Từ (1.23) oà (1.24) suy ra (z2 + u?)" + x2? + y2 chia hết cho z2 Ở # + 2 khi uà
chỉ khi +?" + x"ụ" + ?* chia hết. cho z2Ở ụ + J2. Theo Vắ dụ 1.96 điều nàu có được khi 0à chỉ khi n = 6k + 2 hoặc n = 6k + 4 uới kẠ Z,n Ạ Z7.
Ngược lại, giả thiết rằng n = 2m, tới mm = 3k + 1 hoặc m = 3k +2. Thế thà
(+) +eỢ +ụt = (+)? +a?h + 2" = [( + g)2" ~ (zụ)Ợ]+
+(z?m + mm + 2m),
Để ú rằng
(z + u)Ợ" ~ (xụ)Ợ = [(ụ + u)?J" Ở (zu)"] = [(Ủ + u)? Ở #w]p(,w) =
= ỂỢ + zụ + 9)p(Ủ,9);
trong đó p(%, U) là đa thúc đỗi xứng uới hệ số nguyên. Do đó (+ + 0)?" Ở (xụ)'^ chia
hết cho z? + xzụ + g2. _
Mặt khác, uàm = 3k+1, mm = 3k+2 nên theo Vắ dụ 1.24, da thức x? + pmựm + 2m chia hết cho z2 + ~ụ + }.
Kết luận : Đa thức (x+-)*++"-+ụ" chỉa hết cho z?+zu+w? khi 0à chỉ khi n = 6k+2 hoặc = 6k + 4, uới k G Z,n Ạ Z7.
1.9. Chứng mình bất đẳng thức 47
- Bài tập
1. Chứng minh rằng (+ + 0)" Ở ah ~ ụ" chia hết cho + + 2 + 2 khi uà chỉ khi n=6k+1, kẠZ/nec Z?.
2: Chứng mình rằng (+x+)?*Ẩ!+att2u"ệ#*2 cháa hết cho z?-+ +0) uới mọi n Ạ Z2}. 3. Chứng mình rằng nếu Ặ(z) tà g(2) là bai đa thức hồi quỹ à Ặ(z) cháa hết cho g(2)
thì h(z) = c cũng là đa thức hồi quy. g(z . .
A. Chứng mình rằng một da thúc đối xứng thuần nhất theo các biến z, 9:
P(+,) = p(ơt,ơa) chúa hết cho +? + xụ + U) khi uà chỉ khi tổng các hệ số của đa
thúc p(ơ\,ơa) bằng không.
1.9. Chứng minh bất đẳng thức
Với hai số thực +,ụ, ta đất my = #ụ +ụ, ơa = xụ. Khi đó ta có (zỞ y)# >0 ẹ (z + y) ~ 4w > 0 @ ụơỳ ~ 4ơa > 0.
Vậu la có kết quả _