1) Các quy tắc cần nhớ:
Quy tắc 3 điểm : AB BCuuur uuur+ = ACuuur; BCuuur= AC ABuuur uuur−
Quy tắc hình bình hành : ACuuur= AB ADuuur uuur+
Quy tắc hình hộp : ACuuuur′= AB AD AAuuur uuur uuuur+ + ′
2) Dạng 1. Chứng minh các đẳng thức vectơ Phương pháp giải:
− Sử dụng quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp
− Sử dụng các tính chất của các phép tốn về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.
3) Dạng 2. Chứng minh ba vectơ a, b, cr r r đồng phẳng Phương pháp giải:
a) Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ a, b, cr r r cĩ giá song song với một mặt phẳng b) Ba vectơ a, b, cr r r đồng phẳng ⇔ cĩ cặp số m, n duy nhất sao cho cr= mar+nbr, trong đĩ ar và br là hai vectơ khơng cùng phương
B. BÀI TẬP
Dạng bài tập về Quan hệ song song
Bài 1: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung
1.AB⊥ ACvà AH ⊥ BC . 2. Diện tích : S=1 . 2AH BC hay S=1 . 2 AB AC . 3. Định lí Pitago: BC2 =AB2+AC2 hay a2 = +b2 c2 suy ra : b2 =a2−c2 , c2 =a2 −b2 . 4. ah = bc , 12 12 12 = + h b c , 2 = '. ' , 2 = . ' , 2 = . ' h b c b a b c a c
a. Chứng minh rằng MN // (SAC) b. Chứng minh rằng (MNP) // (ASC).
Bài 2. cho hai hình vuơng ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường
chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh:
a) (ADF) // (BCE) b) M’N’ // DF
c) (DEF) // (MM’N’N) và MN // (DEF)
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi I, I’ tương
ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C’. a) Chứng minh rằng : AI // A’I’
b) Tìm giao điểm của IA’ với mp(AB’C’) c) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (A’BC)
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, B’C’,
DD’.
a) Hãy xác định thiết diện tạo bởi hình lập phương đã cho và mp (MNP) b) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mp (BDC’).
Dạng bài tập về Quan hệ vuơng gĩc
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng AB AD AEuuur uuur uuur+ + = AGuuur
Bài 2. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng:
a) SA SCuuur uuur+ = SB SDuuur uuur+
b) 2 2 2 2
SAuuur +SCuuur =SBuuur +SDuuur
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AMuuuur= 3MDuuuur và trên cạnh BC lấy
điểm N sao cho NBuuur= −3NCuuur. Chứng minh rằng ba vectơ AB, DC, MNuuur uuur uuuur đồng phẳng.
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành
ABEF và K là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ BD, IK, GFuuur uur uuur đồng phẳng.
Bài 5. Trong khơng gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và khơng thẳng hàng.
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là :
OA OCuuur uuur+ =OB ODuuur uuur+
Bài 6. Cho tứ diện ABCD cĩ hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều.
a) Chứng minh rằng : AB ⊥ CD
b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA
và cĩ MN = PQ. Chứng minh rằng : AB ⊥ CD
Bài 8. Cho tứ diện ABCD trong đĩ AB ⊥ AC, AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Chứng minh rằng AB ⊥ PQ.
Bài 9. Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2.
a) Tính gĩc giữa hai vectơ ABuuur và SCuuur b) Tính gĩc giữa hai đường thẳng AB và SC
Bài 10. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD tâm O và cĩ cạnh SA vuơng gĩc với
mp(ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) và điểm I ∈ (AHK)
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾNc) Chứng minh HK ⊥ (SAC), từ đĩ suy ra HK ⊥ AI. c) Chứng minh HK ⊥ (SAC), từ đĩ suy ra HK ⊥ AI.
Bài 11. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD tâm O và cĩ SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD)
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IK ⊥ (SBD) và IK ⊥ SD.
Bài 12. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuơng gĩc
nhau từng đơi một .
Bài 13. Cho tứ diện OABC cĩ ba cạnh OA, OB, OC đơi một vuơng gĩc với nhau. Kẻ OH vuơng
gĩc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh : a) OA ⊥ BC , OB ⊥ CA , OC ⊥ AB b) H là trực tâm của tam giác ABC c) 1 2 1 2 12 12
OH = OA +OB +OC
Bài 14. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật ABCD và cĩ cạnh bên SA vuơng gĩc với
mặt phẳng đáy. Chứng minh các mặt bên của hình chĩp đã cho là những tam giác vuơng.
Bài 15. Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ ABC là tam giác vuơng tại A và cĩ cạnh bên SA
vuơng gĩc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD ⊥ CA và CD ⊥ (SCA)
Bài 16. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau cĩ chung đáy BC tạo
nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh BC ⊥ AD
b) Gọi H là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH ⊥ (BCD).
Bài 17. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với
mặt phẳng đáy, biết SA=a 2.Gọi I là trung điểm SC 1/. Chứng minh rằng I cách đều các đỉnh của hình chop
2/. Tính gĩc hợp bỡi các cạnh bên của hình chop với mặt phẳng (ABCD)
Bài 18. Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AB vuơng gĩc với mp(BCD). Trong tam giác BCD vẽ các
đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuơng gĩc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
a) Chứng minh (ADC) ⊥ (ABE) và (ADC) ⊥ (DFK) b) Chứng minh OH ⊥ (ACD)
c) Gọi I là trung điểm AD. Chứng minh rằng I cách đều các đỉnh tứ diện
Bài 19. Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD tâm I, cĩ cạnh bằng a và đường chéo BD
= a. Cạnh SC a 6
2
= vuơng gĩc với mặt phẳng (ACBD). Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD).
Bài 20. Cho tam giác ABC vuơng tại B. Một đoạn thẳng AD vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh (ABD) ⊥ (BCD)
b) Trong ∆ABD, kẻ AH ⊥ BD tại H, chứng minh AH ⊥ (BCD).
Bài 21. Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a và cĩ SA = SB = SC = a. Chứng
minh :
a) mp(ABCD) ⊥ mp(SBD)
b) Tam giác SBD là tam giác vuơng tại S.
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Chứng minh AC’⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥ (A’BD) b) Tính đường chéo AC’ của hình lập phương đã cho.
Bài 23. Cho tứ diện SABC cĩ SA vuong gĩc với mp(ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của
tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng : a) AH, SK và BC đồng quy
Bài 24. Tứ diện SABC cĩ ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuơng cân đỉnh B và AC = 2a, cĩ cạnh SA ⊥ (ABC) và SA = a.
a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC)
b) Trong mp(SAB) vẽ AH ⊥ SB tại H, chứng minh AH ⊥ (SBC) c) Tính độ dài đoạn AH
d) Từ trung điểm O của đoạn AC kẻ OK ⊥ (SBC) cắt (SBC) tại K. Tính độ dài đoạn OK.
Bài 25. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang ABCD vuơng tại A và D, cĩ AB = 2a, AD =
DC = a, cĩ cạnh SA ⊥ (ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh (SAD) ⊥ (SDC) và (SAC) ⊥ (SCB)
b) Gọi ϕ là gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính tanϕ.
Bài 26. Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA vuơng gĩc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của đoạn AB.
a) Chứng minh đường thẳng IO vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.
Bài 27. Tam giác ABC vuơng tại A, cĩ cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α), cạnh AC = a 2
và tạo với (α) một gĩc 600.
a) Tính khoảng cách CH từ C tới mp(α)
b) Chứng minh rằng cạnh BC tạo với mp(α) một gĩc ϕ= 450.
Bài 28. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh a, cĩ cạnh SA = h và vuơng
gĩc với mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của :
a) SB và CD b) SC và BD c) SC và AB
Bài 29. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB =
SC = SD = a 2. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Chứng minh (SIK) ⊥ (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
Bài 30. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh BC’⊥ (A’B’CD)
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của AB’ và BC’.
Bài 31. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là
trọng tâm tam giác đáy ABC.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABC). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG.
Bài 32. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.
Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy gĩc 600 và hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của hình trụ b) Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là một hình vuơng.
Bài 33. Hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, cĩ cạnh SC vuơng gĩc
với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a. a) Tính gĩc giữa SA và BC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.
Bài 34. Cho hình thoi ABCD tâm O, cĩ cạnh a và cĩ OB a 3
3
= . Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a.
a) Chứng minh ∆SAC là tam giác vuơng và SC ⊥ HD b) Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD) c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
TUYỂN TẬP BÀI TẬP CHỌN LỌC KHỐI 11-HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN
Bài 35. Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh a và cĩ mặt bên SAD là tam giác
đều nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB, F là trung điểm của SB và K là giao điểm của BI và CM.
a) Chứng minh rằng (CMF) ⊥ (SIB)
b) Tính BK và KF, suy ra tam giác BKF cân tại đỉnh K c) Dựng và tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của AB và SD d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA.
Bài 36. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh a, các cạnh bên đều bằng a 3
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)
b) Gọi (α) là mặt phẳng qua A và vuơng gĩc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chĩp với (α).
c) Tính diện tích của thiết diện nĩi trên. d) Gọi ϕ là gĩc giữa AB và (α). Tính sinϕ.
CÁC BÀI TĨAN CHỌN LỌC TỪ ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2002- ĐẾN NAY
Năm 2002
Khối A: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC đỉnh S, cĩ độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuơng gĩc với mặ phẳng (SBC).
(ĐS
2
a 10 16 )
Khối D: Cho hình tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC); AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm.Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm.Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). (ĐS: 6 34
17 )
Năm 2003
Khối B: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, gĩc BAD bằng 900. Gọi M là trung điểm AA/ và N là trung điểm cạnh CC/. Chứng minh rằng BAD bằng 900. Gọi M là trung điểm AA/ và N là trung điểm cạnh CC/. Chứng minh rằng bốn điểm B/, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MDN là hình vuơng.
Năm 2004
Khối B: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng j (0 < <900 j 0). Tính tan của gĩc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy bằng j (0 < <900 j 0). Tính tan của gĩc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) theo j . Tính diện tích hình vuơng ABCD và So theo a.
Năm 2006
Khối B: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là ABCD là hình chữ nhật với AB=a; AD=a 2; SA=a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD SA=a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuơng gĩc mặt phẳng (SMB). Tính độ dài đoạn NH và diện tích tam giácABI
Năm 2007
Khối A: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB; BC; CD. Chứng minh AM vuơng gĩc BP và tính độ dài đoạn MK và diện tích tam giác CNP.
Chứng minh MN vuơng gĩc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC (ĐS: a 2 và AC (ĐS: a 2
4 )
Khối D: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang, · · 0
ABC = BAD =90 , BA=BC=a, AD=2a. cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và SA=a 2. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuơng và tính theo a khoảnh cách từ H đến mặt phẳng (SCD). (ĐS: a3)
Năm 2008
Khối A: Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB=a; AC=a 3 và hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A/ trên mặt phẳng (ABC) vuơng tại A, AB=a; AC=a 3 và hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A/ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AA/ và B/C/.
(ĐS; cos 1
4 =
j )
Khối B: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 và mặt bên (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các mặt bên (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC.
1/.Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mp(ABCD)và diện tích tứ giác BMDN 2/. tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng SM và DN. 2/. tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Khối D: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng, AB=BC=a; AA/ =a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường