cõa to¡n tû ỡn iằu cỹc Ôi trong khổng gian Hilbert
Chữỡng 2 gỗm hai mửc. Mửc 2.1 trẳnh by phữỡng phĂp im gƯn kà vợi dÂy tham số bĐt ký, trong õ sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp ữa ra vỵi i·u ki»n têng qu¡t cho d¢y tham sè cõa to¡n tû gi£i â l ch¿ c¦n
{rk} l dÂy số bĐt ký trong khoÊng (0,). Mửc 2.2 ữa ra cĂc vẵ d sè minh hồa cho cĂc phữỡng phĂp à xuĐt. CĂc kát quÊ ữủc trẳnh by dỹa vo c¡c cỉng tr¼nh (3) v (5) trong danh mửc cĂc cổng trẳnh  cổng bố. 2.1. Phữỡng phĂp im gƯn kà vợi dÂy tham số bĐt ký
Trong ch÷ìng n y x²t b i to¡n:
Tẳm phƯn tỷ p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ T p∗. (2.1) Nhữ  trẳnh by trong Mửc 2.1, Chữỡng 1, nôm 2017, trong [11], N. Bữớng, P.T.T. Hoi v N.D. Nguyạn  à xuĐt hai cÊi biản mợi cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cho bi toĂn (2.1) cõ dÔng giống nhữ phữỡng phĂp im gƯn kà hiằu chnh Tikhonov (1.9) v phữỡng phĂp iºm g¦n k· co (1.12), â l c¡c ph÷ìng ph¡p (1.16) v (1.17)
xk+1 = Jk(tku+ (1−tk)xk+ek), k ≥ 1, zk+1 = tku+ (1−tk)Jkzk+ek, k ≥ 1,
trong â Jk = J1J2· · ·Jk l hñp cõa k to¡n tû gi£i Ji = (I +riT)−1, i = 1,2, ..., k. Sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc phữỡng phĂp c ữa ra vi iÃu kiằn
(A8) l dÂy tham số {rk} cõa to¡n tû gi£i kh£ têng, tùc l rk dƯn tợi 0. Ơy l iÃu kiằn hon ton khĂc vợi cĂc i·u ki»n cho tham sè rk cõa cĂc phữỡng phĂp  nảu. Mởt ÷u iºm núa cõa c¡c ph÷ìng ph¡p n y l
chóng chùa nhiÃu thổng tin và Ănh xƠ T hìn v sû dưng to n bở thổng tin cừa cĂc bữợc lp trữợc tẵnh toĂn bữợc lp tiáp theo. Tuy nhiản, cĂc phữỡng phĂp ny mội bữợc lp phÊi dũng nhiÃu toĂn tỷ giÊi nản viằc tẵnh toĂn s khõ kh«n hìn v i·u ki»n (A8) l khĂ hƠn chá. khưc phưc i·u n y, chóng tỉi · xuĐt phữỡng phĂp im gƯn kà vợi dÂy tham số b§t ký cho gi£i b i to¡n (2.1) b¬ng c¡ch thay hđp Jk = J1J2· · ·Jk trong (1.16) v (1.17) bði dÔng ỡn giÊn hỡn õ l ch dũng hai toĂn tỷ giÊi tÔi mội bữợc lp v thay i·u ki»n (A8) bði i·u ki»n têng qu¡t {rk} l dÂy số bĐt ký trong kho£ng (0,∞). Trong cỉng trẳnh (3), chúng tổi ữa ra mởt sè d¢y l°p xk ÷đc x¡c ành bði: xk+1 = JkJc(t′ku+ (1−t′k)xk) +ek, (2.2) xk+1 = t′ku+ (1−t′k)(JkJcxk +ek), (2.3) v xk+1 = t′ku+βk′Jcxk+γk′Jkxk +ek, (2.4) ð â Jc = (I +cT)−1 vỵi c >0 tuý ỵ. Chóng tỉi ch ra rơng cĂc phữỡng phĂp (2.2)-(2.4) l cĂc trữớng hp c biằt cừa cĂc phữỡng phĂp zk+1 = JkJc(I tkàF)zk+ek, (2.5) v zk+1 = (1k)(I tkàF)Jczk +kJkzk+ek, (2.6) tẳm nghiằm p C cừa b i to¡n b§t ¯ng thùc bián phƠn
p∗ ∈ C :⟨F p∗, p∗ −p⟩ ≤ 0,∀p ∈ C. (2.7) vỵi C := ZerT, Ănh xÔ F : H → H l η- ỡn iằu mÔnh v liản tửc L- Lipschitz vỵi η, L > 0, µ l sè cè ành thuëc kho£ng (0,2η/L2).
CĂc nh lỵ 2.1 v nh lỵ 2.2 sau cho kát q hởi tử mƠnh cõa c¡c ph÷ìng ph¡p (2.5), (2.6).
nh lỵ 2.1 Cho T l to¡n tû ỡn iằu cỹc Ôi trong khổng gian Hilbert thüc H sao cho ZerT ̸= Ø, F l Ănh xƠ -ỡn iằu mƠnh v li¶n tưc
L-Lipschitz tr¶n H vỵi η v L l cĂc hơng số dữỡng, µ l sè cè ành thuëc kho£ng (0,2η/L2). Gi£ sû tk, rk v ek thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
(A1)
∞
P
k=1
∥ek∥ < ∞ ho°c (A1′) lim k→∞ ∥ek∥ tk = 0, (A5) tk ∈(0,1),∀k ≥ 1, lim k→∞tk = 0, ∞ P k=1 tk = ∞,
(A8′) {rk} l dÂy số bĐt kẳ trong khoÊng (0,∞). Khi â, d¢y
zk xĂc nh bi (2.5) hởi tử mƠnh tợi nghiằm duy nhĐt p∗
cõa b§t ng thực bián phƠn (2.7) khi k → ∞. Chùng minh.
X²t biºu thùc ch½nh x¡c cõa (2.5), tùc l
xk+1 = JkJc(I −tkµF)xk. (2.8) Tứ (2.5), (2.8), tẵnh chĐt khổng giÂn cừa Jk, i·u ki»n (A8′) v Bê · 1.6, ta câ b§t ¯ng thùc sau:
∥zk+1 −xk+1∥ = ∥JkJc(I −tkµF)zk+ek−JkJc(I −tkµF)xk∥ ≤ (1−tkτ)∥zk −xk∥+∥ek∥.
Tø â, theo c¡c i·u ki»n (A1) v (A5), ¡p döng Bê · 1.10 dăn án
zk−xk∥ → 0 khi k → ∞. Vẳ vêy, chựng minh kát qu£ mong muèn ta i chùng minh d¢y
xk hởi tử mƠnh tỵi iºm p∗ khi k → ∞. º chùng minh iÃu ny, trữợc tiản ta chựng minh dÂy
xk b chn. Thêt vêy, vợi mët iºm cè ành p ∈ ZerT, theo Bê · 1.6, ta câ
∥xk+1−p∥ = ∥JkJc(I −tkµF)xk−JkJcp∥
≤ (1−tkτ)∥xk−p∥ +tkµ∥F p∥
≤ max {∥x1 p, àF p/}.
Do õ, dÂy
xk b chn, dn ỏn c¡c d¢y {F xk} v {yk} ð â yk := (I − tkµF)xk cơng bà chn. GiÊ thiát cĂc dÂy trản b chn bi mởt sè d÷ìng M1.
Tiáp theo, ta ữợc lữủng gi¡ trà ∥xk+1−p∥2 :
∥xk+1−p∥2 =∥JkJcyk −Jkp∥2 ≤ ∥Jcyk−p∥2
≤ ∥yk−p∥2 − ∥Jcyk −yk∥2
=∥(I −tkµF)xk −p∥2 − ∥Jcyk−yk∥2
≤ (1−tkτ)∥xk−p∥2 + 2tkµ⟨F p, p−yk⟩ − ∥Jcyk−yk∥2.
(2.9)
BƠy giớ, ta xt 2 trữớng hủp sau.
vỵi måi k ≥ k0. Khi â limk→∞∥xk−p tỗn tÔi. Tứ (2.9), ta câ:
∥Jcyk−yk∥2 ≤ ∥xk −p∥2 − ∥xk+1−p∥2+ 2tkµM2, (2.10) vỵi M2 ≥ ∥F p∥(∥p∥+M1).
Tø limk→∞∥xk− p tỗn tÔi v tk → 0, khi k → ∞ trong (2.10), ta nhên ữủc limk→∞∥Jcyk− yk∥ = 0. i·u n y cịng vỵi ∥yk −xk∥ ≤ tkµM1 k²o theo limk→∞∥Jcxk−xk∥ = 0. Theo M»nh · 1.8 vi T = Jc, ta nhên ữc
bĐt ng thực (1.51).
Tiỏp theo, tứ (2.9) vợi p = p∗, ta câ:
∥xk+1−p∗∥2 ≤ (1−tkτ)∥xk−p∗∥2 + 2tkµ⟨F p∗, p∗ −xk+tkµF xk⟩
= (1−bk)∥xk−p∗∥2 +bkck,∀k ≥ k0,
vỵi bk = tkτ v ck = 2µτ ⟨F p∗, p∗−xk⟩+tkµ∥F p∗∥M1
.
Tø i·u n y v Bê · 1.10 ta nhên ữủc xk−p∗∥ → 0.
Trữớng hủp 2. Tỗn tÔi dÂy con {kl} cõa {k} tho£ m¢n ∥xkl − p∥ <
∥xkl+1 −p∥ vỵi måi l ∈ N+. Vẳ thá, theo Bờ · 1.11, câ d¢y khỉng gi£m
{mk} ⊆N+ sao cho mk → ∞,
∥xmk −p∥ ≤ ∥xmk+1−p∥ v ∥xk−p∥ ≤ ∥xmk+1−p∥ (2.11) vỵi méi k ∈ N+. Khi â, tø (2.9) v b§t ¯ng thực thự nhĐt trong (2.11),
ta cõ:
xmk p2 2à
F p, p−ymk⟩. (2.12) Mt khĂc, lÔi tứ (2.9) v bĐt ng thùc thù nh§t trong (2.11), ta cơng câ:
∥Jcymk −ymk∥2 ≤ 2tmkµM2.
Vẳ vêy, limk→∞∥Jcymk −ymk∥ = 0, v do â, theo M»nh · 1.8 câ
lim sup k→∞
⟨F p∗, p∗ −ymk⟩ ≤ 0,
tø i·u n y v (2.12) vỵi p thay bði p∗, k²o theo
lim
k→∞∥xmk −p∗∥ = 0. (2.13) Ci cịng, tø (2.9) vỵi k v p thay thá tữỡng ựng bi mk v p∗ ta câ:
∥xmk+1−p∗∥2 ≤ (1−tmkτ)∥xmk −p∗∥2 + 2tmkµ⟨F p∗, p∗ −ymk⟩.
Bði (2.13) v tmk → 0 n¶n limm→∞∥xmk+1−p∗∥2 = 0. ¯ng thùc n y cịng vỵi bĐt ng thực thự 2 trong (2.11) dăn án limk→∞∥xk−p∗∥ = 0. nh lỵ ữủc chựng minh.
nh lỵ 2.2 GiÊ sỷ H, F, A, tk, rk v ek nhữ trong nh lỵ 2.1. Thảm giÊ thi¸t tham sè βk thäa m¢n i·u ki»n:
(A6) βk ∈ [a, b]⊂ (0,1).
Khi â, d¢y {zk} x¡c ành bði (2.6) hëi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt p∗
cừa bĐt ng thực bián phƠn (2.7) khi k → ∞. Chùng minh.
T÷ìng tü nh÷ trong chùng minh nh lỵ 2.1, ta xt biu thực chẵnh xĂc cõa (2.6)
xk+1 = βk(I −tkµF)Jcxk + (1−βk)Jkxk. (2.14) Theo (i) cõa Bê · 1.8 v i·u ki»n (A8′) th¼ Jcp = Jkp = p vợi im bĐt ký p ∈ ZerT. Do Jk l Ănh xÔ khổng giÂn v tứ (2.14), Bờ Ã 1.10, ta câ
∥xk+1−p∥ = ∥βk (I −tkµF)Jcxk −p+(1−βk)(Jkxk−Jkp)∥ = ∥βk (I −tkµF)Jcxk −(I −tkµF)Jcp−tkµF p + (1−βk)(Jkxk−Jkp)∥ ≤ βk[(1−tkτ)∥xk−p∥+tkµ∥F p∥] + (1−βk)∥xk −p∥ = (1−βktkτ)∥xk−p∥+βktkµ∥F p∥ ≤ max {∥x1 p, àF p/}.
Do õ, dÂy {xk} b chn, dn án c¡c d¢y {Jkxk},{Jcxk} v {F Jcxk} cơng b chn. Do õ, tỗn tÔi M3 > 0 sao cho {xk}, {Jkxk}, {Jcxk} v {F Jcxk}
thuëc S(0, M3), hẳnh cƯu õng t¥m 0 v b¡n k½nh M3.
Tiáp theo, tữỡng tỹ nhữ chựng minh cừa nh lỵ 2.1, dũng tẵnh chĐt cừa hm lỗi .∥2, khæng gian Hilbert H, c¡c to¡n tû gi£i Jc, Jk v Bê · 1.10, ta câ ∥xk+1−p∥2 = ∥βk (I −tkµF)Jcxk −p+(1−βk)(Jkxk −Jkp)∥2 ≤ βk∥(I −tkµF)Jcxk−p∥2 + (1−βk)∥Jkxk−Jkp∥2 ≤ βk∥(I −tkµF)Jcxk−(I −tkµF)p∥2 + 2tkµ⟨F p, p−Jcxk+tkµF Jcxk⟩ +(1−βk)∥xk −p∥2
≤ βk(1−tkτ)∥Jcxk−p∥2 + (1−βk)∥xk −p∥2 + 2βktkµ⟨F p, p−Jcxk+tkµF Jcxk⟩
≤ βk(1−tkτ)∥xk −p∥2 − ∥Jcxk −xk∥2
+(1−βk)∥xk−p∥2 + 2βktkµ⟨F p, p−Jcxk+tkµF Jcxk⟩.
Tø tk → 0 khi k → ∞ v βk ∈ [a, b] ⊂ (0,1) nản tỗn tÔi c1 > 0 sao cho
βk(1−tkτ) ≥ c1 vỵi måi k ∈N+. H» qu£, tø b§t b§t ¯ng thùc cuèi ta câ
∥xk+1 −p∥2 ≤ (1−βktkτ)∥xk−p∥2 −c1∥Jcxk −xk∥2
+ 2βktkµ⟨F p, p−Jcxk +tkµF Jcxk⟩,∀k ∈ N+ (2.15) Ta x²t 2 tr÷íng hđp:
Trữớng hủp 1. Tỗn tƠi số nguyản k0 ≥ 1 sao cho ∥xk+1 −p∥ ≤ ∥xk−p∥
vỵi måi k ≥ k0. Khi â, limk→∞∥xk −p tỗn tÔi. Tứ (2.15), ta cõ
c1∥Jcxk−xk∥2 ≤ ∥xk −p∥2 − ∥xk+1−p∥2 −βktkτ∥xk−p∥2 + 2tkM4,
ð õ M4 F ppJcxk+tkàF Jcxk v do õ nhên ÷ñc
lim
k→∞∥Jcxk−xk∥ = 0.
Theo M»nh · 1.8 vỵi T = Jc, ta nhên ữủc bĐt ¯ng thùc (1.51). B¥y gií, tø (2.15) vỵi p = p∗, ta câ
∥xk+1−p∗∥2 ≤ (1−βktkτ)∥xk −p∗∥2 + 2βktkµ⟨F p∗, p∗ −xk⟩
+ 2βktkµ⟨F p∗, xk −Jcxk+tkµF Jcxk⟩,
BĐt ng thực trản cũng vợi Bờ Ã 1.10, ∥xk −Jcxk∥ →0, tk → 0 v d¢y
{F Jcxk} bà ch°n k²o theo ∥xk−p∗∥ → 0.
Tr÷íng hđp 2. Chùng minh tr÷íng hđp n y t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh Tr÷íng hđp 2 cừa nh lỵ 2.1.
Nhên xt 2.1 Nhên xt ny trẳnh by cĂch chồn Ănh xƠ F º tø ph÷ìng ph¡p (2.5) ta thu ÷đc c¡c ph÷ìng ph¡p (2.2), (2.3) v tø (2.6) thu ÷đc ph÷ìng ph¡p (2.4).
ã LĐy F =I −f, ð â f = ˜aI + (1−˜a)u vỵi sè cè ành ˜a∈ (0,1) v iºm cè ành u ∈ H, th¼ F l ¡nh xÔ -ỡn iằu mÔnh v liản tửc L-Lipschitz vỵi η = 1−˜a v L= 1 + ˜a. Khi â, thay F trong (2.5) bði I −f ta nhên ữủc phữỡng phĂp
zk+1 = JkJc(tkµ(1−˜a)u+ (1−tkµ(1−˜a))zk) +ek. (2.16)
Trong (2.16) kỵ hiằu lƠi zk :=xk vỵi t′k := tkµ(1−˜a), ta nhên ữủc phữỡng ph¡p (2.2)
xk+1 = JkJc(tku+ (1tk)xk) +ek.
ã t yk = (I tkàF)zk trong (2.5), ta câ:
yk+1 = (I −tk+1µF)zk+1 = (I −tk+1µF)(JkJcyk +ek).
Thay F bði I −f vỵi f nhữ trản ta ữủc
yk+1 =tk+1µ(1−a)u˜ + (1−tk+1µ(1−˜a))(JkJcyk+ek). (2.17) Trong (2.17) kỵ hiằu lƠi xk :=yk v tk := tk+1, ta nhên ữủc phữỡng phĂp
(2.3)
xk+1 = t′ku+ (1−t′k)(JkJcxk +ek).
• Thay F trong (2.6) bði I −f vỵi f nh trn ta ữủc
zk+1 = (1k)tkà(1a)u+(1k)(1tkà(1a))Jczk+kJkzk+ek. (2.18) Trong (2.18) k hiằu lƠit′k = (1−βk)tkµ(1−˜a),βk′ = (1−βk)(1−tkµ(1−˜a))
and γk′ = βk, ta nhên ữc phữỡng phĂp (2.4)
xk+1 = tku+kJcxk+kJkxk +ek.
Nôm 2002, Xu [66]  à xuĐt mởt cÊi biản cừa phữỡng ph¡p iºm g¦n k· ho n to n khĂc vợi cĂc phữỡng phĂp  nảu, õ l mội bữợc lp bao gỗm hai bữợc tẵnh x1 ∈H, yk =Jkxk +ek, xk+1 =tkx1 + (1−tk)yk. (2.19) vỵi tk ∈ [0,1], rk > 0, ek ∈ H. T¡c gi£ ¢ chùng minh d¢y l°p
xk hëi tư mƠnh tợi PZerT(x1) náu th mÂn c¡c i·u ki»n (A1),(A5) v
(A3′′′) lim
k→∞rk =∞.
N«m 2008, Ceng cũng cởng sỹ [71] cụng ữa ra cÊi biản cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cho bi toĂn (2.1) m õ mội bữợc lp bao gỗm 2 bữợc tẵnh. CĂc tĂc giÊ xƠy dỹng dÂy lp
x1 ∈H, ˜ xk+1 =Jk(xk +ek+1), xk+1 =t x1 + (1−t )˜xk+1. (2.20)
v chựng minh phữỡng phĂp (2.20) hởi tử mÔnh vỵi c¡c i·u ki»n (A3′′′),
(A5) v
(A1′′) ∥ek+1∥ ≤ ηk∥xk+1−xk∥ vỵi P∞
k=1ηk2 < ∞.
So vợi kát quÊ cừa Xu [66], Ceng cũng cởng sỹ [71] Â loÔi bọ iÃu ki»n
(A1) v thay bði i·u ki»n y¸u hìn (A1′′).
Dỹa trản kát quÊ cừa Ceng cũng cởng sỹ [71], chúng tổi tiáp tửc à xuĐt cÊi biản mợi cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cho b i to¡n (2.1). Sü hëi tư mƠnh cừa phữỡng phĂp mợi ny cụng ữủc chựng minh vỵi i·u ki»n têng qu¡t cho d¢y tham sè {rk} cõa to¡n tû gi£i â l i·u ki»n (A8′). K¸t qu£ sau ữủc trẳnh by dỹa vo cổng trẳnh (5) trong danh mưc c¡c cỉng tr¼nh  cổng bố.
nh lỵ 2.3 Cho H l khỉng gian Hilbert thüc v T l to¡n tû ìn iằu cỹc Ơi trong H sao cho ZerT ̸= Ø, c l số thỹc dữỡng cố nh bĐt ký,
u∈ H. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n (A5), (A8′), (A1) ho°c
(A1′′) ∥ek+1∥ ≤ηk∥x˜k+1 −xk∥ vỵi P∞
k=1ηk2 < ∞.
Khi â, d¢y {xk} x¡c ành bði
˜ xk+1 =Jk(xk +ek+1), xk+1 =tku+ (1−tk)Jcx˜k+1, (2.21) hởi tử mÔnh tợi im p∗ = PZerTu, l hẳnh chiáu metric cừa u lản têp
ZerT khi k → ∞. Chùng minh.
Ta x²t hai tr÷íng hp sau.
Trữớng hp 1. iÃu kiằn (A1) thọa mÂn, tực l P∞
k=1
∥ek+1∥ < ∞.
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, thaytk trong (2.21) bðitk := tk(1−a0) vợi bĐt ký số thỹc cè ành a0 ∈ (0,1). Rã r ng, tk mợi cụng thọa mÂn iÃu kiằn
(A5). Hìn núa, ta °t F = I − f, vỵi f = a0I + (1− a0)u thẳ Ănh xÔ F
l - ỡn iằu mÔnh v γ- gi£ co ch°t vỵi η = 1−a0, γ ∈ (1−a0,1) (xem [70]). Khi õ, (2.21) viát lƠi l :
xk+1 = (I −tkF)JcJk(xk+ek+1). (2.22) Ti¸p theo, x²t biºu thùc ch½nh x¡c cõa (2.22)
zk+1 = (I −tkF)JcJkzk. (2.23)
Ta câ
∥xk+1−zk+1∥ = ∥(I −tkF)JcJk(xk+ek+1)−(I −tkF)JcJkzk∥ ≤ (1−tkτ)∥xk+ek+1−zk∥ ≤(1−tkτ)∥xk −zk∥+∥ek+1∥.
Tø k¸t qu£ tr¶n v Bê · 1.10 suy ra lim
k→∞∥xk−zk∥ = 0. Vẳ vêy, chựng minh nh lỵ ta i chựng minh phữỡng phĂp (2.23) hởi tử mÔnh tợi p∗ khi
k → ∞. chựng minh iÃu ny, trữợc tiản chựng minh d¢y {zk} bà ch°n. Thêt vêy, vợi mởt im cố nh p ∈ ZerT, theo Bê · 1.7 v (A8′) ta câ
∥zk+1−p∥ =∥(I −tkF)JcJkzk −(I −tkF)JcJkp−tkF p∥
≤ (1−tkτ)∥zk −p∥+tk∥F(p)∥ ≤ max {∥z1 −p∥,∥F(p)∥/τ},
Vẳ vêy, dÂy {zk} b chn. Do õ, tỗn tƠi C >˜ 0 tho£ m¢n ∥zk∥ ≤ C˜ vỵi måi k ≥ 1. Hỡn nỳa, ta ữợc lữủng giĂ tr ∥zk+1−p∥2 nh÷ sau.
∥zk+1−p∥2 = ∥(I −tkF)JcJkzk −(I −tkF)JcJkp−tkF p∥2 ≤ (1−tkτ)∥Jcz˜k −p∥2 + 2tk⟨F p, p−zk+1⟩ ≤ (1−tkτ)∥z˜k−p∥2 −c0∥z˜k −Jcz˜k∥2 + 2tk⟨F p, p−zk+1⟩ ≤ (1−tkτ)∥zk−p∥2 −c0∥z˜k −Jcz˜k∥2 + 2tk⟨F p, p−zk+1⟩, (2.24) ð â z˜k = Jkzk v c0 ≤ 1−tkτ vỵi måi k 1. Ta xt hai khÊ nông sau.
ã Tn tễi số nguyản k0 ≥ 1 sao cho ∥zk+1−p∥ ≤ ∥zk−p∥ vỵi måi k ≥ k0.
Khi â, lim
k→∞∥zk−p tỗn tÔi. Tứ (2.24), ta nhên ữủc
c0∥z˜k−Jcz˜k∥2 ≤ ∥zk −p∥2 − ∥zk+1−p∥2 + 2tkM (2.25) trong â M ≥ ∥F p∥(∥p∥+ ˜C).
Tø lim
k→∞∥zk−p∥ tỗn tÔi v tk → 0 khi k → ∞ trong (2.25) ta câ
lim
k→∞∥z˜k −Jcz˜k∥ = 0.
Hìn núa, theo (2.23), t½nh bà ch°n cõa {F Jcz˜k} v tk → 0, ta nhên ữủc
∥zk+1−z˜k∥ ≤tk∥F Jcz˜k∥ → 0 khi k → ∞. Vẳ vêy, ta cõ
lim
kzk+1Jczk+1 = 0.
Dũng Mằnh à 1.8 vi T =Jc, ta nhên ữc bĐt ng thực (1.51).
Tứ (2.24) vỵi p = p∗,∀k ≥ k0, ta câ
bĐt ng thực trản cũng vợi Bờ Ã 1.10 v (1.51) k²o theo ∥zk−p∗∥ → 0.
ã Tỗn tÔi dÂy {kl} ⊂ {k} sao cho ∥zkl−p∥ < ∥zkl+1−p∥ vỵi måi l ≥ 0. Do â, theo Bê · 1.11, câ d¢y khỉng gi£m {mk} ⊆ {k} sao cho khi mk → ∞
th¼
∥zmk −p∥ ≤ ∥zmk+1−p∥,∥zk−p∥ ≤ ∥zmk+1−p∥ (2.26) vỵi méi k ≥ 1.
Khi â, tø (2.24) v b§t ¯ng thùc thù nh§t trong (2.26) ta câ
∥zmk −p∥2 ≤ 2
τ⟨F p, p−zmk+1⟩. (2.27) Mt khĂc, lÔi tứ (2.24) v b§t ¯ng thùc thù nh§t trong (2.26) ta câ
c0∥˜zmk −Jcz˜mk∥2 ≤ 2tmkM. Vẳ vêy, lim k→∞∥z˜mk −Jcz˜mk∥ = 0, v do â lim k→∞∥zmk+1−Jczmk+1∥ = 0. Khi