VI. CÔNG THỨC TAYLOR 1 ịnh lý Taylor
Bài 3 Ứng dụng của đạo hàm
VII .ỨNG DỤNG:TÍNH XẤP XỈ VÀ TÍNH GIỚI HẠN 1.Tắnh gần đúng (hay tắnh xấp xỉ ) và tắnh giới hạn
Ta thýờng dùng khai triển Taylor và khai triển Maclaurin để tắnh xấp xỉ giá trị của hàm f(x) sau khi chọn n đủ lớn để phần dý Rn(x) có giá trị tuyệt đối khơng výợt q sai số cho phép.
Vắ dụ: Tắnh số e chắnh xác đến 0,00001. Trong công thức khai triển Maclaurin của hàm số ex :
Với 0 < θ < 1 ta lấy x=1 và n=8 thì phần dý R8 thỏa:
Vậy ta có thể tắnh e chắnh xác đến 0,00001 bằng cơng thức xấp xỉ sau
Ta cịn có thể dùng khai triển Maclaurin để tắnh giới hạn có dạng vơ định nhý trong vắ dụ sau đây :
Vắ dụ:
1) Tìm
Ta có:
Sử dụng khai triển Maclaurin của sinx đến cấp 4, ta có thể viết sinx dýới dạng:
Suy ra
Khi x → 0
Vậy:
2) Tìm
Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm sinx và cosx ta có :
trong đó
⇒
Khi x → 0
Vậy
Nhờ định lý Cauchy, ngýời ta đã chứng minh đýợc các định lý dýới đây mà ta gọi là quy tắc LỖ ospitale. Quy tắc này rất thuận lợi để tìm giới hạn của các dạng vơ định
và
ịnh lý: (Quy tắc LỖ ospitale 1)
Giả sử f(x) và g(x) có đạo hàm trong khoảng (a,b) và gỖ≠ 0 trong khoảng đó. Khi ấy, nếu:
thì
ịnh lý vẫn đúng khi thay cho quá trình x → a+, ta xét quá trình x→ b- hoặc x → c với c∈ (a,b). Trýờng hợp a= -∞ , b= + ∞ định lý vẫn đúng.
ịnh lý: (Quy tắc LỖ ospitale 2)
Giả sử f(x) và g(x) có đạo hàm trong (a,b) và gỖx) ≠ 0 trong khoảng đó. Khi ấy nếu : (i) f(x) và g (x) là các VLC khi x -> a+ ,và
(hữu hạn hoặc vơ tận)
thì
ịnh lý cũng đúng cho các q trình x → b-, x → c ∈ (a,b) và cho các trýờng hợp a = - ∞ và b = + ∞
Chú ý:
1) Khi xét trong quy tắc lỖ ospitale, nếu thấy vẫn có dạng vơ định hoặc thì ta lại có thể áp dụng tiếp quy tắc lỖ ospitale
2) Quy rắc lỖ ospitale chỉ là điều kiện đủ để có giới hạn của khơng phải là điều kiện cần. Do đó, nếu khơng tồn tại giới hạn của thì ta chýa có kết luận gì về giới hạn của Vắ dụ: 1) Tìm ặt và g(x) = x - sin x Xét qúa trình x → 0 ta có: có dạng vơ định cũng có dạng vơ định cũng có dạng vơ định
Vậy sau 3 lần áp dụng quy tắc lỖ ospitale ta suy ra:
3) Tìm
Giới hạn này có dạng vơ định ∞ - ∞ . Ta có thể biến đổi giới hạn về dạng vô định để áp dụng quy tắc lỖ ospitale nhý sau:
4) Tìm
Giới hạn này có dạng vơ định . Ta biến đổi nhý sau:
Ta có:
Suy ra