Vận dụng quan điểm hoạt động, chúng tôi cho rằng để dạy học khái niệm hình học có thể tổ chức các hoạt động theo các bước sau:
Bước 1: Hình thành biểu tượng về khái niệm
Giáo viên xây dựng các hoạt động gợi cho học sinh nhu cầu nhận thức về khái niệm mới. Chẳng hạn, có thể thực hiện hoạt động gợi động cơ giúp học sinh có nhu cầu tiếp cận khái niệm mới. Cũng có thể tổ chức cho học sinh
thực hiện các hoạt động như vẽ, "đọc" hình vẽ,… từ đó tìm ra các thuộc tính bản chất của khái niệm mới.
Bước 2: Xây dựng định nghĩa khái niệm
Giáo viên đưa ra tình huống mới, tổ chức cho học sinh tiến hành các hoạt động phân tích, so sánh, đối chiếu,… lựa chọn các đối tượng có những dấu hiệu bản chất của khái niệm có trong bước 1. Sau đó, bằng thao tác khái quát hoá, học sinh trình bày định nghĩa khái niệm.
Bước 3: Nắm vững khái niệm
Giáo viên tổ chức cho học sinh tiến hành hoạt động nhận dạng khái niệm trong nội bộ Toán học và trong những tình huống thực tiễn cuộc sống (nếu có). ở một mức độ nào đó có thể yêu cầu học sinh tự xây dựng các ví dụ
thể hiện khái niệm vừa mới được hình thành. Cuối cùng, thầy nên thực hiện khâu "thể chế hoá" bằng việc phát biểu chính xác định nghĩa khái niệm cùng với các ký hiệu.
Bước 4: Củng cố, vận dụng khái niệm
Trong bước này giáo viên nên tổ chức cho học sinh hoạt động vận dụng khái niệm vừa học vào các tình huống cụ thể như: thực hành giải Toán, chứng minh định lý, xây dựng các khái niệm khác, vận dụng khái niệm vào trong thực tiễn. Tiếp theo, có thể cho học sinh xét các trường hợp riêng, tổng quát.
Cuối cùng, sắp xếp lôgic các khái niệm và mối liên hệ giữa khái niệm mới với các khái niệm đã học trước đó.
Dưới đây là những ví dụ thể hiện việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học các khái niệm hình học không gian lớp 11. Những điều đã nói ở trên được minh chứng cụ thể trong các ví dụ.
Ví dụ 1. Để hình thành khái niệm khoảng cách từ một điểm O đến đường thẳng d, giáo viên nêu vấn đề: Khoảng cách từ một điểm O đến đường thẳng d là khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ điểm O tới một điểm
bất kỳ của đường thẳng d. Hãy xác định khoảng cách từ một điểm O đến đường thẳng d trên hình vẽ?
(Câu trả lời mong đợi là:
d (α) H M O Hình 3.1.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d, gọi M thuộc d là một điểm bất kỳ khác H.
Nếu O d∉ thì ∆HOM là tam giác vuông tại H nên OH pOM ; Nếu O d∈ thì OM f OH =0).
Theo cách xác định trên, hãy nêu định nghĩa khoảng cách từ một điểm O đến đường thẳng d?
Giáo viên chính xác hóa khái niệm bằng cách cho học sinh đọc lại khái niệm sách giáo khoa.
Sau đó để học sinh định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, giáo viên gợi động cơ mở đầu bằng gợi ý: Bằng cách hiểu tương tự
hãy định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng?
( α)
M H
O
Để học sinh xây dựng được khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giáo viên đặt vấn đề: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng tới một điểm bất kỳ của mp( )α . Hãy xác định
khoảng cách đó trên hình vẽ? d ( α) A A' Hình 3.3.
Từ đó hãy so sánh khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song và khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng? (Câu trả lời mong đợi là: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song chính là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng).
Sau đó giáo viên, “chốt” lại: Đó chính là khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Để học sinh định nghĩa khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giáo viên gợi động cơ mở đầu bằng gợi ý: Bằng cách hiểu tương tự định nghĩa trên, hãy định nghĩa khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song?
M
M'
Hình 3.4.
(Câu trả lời mong đợi là: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia).
Để thể hiện các khái niệm trên, giáo viên ra bài tập: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy xác định khoảng cách:
a) Từ A đến đường thẳng CD, BD.
b) Từ A đến mp(CDC’D’), mp(BDD’B’). c) Giữa đường thẳng B’D’ và mp(ABCD).
d) Giữa hai mặt phẳng: (ABCD) và (A’B’C’D’).
B' C' D' A' D C B A Hình 3.5.
Giáo viên gợi động cơ mở đầu nhằm hình thành khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Nếu hiểu khoảng cách như trên, thì khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b trong không gian là độ dài đoạn MN sao cho M∈a N b MN, ∈ , ⊥a MN, ⊥b. Song, liệu đối với hai đường thẳng
chéo nhau bất kỳ a, b trong không gian có phải bao giờ cũng tồn tại đường thẳng ∆ cắt và vuông góc a, b?
Nếu học sinh chưa đưa ra được câu trả lời, giáo viên có thể hạ thấp yêu cầu bằng các gợi ý sau:
- Đường thẳng ∆ như vậy đã xác định được yếu tố nào chưa?
(Yêu cầu học sinh nhận xét: phương của ∆ đã biết, đó là phương vuông góc mp(P) song song với hai đường thẳng a, b chéo nhau vẽ từ điểm O nào đó trong không gian).
- Để xác định ∆, ta cần xác định thêm yếu tố nào nữa? (Xác định một điểm thuộc ∆).
- Hãy xác định điểm H là giao của ∆ và (P).
(Giáo viên gợi ý: + Giả sử đã dựng được ∆, ∆ cắt a, b, (P) lần lượt tại M, N, H. Hãy tìm mối liên hệ giữa ba điểm đó?
+ Từ đó suy ra cách xác định H?). (Yêu cầu học sinh trả lời: H là ảnh của M, N qua phép chiếu theo phương vuông góc trên (P). Nên H là giao của a’, b’ với a’, b’ lần lượt là hình chiếu của a, b trên (P)). a' b' a b (P) H M N Hình 3.6 Hãy trả lời câu hỏi đặt ra ban đầu?
(Yêu cầu học sinh trả lời: Vậy, đối với hai đường thẳng chéo nhau bất kỳ a, b trong không gian bao giờ cũng tồn tại đường thẳng ∆ cắt và vuông góc a, b:
∆ là đường thẳng qua H và vuông góc (P)). Từ đó, giáo viên định nghĩa:
- Đường thẳng ∆ cắt và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau a, b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
Sau đó, yêu cầu học sinh định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b.
(Yêu cầu học sinh trả lời: Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b).
Để củng cố định nghĩa giáo viên yêu cầu: Nêu cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b.
(Yêu cầu học sinh trả lời:
- Lấy một điểm O bất kỳ trong không gian, qua O dựng mp(P) song song với cả a và b;
- Dựng hình chiếu a’, b’ của a, b trên (P), gọi ' '
a ∩ =b H . Dựng ∆ qua H và vuông góc (P). Khi đó ∆ ∩ =a M,∆ ∩ =b N;
- ∆ là đường vuông góc chung và MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b).
Để học sinh hình thành cách tìm đường vuông góc chung nói trong sách giáo khoa, giáo viên đặt câu hỏi: Lấy mp(P) chứa b và song song a được không?
Sau đó, giáo viên “chốt” lại: Phương pháp tìm đường vuông góc chung nói trong sách giáo khoa là trường hợp đặc biệt của phương pháp trên.
Để học sinh phát hiện các cách khác nhau để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, giáo viên đặt câu hỏi: Không dựng đường vuông góc chung, có thể tìm được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau?
Khoảng cách này có liên hệ gì với các khoảng cách đã được định nghĩa trước đó không?
(Yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời, sau đó cho học sinh đọc nhận xét sách giáo khoa:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó).
Cho học sinh thực hiện và tập luyện hoạt động thể hiện phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, giáo viên cho học sinh làm các bài tập sau:
Bài tập 1. (Ví dụ trang 118, sách giáo khoa)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA⊥(ABCD), SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.
Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong bài tập này, học sinh không thể dựng mặt phẳng song song đường thẳng này và chứa đường kia, hay cũng không dựng được cặp mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Vì vậy, đòi hỏi học sinh phải dựng đường vuông góc chung theo phương pháp trên.
Bài tập 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy xác định khoảng cách:
a) Giữa hai đường thẳng chéo nhau AC, B’D’;
b) Giữa hai đường thẳng AC và MN, sao cho M C B N C D∈ ' ', ∈ ' ' và M, N không trùng C’.
B' C' D' A' D C B A M N Hình 3.7.
Để làm bài tập này, học sinh không cần dựng đường vuông góc chung của các đường thẳng chéo nhau, mà nhận xét khoảng cách giữa các đường thẳng chéo nhau trên là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
3.1.2. Vận dụng quan điểm hoạt động vào việc dạy định lý, quy tắc, phương pháp
Theo Nguyễn Bá Kim [1], việc dạy học định lý Toán học (trong đó các định lý hình học) được thực hiện bởi một trong hai con đường sau:
- Con đường suy diễn.
- Con đường có khâu suy đoán.
i) Dạy học định lý theo con đường suy diễn
Theo con đường này, để dạy học một định lý chúng ta đi theo các bước: 1) Gợi động cơ học tập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học;
2) Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn lôgíc dẫn tới định lý;
3) Phát biểu định lý; 4) Vận dụng định lý; 5) Củng cố định lý.
ii) Dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán
Theo con đường này để dạy học một định lý chúng ta thường đi theo các bước sau:
1) Gợi động cơ học tập như ở con đường thứ nhất; 2) Dự đoán và phát biểu định lý;
3) Chứng minh định lý;
4) Vận dụng định lý vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ;
5) Củng cố định lý.
Như vậy, sự khác biệt căn bản giữa hai con đường là ở chỗ: Theo con đường có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện diễn ra trước việc chứng minh định lý còn ở con đường suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước. Tùy nội dung cụ thể của từng định lý mà chúng ta có thể trình bày theo cách này hay cách khác.
Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức đặc biệt là tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả của hoạt động là một thành tố cơ sở của phương pháp dạy học toán
Sau đây là những ví dụ vận dụng quan điểm hoạt động vào việc dạy học định lý hình học không gian.
Ví dụ 1. Để học sinh phát hiện định lý điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, giáo viên đặt vấn đề bằng cách gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế:
Đóng cột bóng chuyền (hình bên dưới). Hỏi cột có đứng yên trên mặt đất? Hay cột có vuông góc với mặt đất?
a b d Hình 3.8.
Bằng kinh nghiệm thực tiễn học sinh trả lời được ngay là: cột bóng chuyền đó sẽ đứng yên trên mặt đất, hay nó vuông góc với mặt đất.
Từ đó yêu cầu học sinh dự đoán điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
Nếu học sinh chưa có câu trả lời, giáo viên có thể hạ thấp yêu cầu bằng cách gợi ý: hãy quan sát cột bóng chuyền, xem a và b có vị trí tương đối như thế nào với nhau và có vị trí tương đối như thế nào với ( )α , d có quan hệ gì
với a và b?
(Học sinh dự đoán: Nếu một đường thẳng d cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a, b nằm trong ( )α thì d ⊥( )α ).
Hãy nêu phương hướng chứng minh định lý?
(Câu trả lời mong đợi: Gọi c là một đường thẳng bất kỳ nằm trong ( )α .
Để chứng minh d ⊥( )α ta sẽ chứng minh d ⊥c).
Nếu gọi u vr r, lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đương thẳng d, c thì việc chứng minh d ⊥c quy về việc chứng minh điều gì?
(Câu trả lời mong đợi: việc chứng minh d ⊥c quy về việc chứng minh . 0
u vr r= (*)).
Giáo viên gợi động cơ trung gian hướng đích nhằm hướng dẫn học sinh chứng minh định lý: Để chứng minh (*) ta dựa vào các yếu tố nào?
(Câu trả lời mong đợi: Dựa vào các yếu tố vuông góc của giả thiết , mối liên quan đồng phẳng của c và hai đường thẳng a, b để chứng minh (*)).
Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả của hoạt động, giáo viên có thể đặt câu hỏi nêu ứng dụng của định lý này?
(Câu trả lời mong đợi:
- Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α , ta sẽ
tìm trong mặt phẳng đó hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d.
- Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia).
Sau đó giáo viên cho học sinh thực hiện hoạt động 2 và ví dụ 1 (trang 102, SGK) để học sinh thực hiện và tập luyện một hoạt động thành phần của hoạt động Toán học phức hợp là hoạt động chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc; thực hiện và tập luyện một hoạt động thành phần là hoạt động nhận dạng định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
Ví dụ 2. Để giúp học sinh phát hiện định lý về ba đường vuông góc trong không gian, giáo viên gợi động cơ mở đầu xuất phát từ hình ảnh thực tế:
Qua một con suối a, người ta dựng một cây xà lệch b để gắn cáp treo qua suối (hình bên dưới). Làm thế nào để đặt được cây xà lệch vuông góc với con suối? (Phát hiện điều kiện đủ của định lý).
a' a b (α) A B A' B' Hình 3.9
Nếu học sinh không đưa ra được câu trả lời, thì giáo viên có thể hạ thấp yêu cầu bằng cách gợi ý: Nếu lúc 12h trưa, bóng của cây xà lệch qua suối là đường thẳng A B' ' vuông góc với con suối thì liệu cây xà lệch vuông góc với con suối không? Hãy chứng minh nhận xét đó?
Để học sinh phát hiện điều kiện cần, giáo viên gợi động cơ mở đầu
bằng cách lật ngược vấn đề: liệu điều ngược lại có đúng không? Hãy chứng minh nhận xét đó?
Để hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống của định lý và cho học sinh
thực hiện và tập luyện một hoạt động thành phần của hoạt động trí tuệ chung
là hoạt động tương tự hóa, giáo viên đặt vấn đề: Rõ ràng trong bài toán đặt ra trên đây thì b cắt ( )α và b không vuông góc ( )α , hãy xét bài toán tương tự
nếu b vuông góc với a?
Cho học sinh thực hiện và tập luyện hoạt động ngôn ngữ và một hoạt động thành phần của hoạt động trí tuệ chung là hoạt động tổng hợp, giáo viên