1. Chuỗi đan dấu
Cho dãy { an} các số dýõng, chuỗi số có số hạng tổng quát un = (-1)nan hay un = (1)n+1an đýợc gọi là chuỗi đan dấu. Liên quan đến chuỗi đan dấu ta có tiêu chuẩn hội tụ leinitz nhý sau:
ịnh lý: (tiêu chuẩn Leibnits)
Nếu chuỗi đan dấu thỏa mãn 2 điều kiện:
Dãy { an} là dãy dýõng giảm, và
= 0;
thì chuỗi hội tụ. Hõn nữa tổng S của chuỗi thỏa 0 < S ≤ u1. Chú thắch:
Chuỗi thỏa điều kiện của tiêu chuẩn Leibnitz trong định lý trên đýợc gọi là chuỗi Leibnitz. Nếu dùng tổng
Sn =
để xấp xĩ tổng của chuỗi Leibnitz thì phần dý thứ n của chuỗi là Rn thỏa: | Rn | ≤ | un+1 |
Chuỗi số là chuỗi đan dấu có số hạng thứ n là = , với
là dãy số dýõng giảm và hội tụ về 0. Vậy chuỗi số là chuỗi Leibnitz nên chuỗi hội tụ.
2. Hội tụ tuyệt đối ịnh nghĩa:
Chuỗi số (có dấu bất kỳ) đýợc gọi là hội tụ tuyệt đ i nếu chuỗi hội tụ. Chuỗi số phân kỳ. Ghi chú: Chuỗi Vắ dụ: 1) Chuỗi phân kỳ. Vậy chuỗi 2) Xét chuỗi
đýợc gọi là bán hội tụ nếu chuỗi hội tụ nhýng chuỗi
không dẫn tới sự hội tụ của chuỗi
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz nhýng chuỗi điều hịa là bán hội tụ.
có số hạng tổng qt
Ta có:
và chuỗi điều hịa mở rộng chuẩn so sánh. Vậy chuỗi
hội tụ. Suy ra chuỗi hội tụ theo tiêu
hội tụ tuyệt đối.
ịnh lý:
Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi hội tụ và
Dýới đây là một số tắnh chất đã đýợc chứng minh liên quan đến các chuỗi hội tụ tuyệt đối. ịnh lý: (Riemann) Giả sử chuỗi bán hội tụ. Khi đó với mọi số S hữu hạn hoặc là S = ổ ∞ , tồn tại một cách thay đổi vị trắ của các số hạng của chuỗi để đýợc một chuỗi mới có tổng là S. ịnh lý: Nếu chuỗi đầu. ịnh lý: (Cauchy)
hội tụ tuyệt đối thì khi thay đổi vị trắ các số hạng của chuỗi một cách tùy ý ta vẫn đýợc một chuỗi mới hội tụ tuyệt đối và có cúng tổng với chuỗi ban
Nếu các chuỗi và chuỗi gồm mọi số hạng
hội tụ tuyệt đối và có tổng lần lýợt là S và T thì (i = 1, 2, Ầ , n; j = 1, 2, Ầ , n) theo một thứ tự bất kỳ