AHB vuông tạ iA (giả thiết AH là tiếp tuyến của đường tròn)

□AJB  900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn (O)) suy ra AJ là đường cao của tam giác AHB

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vng AHB ta có

AJ.HB = AH.AB.

b)Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên một đường trịn.

Vì OH là đường trung trực của đoạn thẳng AK (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên OH vng góc với AK  H□ IA  900

Ta lại có H□ JA  900 => tứ giác AIJH nội tiếp đường trịn  J□AH  J□IH (góc nội tiếp cùng chắn cung JH)

Mặt khác

J□AH  □ABH □ABH

(do cùng phụ với góc □AHB )

 J□IH  □ABH

Mà □JIH  J□IO  1800  □ABH  J□IO  1800

PB B A K O D F I E C

c) Đường thẳng vng góc với AB tại O cắt CH tại P. Tính AH - HP

.

Ta có OP // AH (vì cùng vng góc với AB)

HP CP

 □AHO  H□OP (so le trong)

Mà □AHO  O□HK (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  O□HK  H□OP

Suy ra tam giác HOP cân tại H => HP = OP (**)

Áp dụng định lý Ta let trong tam giác AHC ta có : AH = CH

Þ AH - OP = CH - CP OP CP OP CP OP CP Þ AH - 1 = HP Þ AH - HP = 1 (do (**)) OP CP HP CP

Bài 6. (Bài 5 - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Lào Cai )

Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngồi đường trịn (O). kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B và C là các tiếp điểm) với đường tròn. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB < AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D và E (MD < ME), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp.

b) Chứng minh FD.FE  FB.FC; FI  FE  FD.FE

c) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt đường tròn (O) tại K (K khác Q). Chứng minh 3 điểm P, K, M thẳng hàng.

M

a) Do MB, MC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên O□BM  O□CM  900Xét tứ giác MBOC có: Xét tứ giác MBOC có:

giác nội tiếp. O

□BM  O□CM  1800

suy ra tứ giác MBOC là tứ

b) Xét tam giác FBD và tam giác FEC có:B□FD  B□FD 

E□FC F□DB  F□CE

(đđ)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

 FBD FECg  g  FB  FD  FD.FE  FB.FC1

FE FC Ta có AB// ME suy ra B□AC  D□ IC

Mà B□AC  M□ BC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

 D□ IC  M□ BC  M□ BF  C□ IF Xét tam giác FBM và tam giác FIC có:

B□FM  I□FC (đđ) M□ BF  C□ IFcmt

 FBM FICg  g  FB  FM  FI.FM  FB.FC2

FI FC Từ (1) và (2)  FI.FM  FD.FE3

c) Xét tam giác FDK và tam giác FQE có:K□FD  E□FQ (đđ) K□FD  E□FQ (đđ)

F□KD  F□EQ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung DQ)

 FKD ∽ FEQ (g.g)

 FK FE FD FQ FD.FE  FK.FQ4

Từ (3) và (4)  FI.FM  FK.FQ  FM  FK

FQ FI Xét tam giác FMQ và tam giác FKI có:

□

FM

 FK cmt

FQ FI M□ FQ  K□ FI

 FMQ ∽ FKI (c.g.c)  F□MQ  F□KI Suy ra tứ giác KIQM là tứ giác nội tiếp

 M□QK  M□ IQ(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MQ) Ta có

M□ BF  C□ IF  M□ BC  M□ IF suy ra tứ giác MBIC là tứ giác nội tiếp