Chữỡng 4 cừa luên Ăn gỗm 3 mửc. Mửc 4.1 trẳnh by phữỡng phĂp hiằu ch¿nh v nghi»m câ chu©n nhä nhĐt cho bi toĂn chĐp nhên tĂch. Mửc 4.2 ữủc dnh trẳnh by phữỡng phĂp hi»u ch¿nh l°p cho b i toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp trong khng gian Hilbert. Trong Mưc 4.3 chóng tỉi ÷a ra vẵ dử v cĂc kát quÊ tẵnh toĂn số. Kát quÊ cừa chữỡng ny ữủc trẳnh b y düa v o cỉng tr¼nh (2) trong danh mưc c¡c cng trẳnh  cổng bố.
4.1. Phng php hiu chnh v nghim cõ chuân nhọ nhĐt Trong Mửc 1.3.1, Chữỡng 1 Â Ã cêp bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP)
x∈ C sao cho Ax ∈ Q, (4.1) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn cüc tiºu
min
x∈C f(x) := 1
2||Ax−PQAx||2. (4.2) Düa v o ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov, n«m 2010, Xu [34] x²t b i to¡n hi»u ch¿nh
min
x∈C fα(x) := 1
2||Ax−PQAx||2 +α||x||2, (4.3) ð â α > 0 l tham sè hi»u ch¿nh.
T¡c gi£ ch¿ ra r¬ng, b i to¡n (4.3) cõ nghiằm duy nhĐt, kỵ hiằu l xα v n¸u SFP (4.1) cõ nghiằm thẳ giợi hÔn lim
α→0x tỗn tÔi v l nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa SFP.
Thêt vêy, gi£ sû SFP (4.1) câ nghi»m v °t xmin l nghi»m câ chu©n nhä
nh§t, tùc l xmin ∈ Γ cõ tẵnh chĐt
||xmin||= min{||x||:x ∈ Γ}.
Nghi»mxmin cõ th nhên ữủc qua hai bữợc. Trữợc tiản, hmfα câ gradient
∇fα(x) =∇f(x) +αI = A∗(I −PQ)Ax+αI
l (α+||A||2)-li¶n tưc Lipschitz v -ỡn iằu mÔnh. nh xÔPC(I−γ∇fα)
l co vợi hơng số co p 1−γ(2α−γ(||A||2 +α)) ≤ 1− 1 2αγ, vỵi 0 < γ ≤ α ||A||2+α.
Ta biát rơng xα l im bĐt ởng cừa Ănh xÔ PC(I − γ∇fα) vợi bĐt ký
γ >0, v câ thº nhên ữủc qua giợi hÔn khi k → ∞ cõa d¢y l°p Picard
xk+1α =PC(I −γ∇fα)xkα.
Sau â, cho α →0 thu ữc x xmin trong chuân.
Cng trong [34], Xu tiáp tc cho thĐy hai bữợc ny cõ th ữủc kát hủp º l§y xmin trong mởt bữợc. Vợi cĂch chồn tham số γ, α phị hđp, nghi»m cõ chuân nhọ nhĐt cõ th nhên ữủc bi mởt bữợc. TĂc giÊ Â ữa ra ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cõa Bakushinsky [35] v Bruck [36] cõ dÔng
xk+1 = PC[I −γk(A∗(I −PQ)A+αkI)]xk, k ≥ 1, (4.4) v chùng minh d¢y {xk} hởi tử mƠnh tợi nghiằm cõ chn nhọ nhĐt cừa SFP (4.1) náu cĂc dÂy tham số {αk},{γk} thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
(C4) 0 < γk ≤ αk ||A||2 +αk,∀k õ lỵn (C5) αk → 0 v γk → 0, (C6) ∞ P k=1 αkγk = ∞, (C7) |γk+1−γk|+γk|αk+1−αk| (αk+1γk+1)2 → 0.
N«m 2012, Yao cịng c¡c cëng sü [37] cơng chùng minh thuªt to¡n (4.4) hởi tử mƠnh tợi nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa SFP (4.1) vợi iu kin cho cĂc dÂy tham số {k},{k} yáu hỡn, õ l :
(C5′) lim k→∞αk = 0, ∞ P k=1 αk = ∞, (C8) lim inf k→∞ γk > 0 v lim k→∞(γk+1−γk) = 0.
Trong [38], Chuang cán lm yáu hỡn nỳa iÃu kiằn cho cĂc dÂy tham sè
{αk} {γk} m văn thu ữủc sỹ hởi tử mƠnh.
4.2. Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p cho bi toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu tªp trong khỉng gian Hilbert
X²t bi toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp (MSSFP): T¼m x∈ C := \
i∈J1
Ci sao cho Ax ∈ Q := \ j∈J2
Qj, (4.5) ð â {Ci}i∈J1 v {Qj}j∈J2 t÷ìng ùng l hai hå c¡c têp con lỗi, õng trong khổng gian Hilbert thüc H1 v H2, A : H1 → H2 l Ănh xƠ tun tẵnh b chn.
Kỵ hiằu Γ l tªp nghiằm cừa MSSFP (4.5).
Nôm 2019, trong cng trẳnh (2), da trản kát quÊ cừa Xu [34] v Yao còng c¡c cëng sü [37] chóng tỉi mð rëng thuªt to¡n (4.4) cho MSSFP (4.5) vợi trữớng hủp J1 v J2 l c¡c hå vổ hÔn ám ữủc, tực l J1 = J2 = N+ l têp tĐt cÊ cĂc số nguyản dữỡng. Thuêt toĂn cừa chúng tổi ữủc xƠy dỹng nh÷ sau: xk+1 = UkTγk,αkxk, x1 ∈ H1, (4.6) ð â Uk = 1 ˜ βk k X i=1
βiPCi, Tγk,αk = I−γk(A∗(I−Vk)A+αkI), Vk = 1 ˜ ηk k X j=1 ηjPQj, (4.7) ˜
βk = β1 +· · · +βk, ηk˜ = η1 +· · · +ηk, c¡c tham sè βi, ηj, αk v γk thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
(C10) βi > 0 vỵi måi i ∈ N+ v P∞
i=1βi = 1,
(C11) ηj > 0 vỵi måi j ∈ N+ v P∞
j=1ηj = 1,
(C12) αk ∈ (0,1), k ∈ N+ sao cho limk→∞αk = 0 v P∞
k=1αk = ∞,
(C13) γk ∈ (ε0,2/(∥A∥2 + 2)) vỵi måi k ∈ N+, ε0 l mët sè d÷ìng nhä. ỵ rơng, trong tht toĂn cừa chúng tổi, tÔi mội bữợc lp ch dũng tờng hỳu hÔn nản viằc tẵnh toĂn s dạ dng hỡn. Sỹ hởi tử mÔnh cừa thuêt
to¡n (4.6)-(4.7) ÷đc chùng minh vỵi c¡c i·u ki»n (C10),(C11),(C12) v
(C13). Tø â, nh÷ nhúng h» quÊ, chúng tổi  nhên ữủc mởt số kát q cho c¡c tr÷íng hđp mët trong hai tªp J1, J2 ho°c c£ hai Ãu hỳu hÔn. chựng minh kát quÊ chẵnh Ôt ữủc, chúng tổi chựng minh mởt sè bê · sau.
Bê · 4.1 Cho H1 v H2 l hai khæng gian Hilbert thüc, Tj vỵi méij ∈J2
l Ănh xÔ khổng giÂn trong H2 sao cho ∩j∈J2Fix(Tj) ̸= ∅ v A l Ănh xƠ tun t½nh bà ch°n tø H1 v o H2. Khi â,
∩j∈J2A−1 Fix(Tj) =∩j∈J2Fix(I −γA∗(I −Tj)A) = A−1(∩j∈J2Fix(Tj)),
vỵi γ l sè d÷ìng. Chùng minh.
chựng minh ng thực thự nhĐt, ta cƯn chựng minh
A−1 Fix(Tj) = Fix(I −γA∗(I −Tj)A),
vỵi méi j ∈ J2.
Thêt vêy, náuz ∈A−1 Fix(Tj)tùc l Az = TjAz, tø â suy ra(I−Tj)Az = 0, k²o theo A∗(I −Tj)Az = 0, dăn án z−γA∗(I −Tj)Az = z câ ngh¾a l
z ∈ Fix(I −γA∗(I −Tj)A).
BƠy giớ, lĐy mởt ph¦n tûz ∈Fix(I−γA∗(I−Tj)A), tùc l γA∗(I−Tj)Az = 0, k²o theo r¬ng A∗(I −Tj)Az = 0, γ >0. Vẳ vêy
TjAz = Az+wj, A∗wj = 0.
LĐy mởt phƯn tỷp ∈ A−1 Fix(Tj), suy ra Ap∈ Fix(Tj) tùc l TjAp = Ap. Ta câ
∥Az −Ap∥2 ≥ ∥TjAz−TjAp∥2 = ∥Az −Ap+wj∥2
=∥Az−Ap∥2 +∥wj∥2 + 2⟨wj, A(z−p)⟩ =∥Az−Ap∥2 +∥wj∥2 + 2⟨A∗wj, z −p⟩ =∥Az−Ap∥2 +∥wj∥2.
Vẳ vêy, wj = 0, tø â suy ra TjAz = Az tùc l z ∈ A−1Fix(Tj).
¯ng thùc thù hai l rã r ng do ∩j∈J2A−1 Fix(Tj) = A−1(∩j∈J2Fix(Tj)).
Bê · 4.2 Cho H1, H2, A v γ nh÷ trong Bê · 4.1 v Tj vỵi méi j ∈ N+
l Ănh xÔ khổng giÂn trong H2 sao cho ∩∞j=1Fix(Tj) ̸=∅. Khi â
˜
C := ∩j∈N+Fix(I −γA∗(I −Tj)A) =Fix(T∞),
ð â T∞ = I −γA∗(I −V∞)A, V∞ = P∞j=1ηjTj v j thọa mÂn iÃu kiằn
(C12).
Chựng minh.
Ta biát rng trong [73] Ănh xÔ V∞ l khổng giÂn vợi têp im bĐt ởng Fix(V∞) = ∩∞j=1Fix(Tj).
* Trữợc tiản, ta chùng minh bao h m thùc C˜ ⊂ Fix(T∞).
L§y iºm b§t ký z ∈ C˜ th¼ (I −γA∗(I −Tj)A)z = z vỵi måi j ∈ N+. H»
quÊ, ta nhên ữủc P∞
j=1ηj(I−γA∗(I−Tj)A)z = z, do I v A∗ l c¡c ¡nh xÔ tuyán tẵnh nản (I −γA∗(I −V∞)A)z = z. Vẳ vêy, z ∈ Fix(T∞).
* Ti¸p theo, chùng minh Fix(T∞) ⊂ C˜. L§y 2 iºm b§t ký z ∈ Fix(T∞) v
p ∈ A−1Fix(V∞). Tø z ∈ Fix(T∞), ta câ A∗(I −V∞)Az = 0. Vẳ vêy
V∞Az = Az +u, A∗u = 0.
Tø p ∈ A−1Fix(V∞) suy ra Ap∈ Fix(V∞), tùc l (V∞)Ap= Ap. Ta câ
∥Az −Ap∥2 ≥ ∥V∞Az−V∞Ap∥2 = ∥Az −Ap+u∥2 =∥Az−Ap∥2 +∥u∥2 + 2⟨u, A(z−p)⟩ =∥Az−Ap∥2 +∥u∥2 + 2Au, z p =AzAp2 +u2.
Vẳ vêy,u = 0, tứ õ suy raV∞Az = Az tùc l Az ∈Fix(V∞) =∩∞j=1Fix(Tj)
hay z ∈ A−1(∩∞j=1Fix(Tj)). Theo Bê Ã 4.1 dăn án
z ∈ ∩j∈N+Fix(I −γA∗(I −Tj)A) := ˜C. Bê · ÷đc chùng minh.
Bê · 4.3 Cho H l khæng gian Hilbert thüc v Si vỵi méi i ∈N+ l Ănh xÔ khổng giÂn cht trong H. Gi£ sû i·u ki»n (C10) thäa m¢n. Khi â, cĂc Ănh xƠ S∞ := P∞i=1βiSi v I −S∞ l ¡nh xÔ khổng giÂn cht.
Chựng minh.
* Trữợc tiản, ta chựng minh Ănh xÔ S∞ l khỉng gi¢n ch°t.
Xt Ănh xƠ Sk :=Pki=1(βi/βk)Si. Tø˜ Si l Ănh xÔ khổng giÂn cht vợi mội
i ∈N+ v h m ∥x∥2 l hm lỗi,
⟨Sku−Skv, u−v⟩ = k
X
i=1
(βi/βk)⟨Siu˜ −Siv, u−v⟩
≥
k
X
i=1
(βi/βk)∥Siu˜ −Siv∥2
≥ k X i=1
(βi/βk)(Siu˜ −Siv)
2 = ∥Sku−Skv∥2 ∀u, v ∈ H.
Ta bi¸t (trong [73]) l Sku := Pki=1βiSiu → S∞u v β˜k → 1 tø i·u ki»n
(C11) khi k → ∞. Khi â, Sku = (1/βk)Sku˜ → S∞u. Cho k → ∞ trong bĐt ng thực trản, ta cõ
⟨S∞u−S∞v, u−v⟩ ≥ ∥S∞u−S∞v∥2,
tùc l S l Ănh xÔ khổng giÂn cht.
* BƠy giớ, ta chùng minh I −S l Ănh xÔ khổng giÂn cht. Thêt vêy, ta cõ
⟨(I−Si)u−(I −Si)v, u−v⟩ − ∥(I −Si)u−(I −Si)v∥2 =
⟨Siu−Siv, u−v⟩ − ∥Siu−Siv∥2
v Si l Ănh xÔ khổng giÂn cht nảnI−Si cụng l Ănh xÔ khổng giÂn cht. Khi â, ⟨(I −Sk)u−(I −Sk)v, u−v⟩ = k X i=1 (βi/β˜k)⟨(I −Si)u−(I −Si)v, u −v⟩ ≥ k X i=1
(βi/βk)∥(I˜ −Si)u−(I −Si)v∥2
≥ k X i=1
(βi/βk)(I˜ −Si)u−(I −Si)v
2 = ∥(I −Sk)u−(I −Sk)v∥2.
Cho k trong bĐt ng thực trản, ta cõ
(I −S∞)u−(I −S∞)v, u−v⟩ ≥ ∥(I −S∞)u−(I −S∞)v∥2.
tùc l I −S∞ l Ănh xƠ khổng giÂn cht. Bê · ÷đc chùng minh.
Bê · 4.4 Cho H1, H2 v A nh÷ trong Bê · 4.1. Khi â, vỵi sè cè ành tũy ỵ ∈ (0,2/(∥A∥2 + 2α)), Ănh xÔ Tγ,α := I −γ(A∗(I −V)A+αI) l co vợi hơng số 1−γα, ð â V l Ănh xƠ khỉng gi¢n ch°t v α l sè trong kho£ng (0,1). Khi α = 0, Tγ := I −γA∗(I −V)A l nh xễ khng giÂn. Chựng minh.
Thêt vêy, tứ ng thực sau
∥Tγ,αx−Tγ,αy∥2 = ∥(1−γα)(x−y)−γ[A∗(I −V)Ax−A∗(I −V)Ay]∥2 = (1−γα)2∥x−y∥2 +γ2∥A∗(I −V)Ax−A∗(I −V)Ay∥2
−2γ(1−γα)⟨A∗(I −V)Ax−A∗(I −V)Ay, x−y⟩.
v i·u ki»n γ v V, ta câ
∥Tγ,αx−Tγ,αy∥2
≤ (1−γα)2∥x−y∥2+γ2∥A∗(I −V)Ax−A∗(I −V)Ay∥2
−2γ(1−γα)∥A∗(I −V)Ax−A∗(I −V)Ay∥2/∥A∥2
≤ (1−γα)2∥x−y∥2,
bði v¼ 2γ(1−γα)/∥A∥2 ≥ γ2. Vẳ vêy, T, l Ănh xÔ co. Rã r ng, khi α = 0 Ănh xÔ Tγ l ¡nh xÔ khổng giÂn.
nh lỵ 4.1 Cho H1, H2 v A nh÷ trong Bê · 4.1, {Ci}i∈N+ v {Qj}j∈N+
tữỡng ựng l hai hồ vổ hÔn cĂc têp con lỗi õng trong H1 v H2. Gi£ sû
Γ̸= Ø v c¡c i·u ki»n (C10),(C11),(C12),(C13) thäa m¢n. Khi â, d¢y
{xk} x¡c ành bði (4.6)- (4.7) hởi tử mƠnh tợi nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa MSSFP (4.5) vợi J1 = J2 = N+.
Chùng minh.
Trữợc tiản, ta chựng minh dÂy {xk} l b chn. Thêt vêy, lĐy mët iºm cè ành p ∈ Γ, tø Bê · 4.1 vỵi Tj = PQj v tẵnh chĐt khỉng gi¢n cõa PQj, ta biát rơng p ∈Ci v (I −γkA∗(I −PQj)A)p = p vỵi måi i, j, k ∈ N+, v do
â,
p = Ukp, Tγkp = p, v PCiTγkp =p, (4.8) vợi bĐt ký i, k ∈ N+, ð â Tγk = I −γkA∗(I −Vk)A. Vẳ vêy, tứ tẵnh chĐt
khỉng gi¢n cõa Uk v Bê · 4.4, k²o theo ∥xk+1−p∥ = ∥UkTγk,αkxk−UkTγkp∥ ≤ ∥Tγk,αkxk−Tγkp∥ = ∥Tγk,αkxk −Tγk,αkp−γkαkp∥ ≤ (1−γkαk)∥xk −p∥+γkαk∥p∥ ≤ max{∥x1 −p∥,∥p∥}.
iÃu õ cõ nghắa dÂy {xk} l b chn. Vẳ vêy, tỗn tƠi hơng sè d÷ìng M˜
sao cho
sup k≥1
∥xk∥,∥xk −p∥,∥A∗(I −Vk)Axk∥ ≤ M .˜
Ti¸p theo, tø Uk, Tγk l Ănh xƠ khổng gi¢n, I −Vk l Ănh xƠ khổng giÂn ch°t, tø chùng minh cho Bê · 4.3, ∥x∥2 l hm lỗi v (4.8) ta câ
∥xk+1−p∥2 = ∥UkTγk,αkxk −UkTγkp∥2
≤ ∥Tγk,αkxk−Tγkp∥2
= ∥Tγkxk−Tγkp−γkαkxk∥2
= ∥Tγkxk−Tγkp∥2 + (γkαk)2∥xk∥2 −2γkαk⟨Tγkxk−Tγkp, xk⟩ ≤ ∥xk −p∥2−2γk⟨(I −Vk)Axk−(I −Vk)Ap, Axk −Ap⟩
+γk2∥A∗(I −Vk)Axk∥2+ (γkαk)2M˜2
−2γkαk⟨Tγkxk−Tγkp, xk⟩
≤ ∥xk −p∥2−2γk∥Axk −VkAxk∥2 +γk2∥A∥2∥Axk−VkAxk∥2
+ (γkαk)2M˜2 −2γkαk⟨Tγkxk −Tγkp, xk⟩ ≤ ∥xk −p∥2−γk(2−γk∥A∥2)∥Axk−VkAxk∥2
+ (γkαk)2M˜2 + 2γkαkM˜2.
(4.9) Hỡn nỳa, lÔi do Uk l ¡nh xÔ khổng giÂn, ta cõ
xk+1−Ukxk∥ = ∥UkTγk,αkxk−Ukxk∥ ≤ ∥Tγk,αkxk−xk∥
≤ γk∥A∥∥Axk −VkAxk∥ +γkαkM .˜
(4.10) BƠy giớ, dũng lÔi tẵnh chĐt cừa php chiáu mảtric PCi vỵi x = zk := Tγk,αkxk, ta cõ th viát rơng
v do â, k X i=1 (βi/β˜k)∥zk−PCizk∥2 + k X i=1 (βi/β˜k)∥PCizk−p∥2 ≤ ∥zk−p∥2. Tø ∥x∥2 l hm lỗi trản H1 v b§t ¯ng thùc trản, ta cõ k X i=1 (i/k)(z kPCizk) 2 + k X i=1 (i/k)(PC izkp) 2 zkp2. Vẳ vêy, Tk,kxk xk+12 +xk+1p2 ∥Tγk,αkxk−p∥2 = ∥Tγkxk −Tγkp−γkαkxk∥2 = ∥Tγkxk −Tγkp∥2 −2γkαk⟨Tγkxk−Tγkp, xk⟩ + (γkαk)2M˜2 ≤ ∥xk −p∥2 + 2γkαkM˜2 + (γkαk)2M˜2. (4.11) M°t kh¡c, ∥Tγk,αkxk −xk+1∥2 = ∥xk−xk+1∥2 +∥γkαkxk+γkA∗(I −Vk)Axk∥2 −2⟨γkαkxk +γkA∗(I −Vk)Axk, xk−xk+1⟩. (4.12) Ti¸p theo, tø Uk l Ănh xƠ khổng giÂn, PCi l Ănh xÔ khổng giÂn cht v
∥x∥2 l hm lỗi trản H1, ∥xk+1−p∥2 = ∥UkTγk,αkxk−UkTγkp∥2 ≤ k X i=1 (βi/βk)∥PC˜ iTγk,αkxk−PCiTγkp∥2 ≤ ⟨Tγk,αkxk −Tγkp, xk+1−p⟩ = ⟨Tγk,αkxk−Tγk,αkp, xk+1−p⟩+γkαk⟨p, p−xk+1⟩ = (1−γkαk) I − γk 1−γkαk(A ∗(I −Vk)A) xk − I − γk 1−γkαk(A ∗(I −Vk)A) p, xk+1−p +γkαk⟨p, p−xk+1⟩ ≤ (1−γkαk)∥xk −p∥∥xk+1−p∥+γkαk⟨p, p−xk+1⟩ ≤ 1−γkαk 2 ∥xk −p∥2 + 1 2∥xk+1−p∥2 +γkαk⟨p, p−xk+1⟩,
bði v¼ I − γk[A∗(I − Vk)A]/(1− γkαk) l ¡nh xÔ khổng giÂn, Bờ Ã 4.4,
(C13), (C14) v tẵnh cht ca A(I Vk)A. Vẳ vêy,
xk+1p2 (1kk)xk p2+ 2kkp, p−xk+1⟩. (4.13) Ta x²t hai tr÷íng hđp sau.
* Tr÷íng hđp 1.
Tỗn tÔi mởt hơng số dữỡng k0 sao cho ∥xk+1 − p∥ ≤ ∥xk − p∥ vỵi måi
k ≥ k0. Vẳ vêy, limk→∞∥xk −p tỗn tÔi. Tứ iÃu n y v (4.9) ta câ
lim sup k→∞
γk(2−γk∥A∥2)∥Axk −VkAxk∥2 = 0. (4.14) Tø i·u ki»n (C13), ta câ
γk(2−γk∥A∥2) ≥ γk(2−(2∥A∥2/(∥A∥2 + 2)) ≥ 4ε0/(∥A∥2 + 2).
i·u n y cịng vỵi (4.14) k²o theo
lim
k→∞∥Axk−VkAxk∥2 = 0. (4.15) Hìn núa, theo (4.10), (4.15) v αk → 0 dăn ¸n
lim
k→∞∥xk+1−Ukxk∥ = 0. (4.16) Do limk→∞∥xk−p tỗn tÔi, (4.11) v αk → 0, ta câ
lim
k→∞∥Tγk,αkxk −xk+1∥ = 0. (4.17) Tø∥γkαkxk+γkA∗(I−Vk)Axk∥ ≤γkαk∥xk∥+γk∥A∥∥Axk−VkAxk∥, (4.15) v i·u ki»n αk suy ra
lim
k→∞∥γkαkxk+γkA∗(I −Vk)Axk∥ = 0. (4.18) Vẳ vêy, tứ tẵnh b chn cừa {xk}, ta nhên ữủc
lim
k→∞⟨γkαkxk+γkA∗(I −Vk)Axk, xk −xk+1⟩ = 0. (4.19) Do (4.12), (4.17), (4.18) v (4.19), ta câ
lim
k→∞∥xk+1−xk∥ = 0. (4.20) Tø {xk} v {γk} l b chn, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ thiát rơng tỗn tƠi mởt têp con {kj} cõa {k} sao cho d¢y {xkj} hởi tử yáu tợi mởt ph¦n tû x˜ ∈ H1 v γkj → γ ∈ [ε0,2/(∥A∥2 + 2)] khi j → ∞. Ta s³ chùng minh x˜ ∈ Γ. Tø Bê · 4.1, 4.2 v 4.3, nâ õ º chùng minh r¬ng
Trữợc tiản, ta chựng minh rơng x˜ ∈ F ix(U∞). Thªt vªy, tø (4.16), (4.20), ta câ
lim
k→∞∥xk −Ukxk∥ = 0. (4.21) Tø Ukx → U∞x khi k → ∞ vỵi x ∈ H1, ta câ Ukjx → U∞x khi j → ∞. Vẳ vêy, vợi bĐt ký ε > 0 v iºm b§t ký x′ ∈H1 tỗn tÔi jε(x′) > 0 sao cho
∥Ukjx′ −U∞x′∥ < ε vỵi måi j ≥ jε(x′). Vẳ vêy, vợi mồi j ≥ jε(x′),
sup x∈D
∥Ukjx−U∞x∥ ≤ sup x∈D1
∥Ukjx−U∞x∥ = ∥Ukjx′−U∞x′∥ < ε,
vỵi x′ ∈D1, D l têp con b chn bĐt ký cừa H1 v D1 l têp con chựa D. LĐy D = {xkj}, ta câ
∥Ukjxkj −U∞xkj∥ < ε,
i·u â k²o theo
lim
j→∞∥Ukjxkj −U∞xkj∥ = 0. (4.22) Vẳ vêy, tứ (4.21), (4.22) v
∥xkj −U∞xkj∥ ≤ ∥xkj −Ukjxkj∥+∥Ukjxkj −U∞xkj∥
k²o theo r¬ng ∥xkj −U∞xkj∥ → 0. Khi â, theo Bê · 1.17, x˜ ∈ F ix(U). BƠy giớ, ta chựng minh x F ix(T). Thêt vªy, tø (4.17), (4.20), ta câ
lim
k→∞∥xk −Tγk,αkxk∥ = 0. (4.23) Bơng lêp luên tữỡng tỹ nhữ trản, ta nhên ữủc
lim
j→∞∥VkjAxkj −V∞Axkj∥ = 0,
i·u n y cịng vỵi (4.23),
∥xkj −T∞xkj∥ ≤ ∥xkj −Tγkj,αkjxkj∥+∥Tγkj,αkjxkj −T∞xkj∥
≤ ∥xkj −Tγkj,αkjxkj∥+∥Tγkjxkj −T∞xkj∥+γkjαkjM˜
≤ ∥xkj −Tγkj,αkjxkj∥+|γkj −γ|M˜