷ lệ số cá chép mà cư dân thành phố câu được.
Bài 5.Dãy các đại lượng ngẫu nhiên(Xn)n∈Nhội tụ theo xác suất về đại lượng ngẫu nhiênX
sao cho với mỗin Xn vàX độc lập. Phải chẳngX bằng hằng số hầu khắp nơi?
Bài 6. Cho dãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, ... với phân phối Poisson ứng với tham số
λ= 1. Chứng minh rằngE(max{X1, X2, ..., Xn}) =O(lnn)khi n→ ∞.
Bài 7. Cho (Sn)n∈N là dãy đại lượng ngẫu nhiên sao cho S0 = 0, Sn = ξ1 +...+ξn, ở
đây (ξj)j∈N là đại lượng ngẫu nhiên đạt giá trị bằng 1 hoặc -1 ứng với xác suất là 1/2. Kí hiệu
τ= inf{n∈N : Sn = 0}. Vớia∈NtìmE(Na)vớiNa =|{j < τ : Sj=a}|.
Bài 8.Cho quá trình WienerW = (Wt)t≥0. Tìm kì vọng của thời gian mà đồ thị của nó vượt cao hơn đường thẳngy =t. Viết và tính phương sai của thời gian này dưới dạng tích phân các hàm cơ bản.
Bài 9. Thực nghiệm với đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình µ chưa biết, phương sai bằng 1. Để ước lượng µ ta sử dụng biểu thức f(X) với f là hàm liên tục và
E(f(X)2)<+∞ với mọiµ. Chứng tỏ giá trị nhỏ nhất (xác định trên tất cả các hàmf thỏa mãn điều như vậy) củasupµ∈RE(f(X)−µ)2 đạt được tại hàmf(x) =x
Bài 10. Với p > 0, vàX1, X2, ..., Xn là các đại lượng ngẫu nhiên trong cùng một không gian xác suất, sao cho với mọi > 0 dãy
∞
X
n=1
n−1P( max
k=1,2,...,n|Xk| > n1/p) hội tụ. Chứng minh rằng
Tạp chí Tốn học MathVn Số 03-2009