Lý thuyết mô hình, đồng dạng và phép phân tích thứ nguyên

6. Cấu trúc luận án

2.5.1. Lý thuyết mô hình, đồng dạng và phép phân tích thứ nguyên

2.5.1.1. Lý thuyết mô hình

Mô hình là một biểu diễn một hệ thống kỹ thuật thông qua hoặc các khái niệm, hoặc các phƣơng trình toán học, hoặc bằng vật thể thực. Tƣơng ứng với mỗi cách biểu diễn đó, sẽ có các dạng: mô hình khái niệm, mô hình toán, hoặc mô hình vật lý. Mô hình đƣợc sử dụng để tái tạo một thiết bị, hệ thống thực nhƣng hoặc đơn giản hơn, hoặc nhỏ gọn hơn. Hơn nữa, sử dụng mô hình cho phép thiết lập các điều kiện thử nghiệm mà nhiều khi không có sẵn trong thực tế. Nói cách khác, mô hình là một công cụ hữu hiệu cho phép thử nghiệm ứng xử của một đối tƣợng, một hệ thống kỹ thuật trong điều kiện làm việc có thể điều khiển đƣợc theo ý ngƣời thử nghiệm. Nghiên cứu trên mô hình là một trong những phƣơng pháp nghiên cứu thực nghiệm hiện đại dùng để nghiên cứu các hiện tƣợng phức tạp.

Trong nghiên cứu kỹ thuật, thƣờng sử dụng mô hình toán học hoặc mô hình vật lý. Mô hình toán học là một hệ thống các phƣơng trình toán học mô tả quan hệ tƣơng tác trong hệ thống. Mô hình vật lý bao gồm các đối tƣợng vật lý thực, có kích thƣớc thu nhỏ hoặc giữ nguyên so với đối tƣợng, hệ thống thực cần nghiên cứu. Vấn đề cần quan tâm khi xây dựng mô hình nghiên cứu là, cần xác định các hệ số tỷ lệ giữa các giá trị của đại lƣợng đặc trƣng trong hệ thống thực với các giá trị đó của mô hình thực nghiệm. Lý thuyết đồng dạng (similarity theory hoặc similitude

theory) có thể đƣợc sử dụng để xác định các hệ số tỷ lệ khi xây dựng mô hình thực nghiệm và quan trọng hơn, để chuyển đổi các thông số thu đƣợc từ kết quả nghiên cứu trên mô hình sang các hệ thống thực.

2.5.1.2. Lý thuyết đồng dạng a. Giới thiệu a. Giới thiệu

Lý thuyết đồng dạng là học thuyết về phƣơng pháp nghiên cứu các hiện tƣợng, đối tƣợng vật lý thông qua các phép phân tích về tính đồng dạng, tỷ lệ đồng dạng giữa chúng.

Quan hệ về kích thƣớc, hình học giữa mô hình thực nghiệm và hệ thống thực thƣờng đƣợc xác định một cách dễ dàng thông qua hệ số tỷ lệ. Tuy nhiên, việc xác định các thông số thử nghiệm về điều kiện làm việc thì không đơn giản nhƣ vậy. Các thông số về nhiệt độ, áp suất, vận tốc, tính chất dòng chảy... phải đƣợc xác định một cách độc lập và khoa học.

Lý thuyết đồng dạng chỉ ra rằng, các điều kiện để đảm bảo hai hệ (ở đây là hệ thống thực và mô hình thực nghiệm) đƣợc coi là đồng dạng khi:

- Đồng dạng hình học (Geometric similarity): Hai hệ có cùng hình dáng hình học, có kích thƣớc theo tỷ lệ.

- Đồng dạng động học (Kinematic similarity): Dòng chảy của chất lỏng trong cả hai hệ phải tƣơng tự nhau về tốc độ và hƣớng dòng chảy.

- Đồng dạng động lực học (Dynamic similarity): Tỷ lệ giữa các thành phần lực tác động lên các phần tử của chất lỏng trong hai hệ là nhƣ nhau.

Để thoả mãn các điều kiện đồng dạng nói trên, các yêu cầu cơ bản cần thoả mãn là:

- Các tham số mô tả hệ thống phải đƣợc định danh thông qua việc sử dụng các nguyên tắc của cơ học môi trƣờng liên tục.

- Cần sử dụng phép phân tích thứ nguyên (Dimensional analysis) để loại bỏ tối đa số biến phụ thuộc, đồng thời sử dụng tối đa các tham số không thứ nguyên.

- Giá trị của các tham số không thứ nguyên là nhƣ nhau trong cả hai hệ. Điều này đảm bảo điều kiện đồng dạng động lực học giữa hai hệ.

Một số khái niệm của lý thuyết đồng dạng đƣợc tóm tắt nhƣ dƣới đây.

Hệ số đồng dạng của một đại lƣợng nào đó là tỷ lệ giữa giá trị đo đại lƣợng đó trên hệ thống thực với giá trị đại lƣợng đó trên mô hình. Hệ số đồng dạng là cơ sở để xác định các thông số kết cấu của mô hình dựa trên cơ sở hệ thống thực. Nó cũng đƣợc dùng để chuyển đổi kết quả nghiên cứu trên mô hình sang dãy máy thực.

Chuẩn số đồng dạng (Pk) là tỷ số giữa một đại lƣợng (Ak) với một hay một tập hợp các đại lƣợng khác (A’k) của các hiện tƣợng xảy ra: Pk = Ak/A’k.

Để đảm bảo yêu cầu đồng dạng, các chuẩn số đồng dạng của mô hình (PkM) và của hệ thống thực (PkV) phải bằng nhau (PkM = PkV).

Chuẩn số đồng dạng thể hiện bản chất lý thuyết đồng dạng và chúng đƣợc biểu diễn bằng chuẩn số đồng dạng thông số (mô tả quan hệ không thứ nguyên các thông số kích thƣớc); chuẩn số đồng dạng giải tích (tập hợp những quan hệ không thứ nguyên của các đại lƣợng vật lý nhƣ chuẩn số đồng dạng Niu tơn - Ne, chuẩn số Râynôn - Re, chuẩn số Frut - Fr, chuẩn số Galilê - Ga).

Chuẩn số đồng dạng xác lập mối quan hệ giữa các đại lƣợng của đối tƣợng nghiên cứu. Phụ thuộc vào cách đặt vấn đề nghiên cứu, dạng thông tin đầu vào, số lƣợng và dạng các chuẩn số có thể khác nhau. Qua tính toán ta có thể tìm đƣợc các chuẩn số dẫn xuất phù hợp với đối tƣợng nghiên cứu với đầy đủ tính chất vật lý.

Về nguyên tắc, các chuẩn số đồng dạng là các đại lƣợng không thứ nguyên. Với ý nghĩa đó, tất cả các đại lƣợng vật lý (chẳng hạn: góc, hệ số ma sát, hiệu suất...) đƣợc coi nhƣ bất biến của đồng dạng, tức là bảo toàn về mặt hiện tƣợng trong phép biến đổi đồng dạng. Trong nhiều trƣờng hợp, các đại lƣợng thứ nguyên riêng rẽ cần đảm bảo nhƣ nhau, nghĩa là có hệ số đồng dạng bằng nhau, tức là:

c 0 1 M x x x   (2.19) Trong đó: xc: Hệ số đồng dạng; x0: Vật thực; xM: Mô hình

Theo lý thuyết đồng dạng vật lý, đồng dạng giữa đối tƣợng và mô hình có cùng hiện tƣợng vật lý, các loại đồng dạng thƣờng đƣợc sử dụng gồm đồng dạng hình học, đồng dạng tĩnh học, đồng dạng động học và đồng dạng động lực học. Đồng dạng động lực học là loại đồng dạng cơ bản khi vận dụng nghiên cứu về máy nghiền và đĩa nghiền bột giấy.

b. Định lý đồng dạng

- Định lý đồng dạng thứ nhất:

Định lý này đƣợc phát biểu nhƣ sau: Nếu hai hệ đồng dạng với nhau thì chúng có chung chuẩn số đồng dạng.

Một cách phát biểu khác của định lý thứ nhất là: Các hiện tƣợng đồng dạng có chỉ số đồng dạng là bằng nhau và bằng đơn vị.

- Định lý đồng dạng thứ hai - Định lý П:

Phát biểu định lý: Mỗi phƣơng trình vật lý đƣợc mô tả trong một hệ thống đo nhất định có thể biểu diễn dƣới dạng hàm số của các chuẩn số đồng dạng:

     1 ( 2, 3, 4...,m k ) (2.20) Trong đó: m là số đại lƣợng trong phƣơng trình; k là số đơn vị cơ bản cần chọn khi xác định hệ thống.

Phƣơng trình chuẩn số đồng dạng nói trên đƣợc thể hiện ở dạng hàm ẩn. Dạng tƣờng minh của hàm này không thể xác định trực tiếp từ lý thuyết đồng dạng [6]. Thông thƣờng, các tham số của phƣơng trình đƣợc xác định bằng thực nghiệm sau khi nhận đƣợc các chuẩn số có liên quan đến lời giải của bài toán.

- Định lý đồng dạng thứ ba:

Định lý này phát biểu rằng, hai mô hình có chung chuẩn số đồng dạng thì đồng dạng nhau. Đây là cơ sở của phép mô hình hoá. Định lý này trả lời cho câu hỏi về điều kiện cần và đủ để các quá trình và hiện tƣợng là đồng dạng.

c. Phƣơng pháp xác định chuẩn số đồng dạng

Khi xác định chuẩn số đồng dạng, thƣờng xảy ra hai trƣờng hợp: - Phƣơng trình nghiên cứu các hiện tƣợng là không rõ.

- Phƣơng trình nghiên cứu các hiện tƣợng đã rõ ràng.

Trong trƣờng hợp thứ nhất, thƣờng dùng phép phân tích thứ nguyên theo định lý П. Khi đó, cần xem xét có những đại lƣợng nào tham gia vào quá trình và ảnh hƣởng của quá trình đó đối với kết quả cuối cùng.

Trình tự các bƣớc xác định các chuẩn số đồng dạng đƣợc thực hiện nhƣ sau: + Xác định số các đại lƣợng phụ thuộc.

+ Viết thứ nguyên các đại lƣợng phụ thuộc m.

+ Chọn đại lƣợng cơ bản và xác định số lƣợng các chuẩn số. + Viết phƣơng trình thứ nguyên.

+ Xác định các chuẩn số đồng dạng dựa trên cơ sở phân tích thứ nguyên. + Xác định phƣơng trình chuẩn số đồng dạng.

Nhƣ đã nói ở trên, điều kiện quan trọng để đảm bảo tính chân thực của quan hệ giữa mô hình và hệ thống thực, nhƣ lý thuyết đồng dạng đã chỉ rõ, là phải đảm bảo tính toàn vẹn của thứ nguyên trong các mô tả mô hình. Phần tiếp theo tóm tắt cơ sở của lý thuyết thứ nguyên và tiếp sau đó, cách áp dụng lý thuyết mô hình – đồng dạng - thứ nguyên để xây dựng mô hình thực nghiệm.

2.5.1.3. Lý thuyết thứ nguyên

Trong khoa học, sử dụng ba đại lƣợng vật lý cơ bản là khối lƣợng M, chiều dài L, thời gian T. Thứ nguyên của một đại lƣợng nào đó khác có thể biểu diễn theo ba đơn vị cơ bản đó. Chẳng hạn, thứ nguyên của diện tích đƣợc biểu diễn là L2 (chiều dài bình phƣơng), vận tốc là L/T, lực là ML/T2…

Một cách tổng quát, thứ nguyên của một đại lƣợng A bất kỳ có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng:

{A} = MµLλTτ

Lý thuyết thứ nguyên đƣợc dùng trong lý thuyết đồng dạng nhằm xác định tỷ lệ giữa các thông số của mô hình và của vật thực. Bản chất của lý thuyết thứ nguyên đƣợc tóm tắt nhƣ dƣới đây.

Bất kỳ phƣơng trình vật lý nào cũng đều đồng nhất. Cụ thể hơn, cả hai vế của một phƣơng trình vật lý đều có thứ nguyên nhƣ nhau, không phụ thuộc vào cách chọn hệ đại lƣợng vật lý. Nguyên tắc đó là bắt buộc với cả các phƣơng trình chƣa biết. Sử dụng tính đồng nhất của thứ nguyên cho phép nhà nghiên cứu thành lập đƣợc quan hệ giữa các đại lƣợng mô tả các hiện tƣợng vật lý khác nhau ngay cả khi chƣa biết dạng của phƣơng trình quan hệ.

Phép phân tích thứ nguyên (Dimensional Analysis) là quá trình loại bỏ các thông tin ngoại lai ra khỏi bài toán bằng cách xây dựng các nhóm không thứ nguyên (Dimensional Groups). Theo quan điểm thứ nguyên, trong các hệ thống đồng dạng, các đại lƣợng không thứ nguyên có cùng giá trị, ngay cả khi các đại lƣợng còn lại có giá trị khác nhau.

Sử dụng lý thuyết thứ nguyên nâng cao khả năng xử lý đối tƣợng thực nghiệm, đồng thời cho phép xác định và xử lý thông tin thu đƣợc từ kết quả thực nghiệm trên mô hình. Trong một số trƣờng hợp phức tạp, thông tin nhận đƣợc từ thực nghiệm có thể đƣợc phân tích thứ nguyên nhằm xác định mối liên hệ giữa các yêu tố dễ dàng hơn. Lý thuyết thứ nguyên đƣợc dùng một cách có hiệu quả trong qui hoạch thực nghiệm, nhất là khi mối quan hệ toán học không rõ ràng hoặc rất phức tạp.

Lý thuyết thứ nguyên có thể biểu diễn ngắn gọn dƣới dạng:

U = f(x1,x2,…xn) (2.21) Hay biểu diễn cụ thể hơn dƣới dạng hàm mũ:

U C x x x. 1n1 2n2 3n3...xnnn1 (2.22) Trong các công thức trên, U là hàm thứ nguyên; n1,n2,…n3 là số mũ cần tìm. Lý thuyết [6] chỉ ra rằng, hàm số U = f(x, y, z) có thể đƣợc biến đổi về dạng

.

thực nghiệm. Dạng hàm U C x y z.   sẽ đƣợc sử dụng cho bài toán xây dựng mô hình thực nghiệm cho máy nghiền đĩa trong nghiên cứu này.

2.5.2. Ứng dụng của lý thuyết mô hình - đồng dạng - thứ nguyên

Phần trên đã trình bày các cơ sở của lý thuyết mô hình - đồng dạng - thứ nguyên. Phần này sẽ trình bày cách thức áp dụng các lý thuyết này cho mục đích chọn lọc các thông số để xây dựng mô hình thực nghiệm, cũng nhƣ để chuyển đổi các thông số nghiên cứu trên mô hình thực sang các hệ thống thực.

Theo lý thuyết đồng dạng và mô hình, hệ số đồng dạng Hk của một đại lƣợng Ak nào đó, có thể suy ra từ hệ số đồng dạng cơ bản (ký hiệu là Ha, Hb, Hc) của ba đại lƣợng cơ bản Aa, Ab, Ac chọn trƣớc, sau khi đã nâng lên một luỹ thừa (số mũ ik, jk, qk) nhất định:

Hk = Haik. Hbjk. Hcqk (2.23) Đẳng thức trên vẫn đúng nếu ta thay các hệ số đồng dạng H của mỗi đại lƣợng A bằng các công thức thứ nguyên T tƣơng ứng:

Tk = Taik. Tbjk. Tcqk (2.24) Đẳng thức (2.24) phải thoả mãn hai điều kiện sau:

- Các số mũ trong công thức thứ nguyên Ta, Tb, Tc của ba đại lƣợng cơ bản phải tạo thành một định thức đặc trƣng khác không.

- Các số mũ ik,jk, qk phải làm cho tổng số mũ của ba đơn vị cơ bản (kg, m, s) ở hai vế của đẳng thức (2.24) bằng nhau.

Chẳng hạn, đối với các phƣơng trình cơ học cơ bản, cần đảm bảo tính đồng nhất đối với giá trị tính toán các đại lƣợng cơ bản của hệ thống đã cho. Chẳng hạn, xét phƣơng trình:

Trong đó, p1, p2,..., pn là đại lƣợng độc lập và x1, x2, ..., xn là hệ số không thứ nguyên.

Chọn ba đại lƣợng trong số pi (chẳng hạn p1, p2, p3) là các đại lƣợng cơ bản. Các phƣơng trình thứ nguyên p1, p2, p3 tƣơng ứng có dạng:

       1 1 1 1 p  M  L  T         2 2 2 2 p  M  L  T         3 3 3 3 p  M  L  T 

Logarit hoá những phƣơng trình trên nhận đƣợc:

 1 1   1   1   lg p  lg M  lg L  lg T  2 2   2   2   lg p  lg M  lg L  lg T  3 3   3   3   lg p  lg M  lg L  lg T

Hệ phƣơng trình trên có và chỉ có lời giải duy nhất nếu định thức đặc trƣng của các đại lƣợng đã chọn, đƣợc thiết lập từ hệ số các phƣơng trình trên, khác 0, tức là:

1 1 1 2 2 2 3 3 3 0                    

Khi đó phƣơng trình q = f(p1, p2,..., pn, x1, x2, ..., xn) đồng nhất ba mặt với p1, p2, p3 (phù hợp định lý đồng nhất) và thay p1, p2,..., pn với tỷ lệ các đại lƣợng cơ bản p1, p2, p3 sẽ nhận đƣợc: 3 1 2 4 5 1 2 1 2 3 1,1,1, , ,..., , , ,..., . . o o o n n n n n q F p p p x x x p p p         

Trong đó: 1i. 2i. 3i o i i p p p p p

 là các đại lƣợng không thứ nguyên. Do đó:

1i. 2i. 3i. (1,1,1, 4, 5,..., , ,1 2,..., )

o o o

n n

q p p p F p p p x x x

Các đại lƣợng cơ bản p1, p2, p3 đƣợc gọi là các chuẩn số đồng dạng, và đƣợc xem là những thông số phức hợp thể hiện ảnh hƣởng tổng hợp của các yếu tố riêng rẽ đối với quá trình.

Sử dụng các chuẩn số đồng dạng cho phép giảm bớt số lƣợng các biến số và từ đó giảm nhẹ công việc nghiên cứu. Giá trị không đổi của các chuẩn số sẽ ứng với nhiều tổ hợp khác nhau của các đại lƣợng cơ bản, nên khi đó thực chất không phải ta đi vào nghiên cứu từng trƣờng hợp riêng lẻ mà là trƣờng hợp tổng quát, và các qui luật rút ra cũng sẽ đúng với cả nhóm đối tƣợng cùng loại, từ đó có thể sắp xếp các máy có cùng qui luật chung thành từng họ. Nói cách khác, bằng cách chỉ cần thực hiện nghiên cứu trên một máy đƣợc coi là mô hình, kết quả thu đƣợc có thể đƣợc sử dụng để xác định các thông số của các dãy máy trong cùng hệ thống.

Kết kuận chƣơng 2

Chƣơng này đã trình bày những cơ sở lý thuyết căn bản, làm nền tảng cho việc xác định quan hệ giữa mô hình thực nghiệm với hệ thống thực. Mô hình thực nghiệm sẽ đƣợc sử dụng để tìm lời giải cho bài toán tối ƣu đa mục tiêu. Kết quả nghiên cứu trên mô hình thực nghiệm sau đó có thể phát triển thành các dãy máy thực (các hệ thống thực mới, tốt hơn).