CHƯƠNG 2 : PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
2.1. NỀN TẢNG LÝ THUYẾT
2.1.1. Mơ hình chuỗi thời gian phi tuyến STAR
Mơ hình chuỗi thời gian đơn biến khơng có một lịch sử lâu dài trong phân tích kinh tế. Trong thực tế, mơ hình phi tuyến đầu tiên áp dụng cho các vấn đề kinh tế là đa biến. Mô hình hồi quy chuyển đổi Markov là một ví dụ. Mơ hình bất đối xứng là ví dụ thứ hai. Có lẽ mơ hình đơn biến đầu tiên được giới thiệu với các nhà kinh tế là mơ hình song tuyến mà Granger và Andersen (1978). Các ứng dụng kinh tế đầu tiên của một số mơ hình phi tuyến phổ biến như các mơ hình tự hồi quy ngưỡng, mơ hình tự hồi quy chuyển đổi trơn hoặc mơ hình tự hồi quy Markov-chuyển đổi, xuất hiện sau khi các mơ hình đã được phát triển bởi các nhà thống kê và áp dụng cho các dữ liệu phi kinh tế. Số lượng các ứng dụng mơ hình phi tuyến trong kinh tế đã được nghiên cứu khá nhiều, và các mơ hình phi tuyến đã được sử dụng cho nhiều chuỗi thời gian kinh tế vĩ mô và tài chính, cho cả dự báo và cho nghiên cứu thử nghiệm các lý thuyết kinh tế.
Một số nghiên cứu về sự tồn tại của các mơ hình phi tuyến đã được thực hiện. Các nghiên cứu của Tong (1990), Granger và Teräsvirta (1993), Guégan (1994) và Franses và van Dijk (2000). Các bài nghiên ngắn làm nổi bật các phần khác nhau của lĩnh vực này bao gồm Brock và Potter (1993), Teräsvirta, Tjøstheimand Granger (1994), Potter (1999), Swanson và Franses (1999), Granger (2001), van Dijk, Teräsvirta và Franses (2002) , và Tsay (2002). Các nghiên cứu này được giới hạn trong mơ hình tham số. Gần đây là các mơ hình phi tham số, xem Fan và Yao (2003).
Một ý tưởng phổ biến trong các ứng dụng kinh tế là một số hình thức của cơ chế chuyển tiếp. Điều này có nghĩa rằng q trình tổng hợp dữ liệu để tạo ra được mơ hình được xem như một quá trình tuyến tính chuyển đổi giữa một số chế độ theo một số quy tắc. Ví dụ, những thay đổi trong chính sách của chính phủ có thể tạo ra một sự thay đổi trong các cơ chế. Một ví dụ khác, có thể lập luận rằng tính biến động của khối lượng
sản xuất công nghiệp hoặc tổng sản phẩm quốc gia khác nhau trong suy thoái kinh tế và bùng nổ kinh tế. Trong cả hai trường hợp, để giải thích hành vi của hàng loạt quan sát với các mơ hình chuyển tiếp là hồn tồn có thể. Cũng có thể được giả định rằng có một sự chuyển đổi liên tục và suôn sẻ từ một cơ chế này sang cơ chế khác.
Mơ hình tự hồi quy ngưỡng
𝑦𝑡 = ∑𝑟𝑗=1(𝛼𝑗′𝑧𝑡+ 𝜎𝑗𝜀𝑡)𝐼(𝑐𝑗−1 < 𝑦𝑡−𝑑 ≤ 𝑐𝑗) (1) Với 𝑧𝑡 = (1, 𝑦𝑡−1′ )′ với 𝑦𝑡 = (𝑦𝑡, … , 𝑦𝑡−𝑝+1)′, d > 0 là tham số độ trễ, 𝛼𝑗 = (𝛼𝑗1, … , 𝛼𝑗𝑝)′, j = 1,…,r là hệ số của cá vector, c0, c1, …, cr là các hệ số ngưỡng, c0 = -
∞, cr = M < ∞ và I(A) là hàm số xác định: I(A) = 1 khi A xuất hiện, ngược lại là 0. Hơn
nữa, 𝜀𝑡~ 𝑖𝑖𝑑(0,1) và 𝜎𝑗 > 0, 𝑗 = 1, … , 𝑟. (1) là một mơ hình tự hồi quy từng phần chuyển tiếp điểm hoặc ngưỡng nói chung là chưa biết. Một lựa chọn phổ biến trong thực tế là mơ hình TAR hai cơ chế:
𝑦𝑡 = (𝛼1′𝑧𝑡 + 𝜎𝑗𝜀𝑡)𝐼(𝑦𝑡−𝑑 ≤ 𝑐1) + (𝛼2′𝑧𝑡 + 𝜎2𝜀𝑡){1 − 𝐼(𝑦𝑡−𝑑 ≤ 𝑐1)} (2) Mơ hình SETAR đã được áp dụng rộng rãi trong kinh tế. Một nghiên cứu tồn diện về mơ hình và thống kê dữ liệu được thực hiển bởi Tong (1990). Một trong những đặc điểm của mơ hình này, được nhấn mạnh bởi Tong, đó là tại một số tham số giá trị nó có thể tạo ra chu kỳ giới hạn. Điều này có nghĩa rằng khi sử dụng phương trình (2) và giả định rằng các sai số bằng không, các ước lượng ngoại suy của chuỗi có độ dài nhất định mà không mất đi. Các ứng dụng này được sử dụng nhiều trong khoa học hơn là kinh tế. Các ứng dụng đầu tiên của mơ hình là để chuỗi thời gian sinh thái và hàng loạt lỗ hổng mặt trời hàng năm, xem Tong và Lim (1980), nhưng sau đó nó cũng đã được ứng dụng rộng rãi trong kinh tế.
Một trường hợp đặc biệt của SETAR, được Enders and Granger (1998) gọi là mơ hình TAR-động lực, là một và hai cơ chế và biến ngưỡng yt-d được thay thế bởi sai
phân bậc một ∆yt-d. Mô hình này có thể được sử dụng để mơ tả các q trình khơng đối xứng nằm trong tỷ lệ tăng trưởng: ví dụ, sự phát triển của chuỗi khi nó xảy ra có thể nhanh chóng nhưng sẽ quay trở lại chậm ở mức thấp hơn. Tuy nhiên, một mơ hình khác cần quan tâm là mơ hình ba cơ chế trong đó cơ chế giữa mơ tả một bước đi ngẫu nhiên trong khi các chế độ bên ngoài đứng yên, ổn định là một cách mà tồn bộ q trình TAR ổn định.
𝑦𝑡 = 𝛼𝑗𝑦𝑡−1+ 𝜀𝑡 (3)
Cơ chế giữa được xác định bởi 𝑐1 < 𝑦𝑡−1 < 𝑐2; 𝑐1 < 0 𝑣à 𝑐2 = −𝑐1. Trong cơ chế này, hệ số hồi quy 𝛼2 = 1, với 𝛼𝑗 < 1, 𝑗 = 1,3. Balke Fomby (1997) sử dụng mô hình này để xác định ngưỡng đồng liên kết. (3) được giả định là phương sai của sai số không thay đổi qua các cơ chế.
Mơ hình SETAR với hai chế độ (một ngưỡng) có khả năng đặc trưng cho hành vi bất đối xứng. Ví dụ, giả sử rằng yt-d đo giai đoạn của chu kỳ kinh doanh. Sau đó, các mơ hình SETAR có thể mô tả các quá trình có biến động khác nhau khi bùng nổ từ những gì chúng đang có trong khi suy thối; Potter (1995) và Peel and Speight (1998). Mộ mơ hình tinh tế hơn sẽ là một mơ hình với hơn hai chế độ để mô tả các giai đoạn khác nhau của chu kỳ kinh doanh, Tiao và Tsay (1994) cho mơ hình bốn cơ chế. Các tác giả cho rằng, các thơng số ngưỡng trong mơ hình này đều phân biệt được.
Lưu ý, mơ hình có thể là mơ hình hồi quy chuyển đổi, một phương trình đa biến duy nhất của mơ hình SETAR, đã xuất hiện trong các tài liệu chuỗi thời gian. Quandt (1958) hoặc Goldfeld và Quandt (1973a).
Có một mơ hình liên quan và phổ biến trong kinh tế lượng chuỗi thời gian. Đó là mơ hình SETAR chuẩn bằng cách thay biến yt-d bằng biến thời gian t hoặc thời gian chuẩn hóa t/T, với T là số quan sát. Đây là mơ hình tự hồi quy với r-1 điểm gãy. Có rất
nhiều học thuyết và nghiên cứu về việc xác định số điểm gãy cấu trúc và ước lượng các điểm gãy c1, …, cr Bai (1997).
Mơ hình tự hồi quy theo hàm số mũ
Một ví dụ đầu tiên của một mơ hình phi tuyến có thể được hiểu như là một mơ hình với một sự chuyển tiếp liên tục là mơ hình hồi quy theo hàm số mũ (EAR) do Haggan và Ozaki (1981) giới thiệu.
𝑦𝑡 = ∅′𝑧𝑡+ 𝜃′𝑧𝑡𝐺𝐸(𝛾, 𝑦𝑡−1) + 𝜀𝑡 = {∅ + 𝜃𝐺𝐸(𝛾, 𝑦𝑡−1)}′𝑧𝑡+ 𝜀𝑡 (4)
zt giống như (1), 𝜙 = (𝜙0, 𝜙1, … , 𝜙𝜑)′ 𝑣à 𝜃 = (𝜃0, 𝜃1, … , 𝜃𝜑)′ là các hệ số của các vector và ), 𝜙0 = 𝜃0 = 0, vì vậy mơ hình khơng bao gồm hệ số chặn, và 𝜀𝑡~𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎2). Hàm chuyển tiếp sẽ là:
𝐺𝐸(𝛾, 𝑦𝑡−1) = exp{−𝛾𝑦𝑡−12 }, 𝛾 > 0 (5)
Hàm (5) là hàm đối xứng qua 0, và nằm trong khoảng giá trị 1, và 𝐺𝐸 → 0, 𝑘ℎ𝑖 |𝑦𝑡−1| → ∞. Ký hiệu cuối cùng trong (4) cho thấy rằng mơ hình có thể được hiểu như là một mơ hình tự hồi quy tuyến tính với hệ số thời gian ngẫu nhiên và khác nhau 𝜙 + 𝜃𝐺𝐸(𝛾, 𝑦𝑡−𝑑). Ý tưởng của các tác giả đã xây dựng một mơ hình có thể tạo ra các rung động ngẫu nhiên phi tuyến. Mơ hình EAR cũng có khả năng tạo ra chu kỳ giới hạn. khi 𝛾 → 0 mơ hình trở thành tuyến tính, nhưng lưu ý rằng điều tương tự cũng xảy ra khi 𝛾 → ∞. Trong trường hợp này, 𝐺𝐸(𝛾, 𝑦𝑡−1) = 0 ngoại trừ 𝑦𝑡−1 = 0. Tong (1990) có một cuộc thảo luận kỹ lưỡng của các chuỗi này và các mơ hình phi tuyến để mơ hình hóa chúng.
Mơ hình EAR có thể được tổng quát hóa bằng hệ số chặn 𝜙0 ≠ 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝜃0 ≠ 0 hoặc cả hai. Trường hợp khác là bỏ qua yêu cầu của đối xứng của hàm chuyển tiếp (5) xung quanh không bằng cách thêm vào một tham số vị trí c và cho phép độ trễ 𝑑 ≥ 1:
𝐺𝐸(𝛾, 𝑐, 𝑦𝑡−𝑑) = 1 − exp{−𝛾 (𝑦𝑡−𝑑+ 𝑐)2}, 𝛾 > 0 (6) Teräsvirta (1994) gọi là mơ hình tổng quát EAR là mơ hình tự hồi quy mũ chuyển tiếp trơn (ESTAR). Mơ hình ESTAR là một cơng cụ phổ biến trong việc kiểm tính hiệu quả của lý thuyết ngang giá sức mua, Taylor và Sarno (2002). Mơ hình cũng đã được sử dụng thành cơng trong kinh tế vĩ mơ ví dụ như chuỗi lạm phát dao động mạnh; Arango và González (2001).
Mơ hình hồi quy chuyển tiếp trơn hàm Logistic
Mơ hình chuyển đổi trơn bắt nguồn từ nghiên cứu của Bacon và Watts (1971). Các tác giả xem xét hai đường hồi quy và nghĩ ra một mơ hình trong đó q trình chuyển đổi từ một dịng này sang dịng khác một cách mượt mà. Mơ hình của họ khơng phải là mơ hình chuỗi thời gian, mà là một mơ hình hồi quy thuần túy với các quan sát độc lập. Bacon and Watts (1971) sử dụng hàm Hyperbol tiếp tuyến để cụ thể hóa sự chuyển tiếp. Hàm này gần như hàm phân phối chuẩn của các biến và hàm logistic. Maddala (1977, p 396) trong thực tế đã đề nghị sử dụng hàm logistic như là hàm chuyển tiếp; và điều này đã trở thành sự lựa chọn tiêu chuẩn.
Các mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn (STAR) được đưa vào các mơ hình chuỗi thời gian bởi Chan và Tong (1986), tác giả sử dụng hàm phân phối tích lũy theo phân phối chuẩn như là hàm chuyển tiếp. Bằng cách thay các hàm này bằng hàm logistic cho ra kết quả là mơ hình tự hồi quy chuyển tiếp trơn logistic (LSTAR). Được nêu ra trong phương trình (4), hàm chuyển tiếp bây giờ là hàm logistic.
𝐺𝐸(𝛾, 𝑐, 𝑦𝑡−𝑑) = (1 + exp{−𝛾 ∏𝐾 (𝑦𝑡−𝑑− 𝑐𝑘
𝑘=1 })−1, 𝛾 > 0 (7)
Trong (7) γ là hệ số góc và 𝑐 = (𝑐1, … , 𝑐𝐾)′ là vetor của các hệ số vị trí, 𝑐1 ≤ ⋯ ≤ 𝑐𝐾. Các hạn chế này cũng như các hạn chế γ dương, rất cần thiết cho việc nhận định mơ hình. Hàm chuyển đổi là một hàm chặn các yt-d, liên tục trong không gian
tham số cho bất kỳ giá trị của yt-d. Các lựa chọn phổ biến nhất cho K của (7) là K = 1 và K = 2. K= 1 là hàm logistic chuẩn. trong trường hợp hệ số 𝜙 + 𝜃𝐺(𝛾, 𝑦𝑡−𝑑) thay đổi đơn điệu như hàm yt-d từ 𝜙 sang 𝜙 + 𝜃. Với K=2, hàm số biến đổi đối xứng quanh giá trị trung bình (c1+c2)/2 khi mà hàm logistic đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị tối thiểu nằm giữa 0 và 1/2. Đạt giá trị nhỏ nhất khi γ∞ và bằng ½ khi c1=c2 và γ<∞.
Khi γ=0, thì 𝐺(𝛾, 𝑦𝑡−𝑑) ≡ 1
2 , trường hợp này hàm LSTAR trở thành tuyến tính. Khi K=1 và γ∞ thì LSTAR tiến tới hàm SETAR (2) với 𝜎1 = 𝜎2. Khi K=2, c1≠c2, và γ∞ thì LSTAR chuyển thành SETAR ba cơ chế với cơ chế giữa khác với hai cơ chế kia.
Teräsvirta (1994) định nghĩa một họ các mơ hình STAR bao gồm cả LSTAR và mơ hình ESTAR và chiến lược mơ hình dữ liệu theo định hướng theo từng mục đích khác nhau, giúp người dùng lựa chọn giữa hai phương pháp này. Ngoài ra, chiến lược cũng được áp dụng để lựa chọn giữa các mơ hình LSTAR với K = 1 và K = 2.
Dùng thời gian thay thế cho yt-d trong (7) mang lại một mơ hình chuyển đổi trơn được gọi là (TV-AR) mơ hình tự hồi quy theo thời gian. Sửa đổi môt cách tương như mơ hình SETAR, mơ hình TV-AR đóng vai trị trong việc kiểm tra tham số có bất biến trong các mơ hình tự hồi quy tuyến tính; Lin and Teräsvirta (1994). Trong trường hợp này, các thông số thay đổi trơn được thay thế cho các giả thuyết. Mơ hình tuyến tính rời rạc với các điểm gãy được lồng trong mơ hình thay thế tổng qt hơn.
Mơ hình LSTAR đã được áp dụng cho chuỗi kinh tế vĩ mô với cơ chế bất đối xứng như sản xuất công nghiệp và chuỗi dữ liệu thất nghiệp. Öcal and Osborn (2000) và Teräsvirta and Anderson (1992); Skalin and Teräsvirta (2002).
Ước lượng mơ hình STAR
Cả hai mơ hình ESTAR và LSTAR có thể được ước tính bằng Maximum Likelihood (có điều kiện). Hàm Log-Likelihood đáp ứng được các điều kiện tiêu chuẩn. Các tính chất của ước lượng Log-Likelihood thường không được quan tâm nhiều ví dụ như tính nhất quán vì các điều kiện cần và đủ của các yếu tố chuỗi dữ liệu không tồn tại. Chen and Tsay (1993), điều kiện đủ tồn tại nhưng chỉ trong mơ hình SETAR, chứ khơng phù hợp cho tất cả các mơ hình ổn định và được kiểm định từ thực tế.
Ước tính của các mơ hình STAR là đơn giản nhưng vấn đề số học có thể xảy ra khi các thơng số γ có độ dốc lớn. Vấn đề là khi quá trình chuyển đổi diễn ra nhanh chóng, ước tính chính xác của γ địi hỏi rất nhiều quan sát trong một phạm vị của c; các tham số vị trí. Hơn nữa, γ có trật tự cao hơn rất nhiều về độ lớn so với các thông số khác làm chậm tốc độ hội tụ của thuật tốn tối ưu hóa. Bates và Watts (1988, p. 87), Seber và Wild (1989, pp. 480-481) và Teräsvirta (1994).
Leybourne, Newbold và Vougas (1998) chỉ ra ước tính có thể hiệu quả hơn khi nào γ và c cố định, mơ hình là tuyến tính trong các tham số. Trong trường hợp đó, các thơng số ϕ và θ có thể được ước tính bằng bình phương bé nhất tuyến tính. Với các điều kiện này, có thể thu được các ước lượng cho γ và c. Tách mỗi lần lặp thành hai bước để làm giảm kích thước của các ước lượng phi tuyến và gia tăng tốc độ hội tụ.