III- ỔI BIẾN VÀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ỐI VỚI TÍCH PHÂN XÁC ỊNH
Bài 10 Ứng dụng của tắch phân
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ỊNH 1. Tắnh diện tắch
Diện tắch hình thang cũng giới hạn bởi các đýờng y= 0 ,y = f (x) ≥ 0 ,x = a , x = b
đýợc tắnh bởi cơng thức:
Hình thang cong giới hạn bởi các đýờng :
y = f (x), y = g (x), x = a, x = b với f (x) ≤ g (x) trên [a ,b ] có diện tắch đýợc tắnh bởi cơng thức :
Vắ dụ: Tắnh diện tắch hình phẳng giới hạn bởi các đýờng sau: 1) y = -x2 và y = - x - 2
Hoành độ giao điểm của 2 đýờng y = - x2 và y = - x - 2 là nghiệm cuả phýõng trình. - x2 = - x - 2 ⇔ x = - 1 , x = 2 .
Trên [-1,2] ta có - x - 2 ≤ - x2 nên diện tắch cần tắnh là :
2) và
Hõn nữa ta có trên [-2a,2a]. Suy ra:
2.Tắnh thể tắch
Thể tắch khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đuờng : y = f(x),
trục Ox x = a, x = b
quay xung quanh trục Ox đuợc cho bởi công thức :
Týõng tự, thể tắch khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đuờng : x = g(y), trục Oy
y = c, y = d
quay xung quanh trục Oy đýợc cho bởi công thức :
Vắ dụ: Tắnh thể tắch khối tròn xoay
1) Cho miền phẳng giới hạn bởi các đuờng :
, trục Ox , x= 0 ,
quay xung quanh trục Ox. Ta có :
đ.v.t.t
2) Do miền phẳng giới hạn bởi các đýờng y2 = x - 4 và x = 0 quay quanh Oy. Ta có tọa độ giao điểm của đýờng cong y2 = x Ờ4 với trục Oy là nghiệm của hệ:
Suy ra :
3.Tắnh độ dài cung
ộ dài cung AB của đýờng cong y=f(x) với A(a,f(a)), B(b,f(b)) và a<b đýợc tắnh theo công thức :
Tắnh độ dài cung của đýờng cong giữa hai giao điểm của đýờng cong với trục hoành.
ýờng cong cắt trục hoành tại 2 điểm và . Suy ra độ dài cung AB của đýờng cong là:
Lýu ý:
(1) Nếu đýờng cong cho bởi phýõng trình : x = g (y) với c ≤ y ≤ d
thì độ dài của đýờng cong là:
(2) Trýờng hợp đýờng cong có phýõng trình tham số:
thì độ dài của đýờng cong đýợc tắnh bởi:
(3) Trýờng hợp đýờng cong trong tọa độ cực có phýõng trình r = r (ϕ ) ,α ≤ ϕ ≤ β
thì ta có :
(α ≤ ϕ ≤ β ) Do đó độ dài đýờng cong là:
4.Diện tắch mặt tròn xoay
Cho đýờng cong y=f(x) , khi đýờng cong này quay quang trục Ox trong khơng gian sẽ tạo ra một mặt trịn xoay. Diện tắch của mặt tròn xoay này đýợc tắnh theo cơng thức.
Vắ dụ: Tắnh diện tắch của vịng xuyến sinh bởi đýờng tròn :
quay quanh trục Ox.
Diện tắch S của vòng xuyến bằng tổng hai diện tắch của hai mặt tròn xoay sinh bởi nửa đýờng trịn trên có phýõng trình
và nửa đýờng trịn dýới có phýõng trình
Khi chúng quay quanh trục Ox. Với cả 2 phýõng trình trên
ta có : do đó:
Lýu ý :
thì diện tắch mặt trịn xoay sinh ra bởi đýờng cong quay quanh Ox đýợc tắnh bởi :