- Dịch tần số và quá trình đồng bộ
Giới thiệu
3.2.2 Dung năng hệ thống MIMO
Dung năng hệ thống được định nghĩa là tốc độ truyền lớn nhất có thể sao cho xác suất lỗi nhỏ là tùy ý.
Ban đầu, ta giả sử rằng ma trận kênh truyền không biết tại nơi phát trong khi nó được biết chính xác tại nơi thu bằng ước lượng kênh truyền.
Theo lý thuyết phân tách ma trận SVD cho ma trận H (nR x nT) bất kỳ đều có thể viết như sau:
H = UDVH (3.14)
Với D là ma trận đường chéo khụng õm cú kích thước (nR x nT), U và V là ma trận vuông (nR x nR) và (nT x nT). Các ma trận này có những tính chất sau:
UUH = Inr và VVH = Int (3.15) Với Inr và Int là ma trận đơn vị (nR x nR) và (nT x nT). Các phần tử của ma trận đường chéo khụng õm và bằng căn bậc hai của trị riêng của ma trận HHH. Gọi λ trị riêng (eigen value) của HHH , được định nghĩa như sau:
HHH y = λy, y ≠ 0 (3.16) Với y là vecto cột (nR x 1) kết hợp với λ gọi là vecto riêng (eigenvector). Các phần tử đường chéo của D là các giá trị kỳ kị của H. Hơn nữa, các cột của ma trận U là những vecto riêng của HHH và các cột của ma trận V là những vecto riêng của HHH. Phương trình thu được viết lại như sau:
r = UDVHx + n (3.17) Nhân ma trận UH vào cả hai vế của phương trình trên ta được:
UHr = UHUDVHx + UHn (3.18) Đặt r’ = UHr, x’ = VHx, n’ = UHn. Ta thấy rằng các ma trận UH, VH như là hệ số tỷ lệ. Vecto n’ có phần thực và phần ảo là biến ngẫu nhiên Gauss trung bình bằng 0. Vì thế kênh truyền ban đầu có thể viết lại dưới dạng như sau:
r’ = Dx’ + n’ (3.19)
Số trị riờng khỏc không bằng hạng của ma trận D, ký hiệu là u. Với ma trận H (nR x nT), hạng của ma trận m = min(nR ,nT). Đặt là các giá trị riờng khỏc khụng của H, với i = 1,2,…,u. Bằng cách thế vào phương trình, các thành phần tín hiệu nhận được có dạng như sau:
ri’ = xi’ + ni i = 1,2,...,u (3.20)
ri’ = ni’ , i = u + 1, u +2,…, m (3.21)
Sơ đồ khối tương đương của hệ thống được mơ tả như sau:
Hình 3.7: Chuyền đổi kênh truyền MIMO thành cỏc kờnh truyền song song
Phương trình trên chứng tỏ rằng các thành phần tín hiệu nhận được ri’, i = u + 1, u +2,…, m. khơng phụ thuộc vào tín hiệu phát, có nghĩa là độ lợi kênh truyền là 0. Nói một cách khác, tín hiệu nhận được ri’, i = 1,2,…,u chỉ phụ thuộc vào tín hiệu phát xi’. Vỡ thế kênh truyền MIMO có thể xem như gồm u kênh truyền song song riêng rẽ, mỗi đường truyền thứ I có thơng số kênh tương ứng là
Trong trường hợp nT > nR, hạng của ma trận H nhỏ hơn nR, mơ hình tương đương của kênh truyền MIMO có thể mơ tả như sau:
Hình 3.9: Mụ hỡnh kênh truyền MIMO khi nR > nT
Lưu ý rằng mơ hình tương đương như trên, cỏc kờnh truyền khụng ghộp với nhau và dung lượng kênh truyền của chúng được cộng thêm vào.
Từ mơ hình hệ thống MIMO được biểu diễn qua phép biến đổi SVD, ta có thể mơ tả kênh truyền MIMO thông qua cấu trúc SVD như sau:
Giả sử rằng công suất phát từ mỗi anten trong mơ hình tương đương MIMO là P/nT, chúng ta có thể ước lượng dung lượng kênh truyền tổng cộng bằng công thức của Shannon là:
Với W là bưng thông của mỗi kênh truyền đơn và … được tính như sau:
Vì thế dung lượng kênh truyền của hệ thống MIMO như sau:
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng dung lượng kênh truyền có liên hệ với ma trận kênh truyền H. Giả sử rằng m = min(nR , nT). Quan hệ của trị riêng và vecto riêng có thể viết như sau:
Với Q là ma trận Wishart, được định nghĩa như sau:
Do đó, λ chính là trị riêng của Q nếu và chỉ nếu λIm – Q là ma trận kỳ dị. Vì thế det(λIm - Q) = 0, nghiệm của phương trình này là các giá trị λi. Chúng ta xem đa thức p(λ) như sau:
Với λi là nghiệm của đa thức p(λ) và bằng với trị riêng của ma trận kênh truyền. Ta có thể viết lại như sau:
(3.22) (3.23) (3.24) (3.25) (3.27) (3.28) (3.26)
Thế λ = - vào phương trình trên ta được:
Vậy cơng thức dung lượng kênh truyền từ công thức của Shannon như sau:
Lưu ý rằng nếu thông số kênh truyền là biến ngẫu nhiên thì phương trình của dung lượng kênh truyền C chính là dung lượng kênh truyền tức thời hoặc lượng tin tương hỗ. Giá trị trung bình của dung lượng kênh truyền C có thể thu được bằng cách lấy trung bình tất cả các giá trị có thể có của thơng số kênh truyền.
•Dung lượng kênh truyền do sự phân bổ cơng suất một cách thích nghi: Khi các thông số kênh truyền (CSI) được biết tại nơi phát, dung lượng kênh truyền được cho trong công thức ở trên có thể tăng lên bằng cách ấn định cơng suất phát đến các anten tùy thuộc vào luật đổ nước. Cấp nhiều công suất khi điều kiện kênh truyền là tốt và ít hoen nếu điều kện kênh truyền là xấu. Cấp công suất cho kênh truyền thứ i được cho bởi:
Với a+ ký hiệu là max(a,0) và μ được xác định sao cho:
Công suất nhận được tại kênh truyền thứ i trong mơ hình hệ thống MIMO được cho như sau:
Do đó dung lượng kênh truyền MIMO là:
•Dung lượng của kênh truyền MIMO fading Rayleigh nhanh và fading khối: Chúng ta sẽ rút ra biểu thức của thông số kênh truyền MIMO trong môi trường fading Rayleigh thay đổi nhanh. Thông số |h|2 trong biểu thức dung
Nguyễn Thị Linh (3.29) (3.30) (3.31) (3.32) (3.33) (3.34)
lượng cho một đường truyền đơn là một biến ngẫu nhiên có phân phối x2. Biến ngẫu nhiên này có thể biểu diễn như sau:
Với z1 và z2 là biến Gauss độc lập, trực giao, trung bình 0, phương sai là σr2, trong phần này được chuẩn hóa là ẵ. Hàm phân bố xác suất có dạng:
Dung lượng của kênh truyền fading thay đổi nhanh có thể thu được bằng cách ước lượng giá trị trung bình của C:
Với E[.] là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên x2.
Bằng cách sử dụng phương pháp SVD, kênh truyền MIMO fading nhanh với ma trận kênh truyền H có thể xem như tương đương như hệ tống với u ≤ min(nI,nR) kênh truyền song song, dung lượng kênh truyền tổng cộng là:
Với ... là giá trị riêng của ma trận kênh truyền H. Mặt khác, ta có thể viết lại dung lượng kênh truyền MIMO trung bình trong kênh truyền fading thay đổi nhanh là:
Đối với kênh truyền fading khối, kênh truyền là ergodic, dung lượng kênh truyền có thể ước lượng bằng đa thức Laguerre như sau:
Với m = min(nR,nT), n = max(nR,nT)
Và Lkn-m(x) là đa thức Laguerre bậc k, được định nghĩa là:
(3.36) (3.37) (3.38) (3.39) (3.40) (3.41)
Dung lượng kênh truyền phân tập anten phát bão hòa khi n ≥ 2, tức là đạt gần bằng tới giá trị dung lượng kênh truyền lớn nhất có thể (tiệm cận). Giá trị giới hạn này được tính như sau:
•Dung lượng kênh truyền MIMO Fading Rayleigh chậm:
Bây giờ chúng ta xem xét kênh truyền mIMO khi ma trận H được chọn ngẫu nhiên, theo phân phối Rayleigh, tại bắt đầu thời điểm truyền và giữ không đổi trong một khối dữ liệu chiều dài L. Ví dụ như một hệ thống LAN không dây với tốc độ dữ liệu rất cao và tốc độ fading thấp, vì thế một trạng thái fading có thể giữ khơng đổi qua một khối dữ liệu khoảng một triệu ký tự. Như vậy đã giả sử từ trước, thơng số kênh truyền được ước lượng hồn hảo tại nơi thu và không biết tại nơi phát.
Trong hệ thống này, dung lượng kênh truyền C được tính bởi cơng thức (2) là 1 biến ngẫu nhiên. Nó có thể thậm chí bằng 0, nếu có một xác suất lỗi tùy ý, bất chấp dùng loại mó gỡ. Trong trường hợp này chúng ta ước lượng dung lượng kênh truyền dùng làm hàm phân phối tích lũy bù CCDF (Complementary Cumulative Distribution Function). Hàm CCDF định nghĩa là xác suất để một mức dung lượng cụ thể được cung cấp, ký hiệu là PC. Xác suất ngừng hoạt động (out tage probability) ký hiệu là Pout là xác suất không đạt được mức dung lượng xác định và bằng 1 – PC.
•Xác suất ngừng hoạt động: Với một tốc độ bít R cho trước và cơng suất tín hiệu trên nhiễu là SNR hoặc ρ, xác suất mà dung lượng kênh truyền không đủ để đường truyền tin cậy:
•Hàm phân phối tích lũy bù: với SNR đã cho, xác suất để dung lượng kênh truyền đủ để đường truyền tin cậy:
(3.42)
(3.43)
3.3 Kết luận:
MIMO là hệ thống đa anten ở đầu phát và đầu thu, hệ thống MIMO làm tăng độ lợi phân tập nhờ các kỹ thuật như kỹ thuật phân tập không gian, thời gian, tần số, làm tăng độ lợi mã hóa nhờ kỹ thuật mã hóa như mã hóa khơng gian thời gian cùng với kỹ thuật kết hợp tín hiệu tại máy thu như SC, EGC, MRC để làm tăng SNR của hệ thống. Đồng thời hệ MIMO cũng là tăng dung năng trong kênh truyền MIMO, điều này có thể chứng minh được thơng qua việc tính dung năng kênh truyền MIMO bằng cách sử dụng cấu trúc SVD biến đổi kênh MIMO thành nhiều kênh SISO. Trong chương tiếp theo sẽ tìm hiểu kỹ thuật OFDM kết hợp với MIMO.
CHƯƠNG 4