cõa têng hai toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trong khỉng gian Hilbert
Ch÷ìng 3, chúng tổi à xuĐt phữỡng phĂp dƠng tĂch tián-lũi cho b i to¡n t¼m khỉng iºm cõa tờng hai toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trong khổng gian Hilbert. Nëi dung cõa ch÷ìng ữủc viát trong 2 mửc. Mửc 3.1 bơng cĂch kát hủp phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt vợi phữỡng phĂp tĂch tián-lũi chúng tổi xƠy dỹng phữỡng phĂp dÔng tĂch tián-lũi cho bi toĂn. Sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc kát quÊ ữa ra vợi iÃu kiằn cho dÂy tham sè cõa to¡n tû gi£i l hon ton khĂc vợi cĂc phữỡng phĂp trữợc Ơy. Mửc 3.2 dnh ữa ra vẵ dử số minh hồa cho cĂc phữỡng phĂp  à xuĐt. CĂc kát quÊ cừa chữỡng ny ữủc viát trản cỡ s cĂc cổng trẳnh (1) v (4) trong danh mửc cĂc cổng trẳnh  cổng bố liản quan án luên Ăn.
3.1. Phữỡng phĂp dÔng tĂch tián lũi
Trong Chữỡng 1, Mửc 1.2.2 Â trẳnh by, nôm 2012, W.Takahashi, Wong v Yao [29] Â ữa ra cÊi biản cừa phữỡng phĂp tĂch tián-lũi cho b i to¡n (1.19), â l b i to¡n t¼m khỉng iºm cõa têng hai to¡n tû ỡn iằu cỹc Ôi:
Tẳm phƯn tỷ p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ (A+B)p∗.
Kỵ hiằu Ω l tªp khỉng iºm cõa A+B.
CĂc tĂc giÊ Â xƠy dỹng dÂy lp kiu Halpern cõ dÔng
xk+1 = tku+ (1−tk)Jk(I −rkA)xk,
trong â u ∈ H,{tk} ⊂ (0,1), {rk} ⊂(0,∞) v chùng minh d¢y
xk hëi tư mƠnh tợi phƯn tỷ PΩu, l hẳnh chiáu mảtric cừa u lản têp Ω n¸u c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n:
(B5) tk ∈ (0,1),∀k ≥ 1, lim k→∞tk = 0, P∞ k=0 tk = ∞, (B6) ∞ P k=0 |tk+1−tk| < ∞, (B7) 0 < ε ≤ rk ≤ 2α, P∞ k=1 |rk+1−rk| <∞.
Nhơm giÊm nhà cĂc iÃu kiằn t lản cĂc dÂy tham số trong k¸t qu£ cõa W.Takahashi, Wong v Yao, nơm 2018, trong cổng trẳnh (1), b¬ng c¡ch kát hủp phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt vợi phữỡng phĂp tĂch tián-lũi chúng tổi à xuĐt phữỡng phĂp dÔng tĂch tián-lũi cho bi toĂn (1.19), â l c¡c d¢y l°p
xk = (I −tkF)Tkxk, (3.1) v
z1 ∈ H, zk+1 =Tk(I −tkF)zk+ek, (3.2) º t¼m nghi»m p∗ ∈Ω thäa m¢n bĐt ng thực bián phƠn
F p∗, p∗ −p⟩ ≤ 0 ∀p ∈Ω, (3.3) ð â Tk = T1T2· · ·Tk vỵi Ti = Ji(I − riA), 1 ≤ i ≤ k, F : H → H l Ănh xÔ - ỡn iằu mÔnh v γ˜-gi£ co ch°t vỵi η+ ˜γ >1.
Sau õ, tứ (3.2), bơng cĂch chồn Ănh xÔ F thẵch hp chúng ti thu ữc mởt số cấi bin cừa phữỡng phĂp tĂch tián-lũi trong õ cõ phữỡng phĂp (1.23) ữủc à xuĐt bi W.Takahashi, Wong v Yao [29]. So vợi kát quÊ cõa W.Takahashi, Wong v Yao sü hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp chúng tổi thu ữủc  loÔi bọ iÃu kiằn (B6) v thay i·u ki»n (B7) bði i·u ki»n mỵi cho d¢y tham sè {rk} cõa to¡n tû gi£i â l i·u ki»n
(B9′) rk ∈ (0, α) vỵi ∀k ≥ 1 v P∞
k=1
rk < +∞,
Dạ thĐy, náu iÃu kiằn (B9′) thäa mÂn thẳ rk → 0 khi k → ∞. ¥y l i·u ki»n cho tham sèrk cõa to¡n tû gi£i ho n to n kh¡c vỵi c¡c i·u ki»n trong cĂc phữỡng phĂp  nảu trong Mưc 1.2.2, Ch÷ìng 1.
º chùng minh sỹ hởi tử mƠnh cừa cĂc phữỡng phĂp Ơt ÷đc, chóng tỉi ¢ chùng minh ữủc cĂc kát q cƯn thiát sau.
M»nh · 3.1 Cho H l khæng gian Hilbert thüc, F : H → H l ¡nh xÔ
-ỡn iằu mÔnh v -gi£ co ch°t vỵi η+γ >1 v T l Ănh xƠ khổng giÂn tr¶n sao cho ̸= Ø. Khi õ, vợi dÂy b chn {xk} b§t ký trong
sao cho limk→∞∥xk −T xk∥ = 0, ta câ
lim sup k→∞
⟨F p∗, p∗ −xk⟩ ≤ 0, (3.4)
p∗ l nghi»m duy nh§t cừa bĐt ng thực bián phƠn (3.3). Chùng minh.
Trong M»nh · 1.9 (Mửc 1.4, Chữỡng 1), dÂy {yt} ữủc nh nghắa bi (1.52) cõ dÔng
yt = (I −tF)T yt.
Ta kỵ hiằu ym = ytm, ð â {tm} l d¢y trong kho£ng (0,+∞), hëi tư tỵi
0 khi m → ∞. Khi â, theo Bê · 1.5 vỵi x = (I − tmF)T ym − T xk,
y = −xk+T xk, sau â x= T ym−T xk,y =−tmF T ym, v tẵnh chĐt khổng gi¢n cõa T, ta câ
∥ym −xk∥2 = ∥(I −tmF)T ym −T xk −xk +T xk∥2 ≤ ∥(I −tmF)T ym−T xk∥2+ 2⟨T xk−xk, ym−xk⟩ ≤ ∥ym−xk∥2−2tm⟨F T ym,(I −tmF)T ym−T xk⟩ + 2⟨T xk−xk, ym −xk⟩. Vẳ vêy, ⟨F T ym,(I −tmF)T ym−T xk⟩ ≤ ⟨T xk−xk, ym−xk⟩/tm.
LÔi theo (1.52), ta nhên ữủc
⟨F T ym,(I −tmF)T ym−T xk⟩ = ⟨F T ym, ym −xk⟩+⟨F T ym, xk−T xk⟩,
v do â
⟨F T ym, ym −xk⟩ ≤ ⟨F T ym,−xk+T xk⟩+⟨T xk−xk, ym−xk⟩/tm ≤ M˜(1 + 1/tm)∥T xk−xk∥,
ð â M˜ ≥ max{∥F T ym∥,∥ym −xk}. Vẳ vêy, tø gi£ thi¸t suy ra
lim sup k→∞
⟨F T ym, ym−xk⟩ ≤ 0,
i·u n y cịng vỵi M»nh · 1.9, tẵnh chĐt cừa F v ym ta câ (3.4).
Bê · 3.1 Cho H khæng gian Hilbert thüc, C l têp con lỗi, õng cừa H. Cho A l Ănh xÔ -ngữủc ỡn iằu mÔnh tứ C v o H, α > 0, B l Ănh xÔ
ỡn iằu cỹc Ôi trong H sao cho D(B) ⊆ C. Gi£ sûΩ := Zer(A+B)̸= ∅,
rk ∈ (0, α) v Ănh xÔ Tk ữủc nh nghắa bi Tk = T1T2· · ·Tk vỵi Ti = Ji(I −riA), 1 ≤ i ≤ k. Khi â, F ix(Tk) = Ω.
Chựng minh.
* Trữợc tiản, ta chùng minh Ω⊂ F ix(Tk).
Gi£ sû p l mët iºm trong Ω. Ta biát rơng p ∈ Ω n¸u Tip = p. Vẳ vêy
Tkp =T1T2· · ·Tkp = T1T2· · ·Tk−1p =· · · =T1p =p, tùc l p ∈ F ix(Tk).
* B¥y gií, ta chùng minh F ix(Tk) ⊂ Ω.
Ta câ I −riA l Ănh xÔ (ri/(2α))-trung b¼nh ( xem [49], M»nh · 4.33),
Ji l Ănh xƠ (1/2)-trung b¼nh. Tø â, theo Bê · 1.12 suy ra Ti l Ănh xÔ
((1 +ri/(2α))/2)-trung bẳnh.Vẳ vêy, F ix(Tk) = k
i=1F ix(Ti). Khi õ, náu
p F ix(Tk) thẳ p ∈ F ix(Ti), v do â p ∈ Ω. Bê · ÷đc chùng minh.
Bê · 3.2 Cho H, C, A, B,Ω v Ti nh÷ trong Bê · 3.1. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n: (B9′) v
(B12) ∥Ax∥ v |Bx| ≤ φ(∥x∥), ð â |Bx| = inf{∥y∥ : y ∈ Bx} v φ(t) l hm khổng Ơm v khổng giÊm vợi ∀t ≥ 0.
Khi â, vỵi méi iºm cè ành x ∈ C v 1 ≤ i < k th¼ limk→∞Tikx tỗn tÔi, vỵi Tik = Ti· · ·Tk.
Chùng minh.
Ta biát rơng Jl l Ănh xÔ khổng giÂn, I −rlA cụng l Ănh xÔ khổng giÂn vợi rl ∈(0,2α). Vẳ vêy, Tl l Ănh xƠ khổng giÂn. Do õ, vợi b§t ký x ∈ C
v 1 ≤ i < k, tø i·u ki»n (B12) k²o theo r¬ng
∥Til+1x−Tilx∥ = ∥TiTi+1· · ·TlTl+1x−TiTi+1· · ·Tlx∥
≤ ∥Tl+1x−x∥ = rl+1∥(Tl+1x−x)/rl+1∥
≤ rl+1∥(Jrl+1B (I −rl+1A)x−(I −rl+1A)x)/rl+1∥
+∥(I −rl+1A)x−x)∥
≤ rl+1|B(I −rl+1A)x|+rl+1∥Ax∥ ≤ rl+1φ(∥(I −rl+1A)x∥) +rl+1φ(∥x∥)
≤ rl+12φ(∥x∥+ ˜rφ(∥x∥)),
Tø i·u ki»n (B9′) suy ra limn,m→∞Pm−1l=n rl+1 = 0. Khi â, vỵi b§t ký
ε > 0, tỗn tƠi sè nguy¶n k0 ≥ i sao cho vợi bĐt ký n, m, m > n > k0, ta câ
m−1 X l=n rl+1 < ε 2φ(∥x∥+ ˜rφ(∥x∥)). Vẳ vêy, ∥Timx−Tinx∥ = ∥Tin+1x−Tinx+Tin+2x−Tin+1x+· · ·+Timx−Tim−1x∥ ≤ m−1 X l=n ∥Til+1x−Tilx∥ ≤ m−1 X l=n rl+12φ(∥x∥ + ˜rφ(∥x∥)) < ε, i·u ny dăn án {Tk
i x} l d¢y Cauchy trong khỉng gian Hilbert H. Vẳ vêy, limk→∞Tikx tỗn tƠi vợi mội x∈ C v i ≥ 1.
B¥y gií, tø Bờ Ã trản, ta cõ th nh nghắa Ănh xÔ Ti∞x:= limk→∞Tikx
vợi bĐt ký x ∈ C v i ≥ 1. Tø Tik l Ănh xÔ khổng giÂn vợi bĐt ký i < k, Ănh xÔ Ti∞ l ¡nh xÔ khổng giÂn. t T∞ :=T1∞. Ta câ bê · ti¸p theo. Bê · 3.3 Cho H, C, A, B v Ω nh÷ trong Bê · 3.1. Gi£ sû c¡c i·u ki»n
(B9′) v (B12) thäa m¢n. Khi â, F ix(T∞) = Ω. Chùng minh.
* Trữợc tiản, ta chựng minh Ω⊂ F ix(T∞).
Rã r ng, Tikp = p vỵi måi i < k v p ∈ Ω. Vẳ vêy, ta cõ Ti∞p = p vỵi måi i ≥ 1. Trong tr÷íng hđp °c bi»t, ta câ T1∞p = T∞p = p. Vẳ vêy,
Ω⊂ F ix(T∞).
* B¥y gií, ta chùng minh F ix(T∞) ⊂ Ω.
Gi£ sû z ∈ F ix(T∞). Ta c¦n chùng minh z ∈ Ω. Thêt vêy, lĐy mởt im cè ành p ∈Ω, tø Ti l Ănh xÔ khổng giÂn, ta cõ
∥Tkz−Tkp∥ = ∥T1kz−T1kp∥
= ∥T1T2· · ·Tkz−T1T2· · ·Tkp∥
≤ ∥T2T3· · ·Tkz−T2T3· · ·Tkp∥ ≤ · · ·
≤ ∥Ti· · ·Tkz−Ti· · ·Tkp∥ ≤ · · ·
≤ ∥Tkz−Tkp∥ ≤ ∥z−p∥.
Tø z =T∞z = T1∞z = limk→∞T1kz v Tikp = p vợi bĐt ký k, i, cho k → ∞
trong bĐt ng thực trản, ta cõ ∥z−p∥ =∥T1∞z−p∥ ≤ ∥T2∞z−T2p∥ ≤ · · · ≤ ∥Ti∞z−p∥ ≤ ∥Ti+1∞ z−p∥ ≤ ∥z −p vợi bĐt ký i≥ 1 cè ành, v do â, ∥Ti∞z −p∥ = ∥Ti+1∞ z−p∥ = ∥z−p∥. Vẳ vêy, theo Bờ Ã 1.13, ∥z−p∥2 = ∥Ti∞z−p∥2 = ∥TiTi+1∞ z −p∥2 ≤ ∥Ti+1∞ z−p∥2− ∥Ti∞z−Ti+1∞ z∥/2 = ∥z−p∥2 − ∥Ti∞z−Ti+1∞ z∥/2
vỵi méi i 1. Vẳ vêy, Ti+1 z = TiTi+1 z = Ti∞z = · · · = T1∞z = z. B¥y gií, tø z = T1∞z = T1T2∞z = T1z, ta câ z ∈ F ix(T1).
T÷ìng tü, ta nhên ữủc z = Tiz vỵi måi i ≥ 2. Tø â, suy ra z ∈ ∩k
i=1F ix(Ti) =F ix(Tk). Theo Bờ Ã 3.1 dn án z . Bờ Ã ữc chựng minh.
nh l 3.1 Cho H, A, B,Ω v rk nh÷ trong Bê · 3.1 vỵi D(A) = H, F
l Ănh xÔ -ỡn iằu mƠnh v γ˜-gi£ co ch°t tr¶n H sao cho η + ˜γ > 1. Khi â, d¢y {xk} x¡c ành bði (3.1), vỵi tk ∈(0,1) v tk → 0, hởi tử mƠnh tợi nghiằm duy nhĐt p∗ ∈ Ω tho£ m¢n bĐt ng thực bián phƠn (3.3) khi
k → ∞. Chùng minh.
Viằc chựng minh nh lỵ ữủc thỹc hiằn qua cĂc bữợc cử th sau. Bữợc 1. Chựng minh dÂy {xk} x¡c ành bði (3.1) l duy nh§t.
Xt Ănh xƠ Uk = (I−tkF)Tk. Theo Bờ Ã 1.7 v tẵnh chĐt khổng giÂn cừa
Tk, ta câ
∥Ukx˜ −Uky∥˜ = ∥(I −tkF)Tkx−(I −tkF)Tky∥
≤ (1−tkτ)∥Tkx−Tky∥
≤ (1−tkτ)∥x−y∥, ∀x, y ∈H.
Vẳ vêy Uk l Ănh xÔ co trong H. Theo nguy¶n lỵ Ănh xƠ co Banach, tỗn tƠi duy nhĐt mởt im xk ∈ H, thọa mÂn (3.1).
Thêt vêy, vợi mët iºm cè ành p ∈ Ω, tø Bê · 3.1 ta câ p = Tkp. LÔi tứ Bờ Ã 1.7, tẵnh chĐt khổng giÂn cừa Tk v (3.1), ta nhên ữủc
xk −p∥ = ∥(I −tkF)Tkxk −(I −tkF)Tkp−tkF p∥
≤ (1−tkτ)∥xk −p∥+tk∥F p∥.
Vẳ vêy, ∥xk − p∥ ≤ ∥F p∥/τ. i·u õ cõ nghắa dÂy {xk} l bà ch°n. Do â, c¡c d¢y{Tkxk} v {F Tkxk} cơng bà ch°n. Theo (3.1), t½nh bà ch°n cõa
{F Tkxk} v tk →0 khi k → ∞ ta câ lim k→∞∥xk−Tkxk∥ = 0. (3.5) Bữợc 3. Chựng minh lim k→∞∥xk −T∞xk∥ = 0. (3.6) T÷ìng tü nh÷ chùng minh Bê · 3.2, ta cõ
TikxTix = lim mTikxTimx X l=k Til+1xTilx X l=k rl+12(x+ r(x)).
Náu D l têp con khĂc réng v bà ch°n cõa H, tø gi£ thi¸t φ(t) bà ch°n v
rk thäa m¢n i·u ki»n (B9′) thẳ vợi ε > 0 tỗn tÔi k0 > i sao cho, vỵi måi
k > k0, ta câ sup x∈D ∥Tikx−Ti∞x∥ ≤ ε. L§y D = {xk} v i = 1, ta câ ∥Tkxk−T∞xk∥ ≤sup x∈D ∥Tkx−T∞x∥ ≤ε.
Vẳ vêy, Tkxk−T∞xk∥ → 0 khi k → ∞. iÃu ny cũng vợi bĐt ng thùc sau
∥xk−T∞xk∥ ≤ ∥xk−Tkxk∥+∥Tkxk−T∞xk∥,
v (3.5) k²o theo (3.6).
Bữợc 4. Chựng minh dÂy {xk} hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt p∗ cừa bĐt ng thực bián ph¥n (3.3).
Tø M»nh · 1.9 v M»nh · 3.1 vỵi T thay bði T∞, ta nhên ữủc (3.4).
Tiáp theo, tứ tẵnh chĐt khổng gi¢n cõa Tk, Bê · 1.5, Bê · 1.6 v (3.5), vỵi b§t ký iºm cè ành p ∈Ω = F ix(T∞) k²o theo
∥xk −p∥2 = ∥(I −tkF)Tkxk −(I −tkF)Tkp−tkF p∥2
≤ (1−tkτ)∥xk −p∥2−2tk⟨F p, xk −p⟩.
Vẳ vêy,
xk −p∗∥2 ≤ 2
τ⟨F p∗, p∗ −xk⟩.
Tø (3.4) vỵi T thay bði T∞ ta nhên ữủc xk−p∗∥ → 0 khi k → ∞. nh lỵ ữủc chựng minh.
Mằnh · 3.2 Cho F, H, A, B,Ω, rk v tk nhữ trong nh lỵ 3.1. Khi õ, vợi bĐt ký d¢y bà ch°n {xk} ⊂ H, thäa m¢n limk→∞∥Tmxk −xk∥ = 0 vỵi số nguyản cố nh bĐt ký m ≥ 1, ta câ (3.4).
Chùng minh.
Gi£ sû xm l nghi»m cõa (3.1) vỵi k thay bði m.
Theo Bê · 1.5 vỵi x = (I − tmF)Tmxm − Tmxk, y = −xk + Tmxk, sau â, x = Tmxm−Tmxk, y = tmF Tmxm, xm = (I−tmF)Tmxm v tẵnh chĐt khổng giÂn Tm, ta câ ∥xm−xk∥2 =∥(I −tmF)Tmxm−Tmxk −xk +Tmxk∥2 ≤ ∥(I −tmF)Tmxm −Tmxk∥2 + 2⟨Tmxk−xk, xm −xk⟩ ≤ ∥Tmxm−Tmxk∥2−2tm⟨F Tmxm, xm −Tmxk⟩ + 2⟨Tmxk −xk, xm−xk⟩ ≤ ∥xm−xk∥2 −2tm⟨F Tmxm, xm −Tmxk⟩ + 2⟨Tmxk −xk, xm−xk⟩. Vẳ vêy, ⟨F Tmxm, xm −Tmxk⟩ ≤ ⟨Tmxk−xk, xm −xk⟩/tm, v do â, ⟨F Tmxm, xm−xk⟩ ≤ ⟨F Tmxm, Tmxk−xk⟩+⟨Tmxk −xk, xm−xk⟩/tm ≤ ( ˜M +M /tm)∥Tmxk −xk∥,
ð â M˜ ≥ ∥F Tmxm∥ v M ≥ ∥xm − xk∥. Do õ, cũng vợi giÊ thiát
limk→∞∥Tmxk −xk∥ = 0 ta câ
Theo nh lỵ 3.1, ta câ xm → p∗ khi m → ∞. Chuyºn qua giỵi hÔn cừa (3.7) khi m → ∞ cũng vợi tẵnh chĐt cừa tm v tẵnh liản tửc cừa F ta thu ữủc (3.4).
BƠy giớ, ta i chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp (3.2). nh lỵ 3.2 Cho H, A, B, Ω v F nhữ trong nh lỵ 3.1. GiÊ sỷ cĂc iÃu ki»n sau thäa m¢n: (B5), (B9′), (B12), (B3) ho°c
(B3′) lim k→∞
∥ek∥
tk = 0.
Khi â, d¢y {zk} x¡c ành bði (3.2) hởi tử mƠnh tợi nghiằm duy nhĐt
p∗ ∈ Ω thoÊ mÂn bĐt ng thực bián phƠn (3.3) khi k → ∞. Chùng minh.
X²t biºu thùc ch½nh x¡c cõa (3.2) l
xk+1 = Tk(I −tkF)xk, k ≥ 1, (3.8) vỵi b§t ký x1 ∈ H. Khi â, tø (3.2) cũng vợi tẵnh chĐt khổng giÂn cừa Tk
v Bê · 1.7, ta câ
∥zk+1−xk+1∥ = ∥Tk[(I −tkF)zk+ek]−Tk(I −tkF)xk∥ ≤ (1−tkτ)∥zk−xk∥ +∥ek∥.
Theo i·u ki»n (B3), tø â ¡p döng Bê · 1.10 ta câ ∥zk − xk∥ → 0 khi
k → ∞. Do õ, chựng minh kát quÊ nh lỵ, ta chùng minh xk → p∗. Bữợc 1. Chựng minh d¢y {xk} bà ch°n. Tø Tkp = p vỵi iºm b§t ký
p ∈ Ω, tẵnh chĐt khổng giÂn cừa Tk, (3.8) v Bê · 1.7, ta câ
∥xk+1−p∥ =∥Tk(I −tkF)xk−Tkp∥
≤ ∥(I −tkF)xk −p∥
≤ (1−tkτ)∥xk−p∥+tk∥F p∥ ≤ max {∥x1 −p∥,∥F p∥/τ}.
Vẳ vêy, dÂy {xk} l bà ch°n. Do â, c¡c d¢y {F xk} v {xk −p − tkF xk}
cơng bà ch°n. Khỉng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ chúng b chn bi hơng số dữỡng M1.
°t yik = Tik(I −tkF)xk vỵi 1 ≤ i ≤ k v yk+1k = (I −tkF)xk. Bữợc 2. Chựng minh
lim
k→∞∥Tiyki+1−yki+1∥2 = 0.
T÷ìng tü nh÷ chùng minh cừa Bờ à 3.3, dũng lễi B 1.13 v Bờ à 1.7, ta nhên ữc b§t ¯ng thùc sau ∥xk+1−p∥2 = ∥T1y2k −p∥2 ≤ ∥y2k −p∥2− ∥T1yk2 −y2k∥2/2 = ∥T2y3k −p∥2 − ∥T1y2k −yk2∥2/2